DES DÉRIVÉES SUCCESSIVES

25o. La dérivée /'(x) d e/(x) étant une nouvelle fonction de x, on peut chercher de même la fonction dérivée de/'(x); cette nouvelle fonction dérivée est la deuxième dérivée de et on la désigne par /*(■£)•

Par une raison semblable , la dérivée def(x) est la troisième dérivée def (x) , on la désigne par la fonction/^ (x)

est la première dérivée de f’(x), ou la deuxième-dérivée de /'(x). Et ainsi de suite. '

Ier Exemple. Soit f (x) = x3 — 7X3 + 4-

On a f '(x) = 3x* — i4x, /"(x) =6x— 14, f(x)s= 6.

Toutes les autres dérivées def(x) sont huiles; car l’expression de/*(x) pouvant se mettre sous la forme 6x°, la dérivée de /'(x) est 0 X 6x°-1, ou zéro.

En général : Toutes les’dérivées par rapport à x , d’une quan « iitè indépendante de x, sont égales à zéro.

2e Exemple. Soit

f(jx) — xm + px”-’ +. . .-f rx* -(- sx-4- 1, on aura *

— i)pxm-*-)-. . .-f-2rx^-s,

- jf'(x)— m(m — i)xm-“-l-(m — l)(m — 2 )pxm~3+. . .+2 r,

fm{x)=m(jn — i)(m — 2)x”—3-j-(m — 1 )(m — a)(m — 3)pxm~* + etc.

En continuant ainsi, il est facile de voir que la (/H — 1)"“' dérivée de /(x) sera

* 3g4 ALGÈBRE.

m(m — i) (/n — 2). . .3.2X + (m — 1) (m — 2). . .3.2. 1 Xp,

et jque par suite* la m,im‘ dérivée sera m(/p — i)(/n — 2). ..3. 2. 1. Toutes les dérivées suivantes seront égales à zéro.

a5 1. Lorsque f(x) est un polynôme entier, les coeflïciens des diverses, puissances de A dans le développement de f(x -f- A) suivant les puissances croissantes de A, peuvent être exprimes au moyen des dérivées successives de/[x). En effet, soit

f(x)=xn -\-pxm~' -J- qxm~% + •••+***+ tx-\~ut on aura J\x+h)= (*+ A)",+/)(*+ h)m~‘ -f.. .+ s(x+ A)’+ /(*+A)+u.

Développant les diverses puissances du binôme x-f-A par rapport aux puissances croissantes de A, l’expression de /(x + A) deviendra

xm -h mxm~' h+ m(m — 1) - /i» 4. etc.

-hpxm~’ +(m — i )pxm-' + (m — i)(i» — a) pj“-J

+qxm~% +{m — y)qxm-i -b(m — a) (m — 3 )qxm~*

+«■ + lu -f- a»

-ht* +' t

Dans ce développement (Je f[x -f- A) , le terme indépendant de A est la fonction primitive

f(x) = xm -\-pxm-' + qxm-‘ . .+ sx* tx + u.

Le coefficient

mxm~' + (m — 1 ) px"~' -|- (m — 2) ÿx”1-3 -f-, • . + asr -f- G de la première puissance de A, est la dérivée f (x) de f{x).

Le coefficient de - A* est la 2e dérivée f ( x ) ilef(x).

Et en poussant plus loin les calculs, on verra que les coeffi-

ciens de — 3 , — =— etc., sont les dérivées successives /*(x) , 2.0 .2.0.4

f""(x) , etc. , de /(x). • '

Par conséquent , lorsque dans un polynôme /(x) de la forme