CHAPITRE VII

, / soit ^

on changera ieni + /i dans f (x) , ce qui donnera

On développera les puissances indiquées en regardant (x — c)-f-A, Xx — &)+"A, (x — c)-f-A, comme des binômes dont les premiers termes sont x — a, x — b, x — c;et comme on n’a besoin que du coefficient de la première puissance de A, on n’écrira pas les termes qui renferment des puissances de A supérieures à la première; les facteurs de f(x -f- A) deviendront (x— a)‘+a (x — «)*“' A-f-ete. ,

(x—b)C -f C (x— b)C~' A -f etc. ,

(x — c)y -f- y (x — c)>— 1 A -J- etc.

Pour obtenir le coefficient J* (x) de la première puissance de A dans le produit de ces trois facteurs, on multipliera successivement le coefficient de la première puissance de h dans un facteur, par les termes indépendans de A dans les autres facteurs (n° 18), et l’on trouvera que le coefficient cherché est

Cette valeur de f (x) est la même que celle du n° 246.

24g. La comparaison de cette expression de/'fx) avec la fonction priqiitive f (x), démontre que le plus grand diviseur commun à un polynôme x" pxm~' -(- etc., et à sa fonction dérivée mxn~' -\-{m — 1) pxm~* -f- etc., est le produit des facteurs égaux de ce polynôme élevés respectivement à une puissance moindre d'une unité.

En effet, tous les termes de l’expression def'(x), étant divisibles par (x — a)“— 1 (x — b)c~ 1 (x — c)>—1 , on peut mettre la valeur de f (x) sous la forme

3ga ALGÈBRE.

(3). .. /,(.r) = (x — o)“— rX (x — Z»)c l X (x^c)*-1 X P. dans laquelle on a

Mais , P n’est divisible par aucun des facteurs x — a, x — b , X — c de f{x) , car chacun de ces binômes divise deux des trois termes de P et ne divise pas le troisième; P et f{x) sont donc premiers entre eux. Comparant la valeur

(x — a)“ (x — (x — c)y de f(x)

à la valeur correspondante

(x — (x—b)c~' (x — c)»-' X P de/'(x),

et observant que P est premier avecf(x) , on voit que le plus grand diviseur commun à f (x) et f (x) est le produit

des facteurs de f (x) élevés respectivement à une puissance moindre d’une unité Cè qui démontre le principe énoncé.

Exemple. Soit f(x) = x1 — 27X + 54.

On a /'(*) = 3x* — 27 =3(x* — 9).

Le plus grand commun diviseur entre f(x) et f'(x) est x — 3. Le polynôme f(x) contient donc deux facteurs égaux à x — 3. Et en effet , '

1" Remarque. Il résulte du principe énoncé que les facteurs qui n’entrent qu’nne seule fois dans un polynôme, ne se trouvent plus dans sa dérivée.

2e Remarque. Les propriétés qui ont été démontrées dans le n° 247 peuvent aussi se déduire du principe général du n° 249. En effet; quand tous les facteurs de f (x) sont Inégaux,