AFF'F"... ==PQ

Le pftmicr membre .étant divisible par F, le produit PQ.doit l’être aussi î mais P est une quantité première qui contient x 'r donc elle n’est divisible par aucun nombre j donc Q est divisible par F, sans quoi le- produit PQ ne pourrait pas se diviser par F (a* cas).

Soit Q/ le quotient de Q.par F, on aura AF'F"... =* PQ'- On prouvera de la même manière que Q' doit être divisible par F'} et, en nommant Q* le quotient, on aurait AFW... = PQ*.

En continuant ainsi jusqu’à ce que le premier membre ne renferme plos que A, on arrivera à une égalité telle que A = PQ,, dans laquelle Q,

serait encore une quantité entière. Dç là on conclurait que A eat divisible par P, ce qui est contraire à l’hypothèse; donc AB n’est pas divisible par P.

Quatrième cas. A et B, ainsi que P, contiennent r.

Supposons que A soit d’un degré plus éléve que P, divisons A par P, et poussons la division jusqu’à ce qu’on trouve un reste de degré moindre que P. Il est possible que le quotient et le reste renferment des coèfficiens fractionnaires; mais si l’ôn prend un nombre M, divisible par chacun des dénominateurs, et qu’on multiplie le dividende par M avant de fairé la division, il est facile de voir qu’alors les fractions disparaîtront entièrement. Désignons par. Q lé quotient* entier qu’on obtient de cette manière, et par A' le reste, oh aura MA = PQ -f» A'; A* ne Pa? être zéro> çstit rement le produit MA serait divisible par le polynôme premier P, ce qui est impossible (3e èas). Multiplions les denx membres de cette égalijté par B et divisons-lcs ensuite pâr P, il Vient

M^=BQ +

Donc , si AB était diVisiljIe par P, Je produit A'B le serait aussi.

Supposons que A' soit algébrique, et divisons P par A'. Soit M le nombre par lequel il faut multiplier P pour arriver , sans fractions; à un reste de degré moindre que A'. En nommant ,Q' le quotient, et A* le reste, on aura NP = A'Q'+ A" ; et de li on tire, en multipliant par B et en divisant par P,

donc la divisibilité de A'B par P entraînerait celle de A"B. Remarquons d’ailleurs que A" ne peut être zéro; car,' si cela était, il faudrait que ?iP fût divisible par chaque facteur algébrique premier de A', ce qui est impossible (3* cas).

Divisons cilcore P par A"; nommons N' le nombre par lçqtiel il faut multiplier le dividende, nommons Q* le qnotient et A* le reste, il viendra

• N'P = A''Q* ■+■ A*, d’où N'B = Q* -f- ;

donc A*B serait aussi divisible par P.

En continuant ainsi, l’on doit arriver k un reste numérique A,, et le produit A.B devrait encore se diviser par P, ce qni est impossible (3« cas): donc le produit AB n'est pas divisible par P.

Les quatre cas que nous venons d’examiner' sont les seuls qui soient à considérer lorsque les trois quantités A, B, P ne sont pas numériques k la fois, et qu’elles ne contiennent pas plus d’u'nc' lettre. *

Passons aux cas oh il y a denx lettres x et y dans l’une de ces quantités, ou dans deux d’entre elles, ou dans toutes les trois. Ces cas sont aussi' au nombre de quatre , savoir

Lorsqu'un seul des facteurs A et B contient la lettre r, et que P ne la contient point.