CHAPITRE VII

a :m -f-pxm-1-f-ÿxm-* + ... -f- «JC* + tx -f- u , on chunge x en X + k, le résultat f(x h) > ordonné suivant les puissances croissantes de h devient

/(*) + h/ (x) + f /*(x)+ ^rw+ «*<=.

Nous ferons souvent usage de cette propriété remarquable.

Exemple. Soit /(oc)—*? — 5.r -)- 7 , on a f (x) — ux — 5,f"[x) = a.

Toutes les autres dérivées de f(x) étant nulles , le développement général de f{pc -f- h) se réduit à

/(x -f A) = (x*— Sx + 7) + h {ix — 5) -f- - X 2.

On parvient au même résultat en changeant ÎE en x~\~h dans x3 — 5x-f- 7.

§ V. De la résolution d’une équation numérique à une seule inconnue.

252. Nous avons vu comment on peut résoudre les équations du premier et du second degré à une seule inconnue, et nous avons obtenu des formules générales qui expriment les racines en fonction des coefficiens. Nous trouverons, par la suite, des formules semblables pour les équations du troisième et du quatrième degré; mais lorsqu’ une équation à une seule inconnue est d’un degré plus élevé , on ne sait plus exprimer ses racines en fonction de ses coefficiens. Cependant, lorsque l équation est numérique j on peut déterminer toutes ses racines reelleSj quel que soit et ailleurs son degré.

Nous donnerons, dans la troisième section j le moyen' de trouver les racines imaginaires.

Les racines réelles pouvant être commensurables ou incommensurables j nous allons nous occuper successivement de la recherche de ces deux classes de racines.

3q6 ALGÈBRE.

De la recherche des Racines réelles commensurables.

a53. Les raciqes commensurables sont nécessairement des nombres entiers ou fractionnaires.

Les racines entières sont faciles à obtenir, car il suffit d’essayer tous les nombres entiers positifs et négatifs, compris entre les limites des racines de l’équation proposée; ce qui n’oCTre aucune difficulté.

Exemple. Soit l’équation 6x3 — ^3x' -J- 7 gx — 12 = 0.

Se6 racines positives étant comprises entre zéro et 9 , on donnera successivement & x les valeurs 1,2, 3,... 7,8, et l’on reconnaîtra que x = 3. et z = 4 satisfont à l’cquation proposée.

Cette équation ne contient pas de racine négative (n° 241).

Pour découvrir la troisième racine, on pourrait diviser le •premier membre par le produit x1 — 7x4-12 des facteurs éommensurables x— 3, x — 4> correspondans aux racines obtenues + 3, +4; le quotient 6x — 1 égalé à zéro fournirait la

troisième racine x= g. Mais le principe du n° 226, (5°) , conduit

plus simplement au même résultat ; car la somme des trois ra-

cines de l’équation proposée étant -g-, si l’on en ôte la somme 7

des racines connues +3, +4> le reste g exprimera la troisième racine. '

254. Pour trouver les racines fractionnaires, on ramène ce Cas au précédent, en transformant l’équation proposée en une autre dont les racines sont égales à celles de la proposée, multipliées par un nombre S' tel que les racines commensurables de la transformée soient -des nombres entiers; et comme on sait trouver les racines entières de cette nouvelle équation , il suf- ’iirade les diviser par le nombre connu i', pour obtenir les racines commensurables (entières et fractionnaires) de l’équation, proposée.