C* 4- DA* — ABC
Quand A, B, C, D, satisfont à cette dernière condition, l’équation A*4-C=o détermine une valeur * de z, et les racines
demandées sont — V *• *
On peut parvenir plus directement à la relation (8), car il suffit d’exprimer que As 4- C divise z*4-Bz-j-D; ce qui re-
vient à tirer dç Az4~ G=o, la valeur — — de z, et à mettre
cette valeur dans z* 4- Rz 4" ^ = 0i
Si l’on suppose A = « , B= — 7, C= — I, la relation (8) donnera D = 6 ; on aura z = I , a = ±1 1 ; l’équation (7) deviendra x* -f- xs — 7X* — x -f- 6 = o, et cette dernière admet les racines -f 1, — # ce qui s’accorde avec le 2e exemple ( p. 497)- Lorsque l’équation p (z) == ° est du »""• degré, l’équation (1) admet n couples de racines égales deux à deu,x et de signes contraires.
On opère d’une manière semblable quand l’équation (l) est de degrédmpair.
»3* Problème. Déterminer Un relations qui doivent exister entré les coefficient de Y équation ■ .»
(i). . . x" 4 ar"-.' 4 -bxm~t 4 «r*-34-. ..+ kx + tx= o,
pour que toutes les racines de cette équation soient égales entre elles. ' -t. -t
i'* Solution. Chacune des m racines devant être égale à upc quantité inconnue — et, les relations du n° 225 donnent
, » . "t(m — i) mtm — i',(m — s) , ,
ie
La première équation donne et = ^ , et la substitution de
cette valeur de a. dans les m — i autres équations (2), Conduit aux relations demandées
Quand ces m — 1 relations ont lieu, toutes les racines de l’équation (1) sont égales à — —.De sorte qu’ofl peut donner
des valeurs arbitraires au Æoefficient a.
Remarque. Si chacune des m racines de l’équation (1) devait être égale, à nn nombre donné les équation^ (2) .exprime-
raient les m relations demandées.
2* Solution. Le polynôme xm axm'~-' + 4
doit être égal au développement de (x:4-«0m> et çn a vu (n° 127) que ce développement est .
. 4 m»xm~~' 4
