CHAPITRE VIII. 5o

(5) . . . p-Q + (Q— <f)*+p(R— r) = o , p’R-f- CO— <7)(R~r) e» o.

' On peut donc donner de* râleurs arbitraires à trois «les coefficiens Q, R, p , q , r-, les équations (5) fournissent les valeurs correspondantes des deux autres coefficiens, et ensuite les deux solutions du système (4) sont fournies par l’équation

(6) . . . — px* -|- (Q — q) x -f- (R — r) = o.

Soient Q = — ig, R = — 3 o, q = i; les équations (4) , (5) , (6) , se réduisent à

(7) . . . x3 — igx — 3o = o, x3 4- />x* x + r = o ,

(8) . . . p (r + 3o) =± 4oo — 1 9p* , 2 (r + 3o) == 3/>î,

(9) . . . px * -f- aox -f* (r -f- 3o) — o.

Les relations (8) déterminent les trois systèmes

Chacun de ces systèmes, substitué dans (7), fournit deux équations'du troisième degré qui ont deux rafcines communes,- et ces deux racines se déduisent de l’équation (9).

Ainsi , pour p c= 4 et r x=-—6, les équations (7) deviennent

et l’équation (g) , qui se réduit It x* -j- 5x + 6 =± o , donne les deux valeurs xi=r— 2, — 3 ,qui satisfont au système^io).

Remarque. On pouvait prévoir qu’il y aurait trois manières d’introduire deux solutions communes aux équations '(7); car ces équations revenant à

(x-f-a) (x-4-3) (x-^-5) = o, x* + px’ 4- x -J- r = o ,

il ÿ a trois manières de déterminer les coefficiens p, r, de telle sorte que deux des racines — i, —3, +5, de la première équation , conviennent à la seconde. ■"

Si x= — a et xts*— 3 doivent satisfaire à x3-f-/>x*-f-x-f-»"=s= o,

ALGEBRE.

on aura

—8+4 />— 3+r=o> — a^+gp — 3+r=o; d’où p=4> r~— 6.

Lorsqu’on demande que les a. solutions communes aux équations (i) soient égales entre elles, il faut que les a racines de l’équation (3) soient égales entre elles; ee qui fournit « — i autres relations entre les coeffieiens des équations proposées.

16e PhoblÈmb. On propose d’exprimer qu’un polynôme du second degré en X et y , est dicomposable en deux facteurs rationnels du premier degré.

Si le polynôme donné est

y* + axjr + bx * + cy + dx + e, ses deux facteurs rationnels du premier degré seront de la forme y — mx — n , y — m n .

Leur produit

J* — (ni + m!) 3 y + mmx1 — (ra+n,)iy+ (mn-\- nm) x + nn' ,

devant être identique avec le polynôme donné, on a

771+771'=— a, mmzxzb, n+7i'=— c, mn -\-nml — d , nn=e.

Éliminant m, m', n, n , entre ces cinq dernières équations, ou parvient à l’équation de condition

(a« — ad)2 = (a* — 4 b) (c* — 4*) > elle se réduit k dk — acd — 4 be — e*r — bc*.

Quand les coeffieiens a, b, c, d, e, satisfont à cette condition, le polynôme donné est décomposable en deux facteurs y — mx — n, y — mx — n , et les valeurs des quatre inconnues m, n, ni , n, se déduisent de quatre quelconques des cinq équations

771+771':=— a, mm'—bf 71+71':= — c, mn-^-nm'—d, nnx=e.

Si l’on demandait que le polynôme fût un quarré, il faudrait que l’on eût ml — m et 7»' = n ; les équations précédentes deviendraient

27» = — a* 77»” = 6 , .30»=.— C’- 177171 ss d,