CHAPITRE VIII
je -f- — de cette racine (n° l3g); le reste correspondant
}**->+ etc. ,
devant être nul quel que soit x, il faut que les coefficiens des diverses puissances de x soient séparément nuis; ce qui fournit les relations (3) demandées. . , v-
4* Solution, Le polynôme xm-f-axln l+èxm~a-f-etc,, devant être de la forme (x+«)m,sa dérivée — i)axm a-f-etc.
doit être égale à m(x + (n° 248). Or, le quotient de
(x+*)m par 1 est ou -J- — ; le quotient de
xn'-\-axn~'-\-bxm~" ‘-f-etc. , par mxm~i-\-{m — i)ax”~ ’-f-çtc. ,
ne doit donc avoir que deux termes. Si l’on détermine les deux
premiers termes 1 -de ce dernier quotient, le reste cor-
respondant
m{m — ij a* 2 I . 9 ..** |
L S ab ?
x“-* •+• etc. ,
devra être nul quel que soitx; ce qui exige que les coefficiens des diverses puissances de x soient séparément nuis. On en déduit les relations (3) demandées.
5e Solution. Soit f(ix)—xm-\-axm~l+bxm~%-\- . . . +Ax-f-/.
Le polynôme f(x) devant être égal à (x -f- a)m, il résulte du principe du n° 249 que ses dérivées successives
f (x)=mx*~*+(m— +(m — î)ix“-î-4-etc.f f (x) =m( au— 1 ) x*-*4•(»,— 1 X"» — » )ax*->* -f-(m — t)(m — etc. , ; 1
fm-> (x) (r* — »),..3,3 .x 4- (m— I ) {m — a)(m— 3)... 3.a. 1
doivent contenir respectivement les facteurs (* + <* )■"■', (ï + « )"~* , . . . , ( x *f-.« )• Par conséquent , si l’on pose
f*~' (x) ■== o , la valeur x = — — tirée de cette équation , sera
5o4 ALGÈBRE. .< .
égale à — •; de sorte que «== — , Or, l’hypothèse • x -as — —
doit réduire à zéro chacune des fonctions y-"-* (x>,/—3(x),..., /* (x) , f (x) , f(x) ; on fera donc x = — — dans ces (m — i)
fonctions de x , les résultats égalés & zéro conduiront aux relations (3).
l4‘ Phoblème. Déterminer les relations qui doivent exister entre les coejfwiens a, bj... kj lj de V équation
(1). . . x " -f- üi’"'1 4- bxm~* +.. .4- tx+ 1= o,
pour que n racines de cette équation soient égales entre elles.
Le polynôme x® + ai”-1 -f- etc. , doit être le produit du développement de (x-f- et)n par un polynôme entier de la forme x*1-" + pxm~n~' -f- . . . 4- sx -f- <; par conséquent , si l’on effectue ce produit, et si on l’ordonne suivant les puissances décroissantes de x, on obtiendra un résultat de la forme
xm 4- Axm~‘ 4- Bxm~* +... 4-Kx 4- L , qui devra être identiquement égal à
x"> 4- ox”-' 4- bxT~* + . . . 4- kx 4- /. ■
11 faudra donc que
(aJ...A = a, B = 6,..., K=k, L> — 1.
Pour en déduire les relations demandées, on élimine les m— n-j-i inconnues m, p s, t , entre les m équations (a); ce qui conduit an — 1 équations de condition entre les m cœfficiens a, b , . . ., t, l. On peut donc assigner des valeurs arbitraires à m — (n — 1) coefficiens de l’équation (1); les n — 1 équations de condition donnent les valeurs correspondantes des n — 1 autres coefficiens de l’équation (1), et pour ces valeurs des m coefficiens a, b , . . . , i, l, l’équation (1) admet nécessairement n racines égales entre elles.
Remarque. Le principe du n" 249 conduit à un plus, grand
nombre d’équations de condition. En effet, J^jwlynpq^. ^
xm -f- axm~' -f- etc. , devant admettre le facteur (x-J-n)1*, le plus grand commun diviseur entre ce polynôme et sa dérivée mxm~' -|- (m — i) BrM + etc. , doit être (x-j-a)*-1 ■, cherchant ce plus grand commun diviseur, on parviendra à un diviseur A'x*-1 -f- B'x*- ’ . .-j-R'x -)- L' ; le reste correspondant, -f-. . . Pa? —J— Q , devant être nul quel que
soit x, il faut d’abord que les ni coefficiens a, b k, l, satisfassent aux n — I conditions
et ces conditions ne paraissent pas suffisantes, puisque toutes les racines de l’équation
devant être égales entre elles, on obtiendra n — 2 autres équations entre a, b,..., k, l, (i3e Problème ); ce qui fournira en tout 2 n — 3 conditions, au lieu des n — i conditions que l’on avait obtenues.
Pour lever cette difficulté , observons que les n — i équations (3), qui expriment qu’il y a un commun diviseur du degré n — 1 entre le polynôme xm -f-axm-,-f-etc. et sa dérivée, s’appliquent nécessairement au cas général oh les n— - 1 facteurs (x — a,), (x — a») , , (x — r a„,) , de ce diviseur sont inégaux ; ce qui correspond au cas général oh le premier membre de l’équation (i) contient lès 2 n — 2 facteurs égaux deux à deux,
(x — a,)*, (x— a,)*,..., (x— de sorte que cette équation est dé la forme
Quand on supposcensuitequeles n— ■ i racines a,, a, ,...,a»i de l’équation (4) sont égales entre elles, on obtient n — 2 nouvelles conditions (i3" Problème ); l’équation (5) devient
{(x — a,)*- ’}* X R = o, ou (x — a,)**-* X R = oj
de sorte que l’ensemble dès on — 3 conditions qui en résultent, exprime que l’équation (i) proposée a an — a racines égales, et
5o 6 ALGÈBRE. .
non pM seulement qu'elle en a nj le dernier procédé devait donc conduire à an— 3 équations de condition (i3e Problème ); on ne peut donc pas en faire usage pour résoudre le problème proposé.
Cette remarque mérite toute l’attention des élèves.
> |5* Problème. Trouver les relations qui doivent exister entre les coefficient des équations à une seule inconnue
(i). . . xm + Px”- 1 + etc. = o, x" + px*-' -J- etc. = o,
pour que ces équations admettent e solutions communes.
Il s’agit d’exprimer que les polynômes xm -f- Pxm-‘ -+- etc. , x* •+■ px*~‘ •+■ etc. , ont un plus grand commun diviseur da degré a.. A cet effet, on continue les calculs du na ai5 jusqu’à ce qu’on parvienne à un diviseur du degré a,
ax* -f- bx*~ ' ■+■ ex*-3 -f* • • • + Ex-f-Z; le reste correspondant
Ax*— 1 +Bx‘t-î + Cx«-3+...+ Rx+L ' devant être nul quel que soit x , les relations demandées sont (a)...A=ao, B=o, C = o,..., K = o, L = o. Quand ces » relations sont satisfaites, l’équation
(3) . .'. ax‘ -f- bx*~l + cx*a + . . . kx -J- l = o détermine les * valeurs de x qui satisfont au système (i).
Exemple. On propose d‘ exprimer que les équations
(4) . . . x3 + Qx + R = o, x3 -J- px*-f-qx+ r=o
admettent deux solutions communes.
On divise x3-j-Qx-J-R par x* +px*+ qx-{- r, ce qui donne le reste — px* -f- (Q — q) x -f- (R — r)\ la division de p^x3 4- pxa +i|i + r) par ce reste , conduit au reste du premier degré
{p’Q-HQ-</)*+p(R— r}x + p’R-f (Q — q) (R— r).
Ce dernier reste devant être nul quel que soit x, les relations demandées sont
