CHAPITRE VII. 38g

mettr^/* (x) sous cette autre forme

Ier Exemple. Soit f (x) = (x — a) (x— »6) (x— c), on aura f(x) = (x— è)(x-^-c)4-(x— a)(x— c) + (x— a) (x — b)

/(*) , /(£> t /fo)

2e Exemple. Soit /(x) = (x — a)* (x — b): (x — c)y.

La fonction dérivée de ce produit est

et (x — a)*- ' 1 (x — b)e (x — c)1"

car d’après la règle précédente, l’expression de f (x) est composée de « fois le quotient de f(x) par X — a , plus de C fois le quotient de/(x) par x — 6, plus en lin de y fois le quotient de f (x) par x — c.

247. Quand tous les facteurs premiers x~a, x-b,x-Cj..-jX-k de f(x) sont inégaux , il n existe pas de commun diviseur entre f(x) et sa fonction dérivée f (x); car s’il en existait un, il 11e renfermerait que des facteurs premiers de f (x) ; or tous ces facteurs étant inégaux, aucun d’eux 11e saurait diviser J' (x), puisque d’après la formule générale

chacun des facteurs x — a, x — b, etc., manque dans un temne d ef (x) et se trouve dans tous les autres. Il 'n’existe donc pas de diviseur commun entre /"(x) etf(x).

Quand f{x) contient des facteurs égaux, il existe un commun diviseur enx entre f (x) etj‘{x)-, car, par exemple, si les deux facteurs x — a, x — b , dcf[x) sont égaux , le quotient de/(x) par x —a contiendra encore le facteur x — a, et comme ce

3qo ALGÈBRE.

facteur entre dans tous les autres termes , ■ — ■ , etc., de

f(x), il divise exactement/1' (x). Par conséquent,/^) et f'(x) admettent le commun diviseur x — a.

Il résulte des deux* propriétés précédentes, quest /(x) etf' (x) ri* ont pas de diviseur commun, tous les facteurs premiers de f(x) seront inégaux, et que s’il existe un commun diviseur en x entre /(x) etf'(x), la fonction /(x) contiendra nécessairement des facteurs égaux.

On en déduit cette règle générale:

Pour reconnaître si unpolynome entier xm-\-pxm~ ‘-f-.„-f-sx+r contient des facteurs égaux, on cherche le plus grand commun

diviseur entre ce polynôme et son polynôme dérivé...,

mxm~ 1 -f- (ira — i) px-‘ -f- . . . s. Quand U n'y a pas de commun diviseur en x, tous les facteurs premiers du polynôme proposé sont inégaux ; lorsqu’il existe un commun diviseur fonction de x, le polynôme donné contient nécessairement des fac~ teurs égaux.

1" Exemple. Soit /(x) = x4-f-x3 — qx* — x + 6; . on a f (x) — 4x’ -j- 3x“ — i^x — I.

/(x) etf (x) n’ayant pas de commun diviseur, les quatre fac-. teurs premiers de/(x) sont inégaux; et en effet,

2e Exemple. Soit / (x) = x3 — 54; on a /'(x) = 3x“ — 27 = 3 (x* — 9).

Le plus grand diviseur commun à/(x) et Z' (x) étant x — 3, le polynôme x3 — 27X -+-54, décomposé en facteurs du premier degré, renferme des facteurs égaux; et en effet, ce polynôme est le produit de x -f - 6 par (x — 3)“.

248. Nous avons vu (n° 246) comment on peut déduire la fonction dérivée du produit (x — a)“ (x — 6)f(x — c)*, de celle d’un produit de*facteurs inégaux.

On peut calculer directement cette fonction dérivée. En effet.