CHAPITRE I

De la division des polynômes.

22. La divisiou des monomes ne pouvant plus offrir de difficulté , occupons-nous des pol jnonies.

On doit toujours considérer le dividende comme un produit dont le diviseur et le quotient sont les facteurs.

Il est donc naturel d’examiner quelle est la forme d’un produit , afin d’en déduire le moyen de le décomposer. En voici un exemple :

Multiplication ou forma- ]| tion d'un produits a 3 — 3 ba* a'—iba — b a

as — 3 bal — iZta 4-|-6 &*<*'

— £aa3-f*3£3aa

a 5 — 5ba 4+5b*a 3-f*3&3«*

Division ou décomposition d'un produit, a 5 — 5£a4-f-5£aa*-f-3£î<2"| «3 — 3 ba*

— a5-J-3£a* <2a — : iba — b a

i«r rente — 2&û4-J-5&aa3-f-363aa 26a*— 6&*a3

a« rente — &aa3-f-3&3<i*

4* b* a* — 3&3aa

le 3* reste est o

I<a comparaison dn produit avec ses facteurs, fait voir que ces trois polynômes étantordonnés par rapport à a, le i*r terme a5 du produit total est le produit du i*r terme a 3 du multiplicande parle i*' terme o* du multiplicateur; que le dernier terme 3 6:ia* de ce produit résulte de la multiplication du dernier terme — 3 ba' du multiplicande, par le dernier terme — b 1 du multiplicateur, et que les autres termes du produit total peuvent résulter de la réduction de plusieurs termes semblables des produits partiels.

Par conséquent, la division du i” terme a5 du dividende, par le i*r terme a3 du diviseur , fournit le t*r terme a 3 du quotient ; tandis que la division d’un autre terme du dividende par un terme du diviseur, peut ne pas donner un terme du quotient.

Le dividende exprimant la somme des produits partiels du diviseur par les différens termes du quotient, si l’on retranche du dividende, le produit a 4 — 36a* du diviseur a3 — 3ba* par le Ier terme a’ du quotient; le reste — lba% -f- 5b'1 a3 -f- 3b3a2 sera le produit du diviseur par les autres termes du quotieut.

ALGEBRE.

On calcule ce reste par la méthode indiquée (p. 1 4), en plaçant sous le dividende les ternies + a5, — 3 ba* de la quantité à soustraire pris avec des signes contraires , et en ajoutant — a?-\-3bal au dividende; ce qui revient à poser sous le dividende les tenues du produit de a ' — 36a* par a“, en affectant du signe— - le produit de deux termes de mêmes signes, et en donnant le signe au produit de deux ternies de signes contraires. On eflêctue ensuite les réductions , et on ordonne le résultat.

Connaissant le i*r terme a ‘ du quotient, et le icr reste, pour déterminer les autres termes du quotient, on observe que le i*r reste exprime le produit du diviseur par la somme des termes inconnus du quotient , et que par conséquent , le i*r ternie — zba* du i*r reste est le produit du 1er terme a3 du diviseur par le i'r des termes inconnus du quotient; on obtiendra donc le i" de ces termes, c’est-à-dire le 2e terme du quotient demandé, en divisant le i'r terme — 2 ba* du Ier reste, par le Ier ternie à' du diviseur; ce qui fournit le 2* terme

— iba.Au quotient demandé.

Enfin, pour trouver le 3* terme du quotient, qui est le dernier , on retranche du i,r reste , le produit du diviseur par le 2e terme — iba du quotient, le a' reste est le produit du diviseur par le dernier terme du quotient ; de sorte que la division du i*r terme — b' a3 de ce 2* reste , par le i'r terme a3 du diviseur, fournit le dernier terme — i’ du quotient. Retranchant du 2e reste le produit du diviseur par — b%, le reste zéro fait voir que le quotient obtenu à1 — iba — b 1 est exact ; car on est parvenu à ce reste, en retranchant du dividende et des restes, les produits partiels du diviseur par les termes a*, — 2 ba,

— b2, du quotient; ce qui revient à ôter du dividende, le produit du diviseur par a ' — iba — b2 ; le reste étant nul , le clivi— i dende est le produit exact du diviseur par a*-r- 2 ba—~b2.

23.Eu général, le dividende étant égal au produit du diviseur par le quotient, si on ordonne le dividende et le diviseur par, rapport à une lettre , et si l’on conçoit le quotient ordonné de la même manière, le i*r terme du dividende sera le produit du Ier terme du diviseur, par. le i'r terme du quotient (n° ig).