Ponr exprimer que V équation
(1). . . xm -4- A*"-1 -f-Bx1”-* •+■ Cx"*-3 -h. . .-+-qx3-+- rx*4»sx + t = o,
a Jeux racines égales et de signes contraires , on peut observer que cette équation devant admettre deux valeurs de x de la forme -b a, — a , si l’on
NOTES. 58 1
y change x en — x, ce qui revient à changer les signes de toutes les racines, l’équation résultante
(a). .. x“ — Ajc"*-' -+- Bar'*-* — Cx"-1 -f-. . .cpqx* ± rx'msx'àltxxo,
devra encore admettre les racines — o, + a. Les premiers membres des équations (1) et (a) doivent donc être exactement divisibles par le produit x* — a* des facteurs x — a, x + a, corrcspondans aux racines + a, — a. Il suffit donc d’exprimer que ces premiers membres ont un commnn divisent de la forme x* — a* ; ce qui conduit h chercher le plus grand commun diviseur entre xm ■+■ Ax"*-1 -+- Bx"*— * -f- etc. , et x™ — Ax*-' -f. Bx"-’ — etc.
Quand m est un nombre pair an, la division de x*»-f- Ax1*-' -f- etc. par x1* — Ax”1-' 4- etc. fournil nn reste
ax (Ax»*-* 4- Cx»"-* +. . .4- <?x> 4- s)
qui ne contient que des pnissances impaires de x; et après avoir supprime' le facteur ax qni est premier avec le diviseur, on divin
A»(x** — Ax’*-' 4-Bx*"-’ — Cx*»-J4-. . . — qx3 -f-rx*— sx4- t) *
par le polynôme Ax’*-’ 4-Cx**-<4-.. .-f- qx' + s , qni né contient que des puissances paires de x; cette division conduit à nn reste de la forme
Les polynômes Ax’"-’ 4-Cx»"-* 4-. . . + qx> 4- s,
ne renfermant que des puissances paires de x, si l’on continue les calcnls relatifs h la recherche du plus grand commnn diviseur , les diviseurs et les restes successifs ne renfermeront que des puissances paires de x. Par conséquent, lorsqu’on sera parvenu h un diviseur du second degré, ce diviseur sera nécessairement de la forme Mx* -4- N, le reste correspondant R sera indépendant de x, et pour exprimer que l’équation (i) a deux racines égales et de signes contraires , il suffira de poser R = o.
Quand les coefficient A,B,C,...,q,r,s,r, satisferont h la condition R = o, l’équation Mx’ 4-N = o déterminera deux racines de l’éqnalion (i) qui seront égales et de signes contraires.
Exehfz,e. Soit proposé d’exprimer que l’équation
(3). . . xi +Ax* -f- Bx* + Cx + D = o
a deux racines égales et de signes contraires.
On change x en — x dans cette équation , ce qui donné
x* — Ax1 4- Bx* — Cx 4 D = o;
on divise les premiers membres de ces équations l’un par l’autre , le reste est ax(Ax* 4- G). On supprime le factcnr ax, cl la division de
A’ (x* — Axs 4- Bx’ — Cx4-D) par Ax’ + C,
58a * NOTES.
conduisant au reste C’ -f- DA* — ABC, la condition cherchée est.... O 4- DA> — ABC = o.
Quand les coefficiens A , B , C , D , satisfont h cette condition , l’équation (3) a deux racines égales et de signes contraires qui sont déterminées par l'équation Ax*4-C. = o.
Ces résultats s’accordent arec ceux que l’on a obtenus ( page Soi).
On opère d’une manière semblable lorsque l'équation (i) est de degré impair.
Note relative au ig* Problème (page 5i3).
33{). Lorsqu’on cherche l’éqnation t ( y ) = 6 dont les racines sont les différentes sommes qn’on pent former en ajoutant deux à deux les m racines a , b, c. . . , k, de l’équation du m‘imt degré f(x) = o, on est conduit à éliminer x entre les équations
/(*) = <>> f(jr — x)=o;
et l’on a vu (page 5t4) que l'équation finale en y qui détermine toutes les valeurs de y propres à satisfaire au système (i) , est
Ponr débarrasser le système (i) des m valeurs étrangères 3a, 3b. . . , 2k, de y, on a divisé f(y — <r) — f (x) par y — ax, ce qui a fourni un quotient exact F i (x, y) j et le nouveau système
n’admettant plus les m valeurs, 3a, ai. . . , a k) dey, si l’on élimine xentre les équations (a), l’équation finale en y qui fournira tputes les valeurs dey convenables au système (a) , sera
Lorsque nous avons dit ( page 5i5) que rélimination de x entre les équations (a) conduit directement a l'équation demandée p (y) — o, nous avons supposé que l’on effectuait l’élimination par la méthode du plus grand commun divisenr, et que les multiplications des dividendes successifs par des fonctions dey n’introduisaient pas des valeurs étrangères dey.
Nous allons prouver que dans ces hypothèses , le resté indépendant de x doit être g (y) , et que le diviseur qui conduit à ce reste est de la forme. . . . A (x* — yx ■+■ B), A et B désignant des quantités indépendantes de x. En effet , soit Y le reste indépendant de x , et désignons par (x , y) le diviseur qni a fourni ce reste ; les solutions des équations (a) spnt les mêmes que celles du système
Or, pour chaque valeur f de y, tirée de Y = o , l’équation p , (x , O ~ o doit fournir les deux racines a , b, de f{x) — o , dont la somme est C ; ce qui détermine les deux ablutions
NOTES
jr = C, x = a || y — C, xe=b.
Par conséquent , chaque facteur y — C de Y doit entrer deux fols dans le premier membre de l'équation finale (3), et p I ( x , f) doit être de la forme A (x* — Cr -f- B) > (n° aa5) ; donc
ï= * (y) et *■ (x<y) = M*' —y* + B)-
Ces propriétés ont e'té vérifiées (page 5i5) lorsque
f(x) — xs — ai* — x -b a.
Remarque. Quand on élimine x entre les équations f(x)=xx'i — ax* — x -f- a = o ,
f(y — x) = x» -f- (a — 3y) x» (3 y* — 4y — i)x— (y>— a y— y -b a) = o , la division de f (y — x) par f (x) donne le reste
On divise (4 — ty)f(x) par Ri , ce qui donne le quotient *-hy — a et le reste R, = (y3 — 4 /* 4* 3y) (y — a*).
Mais, d'après ce qui a été dit dans le n° 289, on obtient toutes les solutions des équations proposées en traitant séparément les deux systèmes*
y'— 4r’-l-3y=o, R.=° Il y — ™=°, R.=o.
Dans le premier système, chacune des valeurs o, t, 3, de y, déterminant deux valeurs de x , on en déduit Ica six solutions
r = o ir = o | y = i |j- = t|r = 3|r = 3
x=i I x = — i Las = — i I x = ai x — 1 ' x = a;
ces valeurs de y sont les sommes que l'on obtient en ajoutant deux à deux les racines -f- i, — 1 , -f- a, de f (x) = o.
Pour obtenir les solutions du deuxième systèmey — ax = o, R, = o, on divise 4R1 par — ax+y , ce qui conduit au reste y1 — 4y* — 4y "+■ i ct les solutions demandées sont les mêmes que celles du système
j.J 4y. 4y-f rSxzo, y — ax = o;.
il admet les trois solutions \
r = a, *=I II y— — o, x =?— i || y = 4» * = »• I
La relation y=ox fait voir que les valeurs -1- a, — a, + 4* de y, sont les doubles des racines de f (x) — o.
L’équation finale en y, qui détermine toutes les valeurs de y propres i satisfaire aux équations données, est donc (n° aa4) ,
(r— °)(y— °)Cy — 0(r — >)(r— 3)(r— 3) (r— aKr+a)(r— 4) = °»
ou (yJ — 4y* + 3y)* (y> — 4y* — 4y+ i6)=o.
Note relative à là recherche de la limite de l'erreur que Von peut
commettre lorsqu'on fait usage dJ une table de Logarithmes (* ) .
340. Pour calculer les logarithmes h cinq décimales des nombres entiers et décimaux qui ne sont pas dans la Table (**), et pour revenir de ces logarithmes aux nombres c orrespondans , ou ramène toujours la question à opérer sur des nombres compris entre 1000'et 10000 , ou sur des logarithmes dont la caractéristique est 3, jï. Pon suppose ;
i6. Que les différences entr.e les nombres sont proportionnelles aux différences entre leurs logarithmes ;
Que les logarithmes tabulaires sont tout-a-fait exacts ; if Propositions qui ne sont, ni l’nne ni l’antre, rigoureusement Traies.
11 est donc necessaire de faire voir d’abord ce qui conduit & poser la proportion indiquée ; et ensuite de calculer L’erreur qu’elle peut produire, en ayant égard aux deux causée d’inexactitude dont elle eet affectée.
34 1. Noua commencerons par démontrer quelques principes sur lesquels est fondée la légitimité de la proportion que l’on établit approximativement cotre les différences des nombres et les différences de leurs logarithmes.
i«. Les différences premières (***) des logarithmes sont positives, et d'autant plus petites que les nombres sont plus grands et que leurs différences sont plus petites.
En effet, soit n un nombre très grand, et l ton logarithme tabulaire ; toit k nn nombre très petit , et f+A le logarithme de n -H A ; on aura
d'où , en divisant la seconde égalité par la première,.
IO* = ^-i-^— I A = logCl + -\
NOTES
(*) Cette note est de M. Vincent, professeur au Collège Sainte-Barbe, auteur d’un traité de Géométrie, qui s'était déjà occupé du même objet dan* les Aunalés de Mathématiques, (tome XVI, page 19).
(a*) Noos supposerons qu’on fait usage de 1a table des Logarithmes placée à la fin de l’Arithmétique de H. Keynaud ; elle renferme les logarithmes à cinq décimales de tous les nombres entiers depuis i jusqu’à 10000. Lorsque nous considérerons d'autres tables, nous aurons soin d’en avertir.
(*•*) Dans une suite de quantités numériques , on nomme différences premières t ou simplement différences , les restes que l’on obtient en retranchant de chacune de ces quantités, celle qui la précédé immédiatement. Ces différences sont positives ou négatives, selon que les quantités vont m croissant ou en décroissant.
De même, si l’on retranche de chacuuc des différences premières celle qui la précède immédiatement, on aura une nouvelle snitc de différence* que l'on nomme différences secondes.
On obtiendrait de même des différences troisièmes , quatrièmes , etc,
NOTES. 585
Or, puUque log i-o, il en résulte que h, ou log(n-+-A) — logn, on enliu lu différence du logarithme /, est positive et d’autant moindre que la fraction - est plus petite, c’est-à-dire d’autant moindre que le nombre n est plus
grand et que la différence A est plus petite.
Ce qui démontre la propriété énoncée.
a*. Lorsque des nombres sont équidiffèrens , les différences secondes de leurs logarithmes sont négatives, et d'autant plus petites que les nombres sont plus grands et que leurs différences sont plus petites.
Soient toujours l et l + h les logarithmes respectifs de n et de n + A, et soit de plus l + h-f-A' celui de n-J-aA; on aura
to'srn, io*+* = n4-A, i o,+i+*' =an + a A ; d’où, en divisant chaque égalité par la précédente ,
n+ A „ n- f- aA
io*=
Si l’on divise encore la dernière égalité par la précédente , il en résultera ,
D’où
(/t-f-A)» — A» / A y (n 4- A)> — 1 \n + kj '
/»' — A = log|t — et.V<A,
car les logarithmes des quantités moindres que l’unité sont négatifs (n» 170).
Or,
quantité d’autant plus petite que n est plus grand et que k est plus petit; et d’ailleurs log i = o; donc les différences premières h et h f approchent d’au- Jant plus de l’égalité, ou bien, la différence seconde h' — h approche d’autant plus de zéro , que n est plus grand et que k est plus petit. „
3°. Si des nombres équidiffèrens sont très grands et ont des différences très petites , leurs logarithmes peuvent aussi (en négligeant les différences fccondes) être considérés comme équidiffèrens.
En effet, si l’on néglige la fraction très petite du second ordre (*)
(«cTâ) * ^^erence secon(îc h? —h deviendra nulle, ou bien, ce qui est la m<ne chose, les différences premières h et h! seront égales entre elles.
(*) Un fraction est dite très petite du af, du 3? , ordre , lorsqu'elle est We produit d<f
a, de fractions considérées comme très petites, ou la a', la 3e puissance d'une
fraction Ut petite. Sa valeur est d’autaul moindre que l'ordre est plus tlevc (a° 119I.
NOTES
4°. Lorsque trois nombres sont très grands et tris peu différens , on peut établir une proportion entre leurs différences et celles des logarithmes correspondons.
Supposons que les différences entre le pins petit nombre et chacun des deux autres soient commensnrables entre elles , et dans le rapport de p h q. Dans cette hypothèse , les trois nombres étant nécessairement de la forme n , n +pk, n +qh, feront partie de la progression par différence
s n . n+lt.n-i-*k...n+pk...n + qki
et d’après ce qu’on vient de voir (3°), les logarithmes des termes de cette progression, dans laquelle on suppose n très grand cr k très pâlit, formeront aussi une progression par différence telle que la suivante :
4 f * l -f" h . I -f- ait. . . I -f- ph. . . I + qh.
Or, on a évidemment
(m+pk) — n : (n + qk}— n II (l + ph) — l : {l -f- qh) — l, car cette proportion revient &
ph : qk Hph : qh.
Le principe énoncé (4°) est donc démontré pour des différences commensurables entre elles, il convient donc aussi à des différences incommensurables (n* i3).
La légitimité de la proportion approchée étant maintenant établie pour tons les cas où les nombres sont très grands et diffèrent très pen, noos allons passer au calcul de l'erreur qu’elle occasions , erreur qui résulte, comme nous l’avons déjà dit, de deox causes que nous aurons à considérer successivement : la première, l’inexactitude de la proportion elle-même; la seconde, l’inexactitude des logarithmes tabulaires.
34a. Calculons d’abord l’erreur qui résulte de l’inexactitude de la proportion ( les logarithmes employés étant supposés exacts ) {*).
Soit n un nombre que nous supposerons supérieur à tooo (les nombres devant être très grands, d’après ce qui précède, pour que l’on soit autorisé à considérer leurs différences comme proportionnelles à celles de leurs logarithmes); de plus, soient l le logarithme de n, et / -t- A celui den + i; A étant la différence tabulaire entre logn et log(rc-f-i); soit encore n + d, n» nombre compris entre n et n ■+• r , et /4-mA son logarithme, m et d était
(*) Dana tout ce qui va suivre, nous supposerons constamment que l’on emploie les ta?es de logarithme, à cinq décimales, et que l’on opère sur des nombres compris entre tooo et >0000, et sur des logarithmes dont la caractérùtique c»t 3. Ainsi , lorsqu'on cherchera le lQartlhme d'un nombre décimal (compris entre tooo et 10000) , la proportion sertira à complète la partie décimale du logarithme demandé,; et quand on voudra trouver à quel nombre appellent un Jogaiitlimc donné (dont la caractéristique est 3),, la partie entière du nombre cheihé se tronvaot dans la table , la proportion servira à calculer la partie décimale de ce nombr*
NOTES. ' 587
supposés moindres que i’unilé (*) ; on anra
(1)... io/e=n, = A ==n-4* î.
Cela pose, la quantité' x qu’il faut ajouter à l pour avoir le logarithme de n se détermine par la proportion
i;<2”A;x, d’oh x = é/A, et \o%(n+d)-=zl-t-dA^ de sorte qu’on trouve l + dA au lieu de /+wA pour la valeur de log(/i-4-d). Ij’errcur qui en résulte est donc égale à (m — d)A: (ou verra , page suivante, que m^>d).
De même, la quantité x qu’il faut ajouter h n pour avoir le nombre auquel appartient le logarithme l+mAf se détermine par la proportion
A ? mA
lx , d’oh x—m\
on troure ainsi qne le nombre cherché esc égal à n-j-m, tandis qne sa râleur exacte est n -f- d. L’errcor qui en résulte est donc m — d.
On voit donc qne l’erreur commise dans les deux cas , provient do ce qu’on prend l’une pour l’autre les deux quantités m et d.
Cherchons , d’après cela , la différence de ces deux quantités. Remarquons 4 cet effet qne les équations (1) donnent
1 oA = n - = t +■ -, n + d= io‘ x (ioA)m = n(i + -'} .
n n \ nj
Développant (,+0’ par la formule du binôme de Newton, laquelle
a clé démontrée généralement (n« 335) , multipliant le résultat par n , et retranchant ensuite n de chaque membre, on tronve
ra m(i— ni) m(i— m) (1— m) m(t— m) (a— m) f3— m)
1 t. an- t. a. 3n” 1. a. 3. 4ni
Dans cette série, le quotient de la division dn terme qni en a r avant lui, r — en
par le terme précédent, est
-. Ce qnotient est évidemment positif et
moindre qne l'unité, puisque m < 1 et n> 1 ; il en résulte qne les termes sont alternativement positifs et négatifs, et que chacun d’eux est moindre qne le précédent.
Or, rfnns toute série dont les termes sont alternativement positifs et négatifs , si chaque terme est moindre que te précédent , la somme des: r premiers termes différera de la somme de tous les termes , d'une quantité moindre que le ( r -f- I )i*m* terme.
En effet , soit une série de cette espèce
S=a— i + e — d-be-— f+g — etc.;
(4) Tons tes nonü>res n , I, è, etc. , sont supposés , dans ce numéro, supportés s 1a même «ailé.
588 NOTES
a, b, c, d, e,f, g, etc., seront des nombres positif], et l'on aura v *<«> c< b, d<c, e<d, /<e, g<f, etc.
Mais on pent mettre S sous les differentes formes
S = a — (b — c) — (d— e) — (/— g) — etc.,
S = a — b + (c — d)+ (e — /}+ etc. ,
$=a—b + c—(d—e)—(f—g) —etc.,
et ainsi de suite.
Chacun des binômes compris entre parenthèses étant positif, on voit que
S <.a, S >a — b, S<a — b + c, S>a — 4-f-c*-d, etc.
Ce qui démontré le principe énoncé (').
On peut dd® déduire de ce qui précède les inégalités
, . mit — m) m( i — m )
Mais la somme des facteurs positifs m , t — m, étant égale è i , il résulte de ce qu’on a vu ( ae remarque , page 206 ) que ‘ <
Mt-mXj, d ou
donc
L’erreur (m — d)à = e que l’on commet dans la première q ueslion f déterminer le logarithme d'un nombre donné ) est donc moindre que — .
Or, n étant supposé plas grand que 1000, on voit dans la table de logarithmes il cinq décimales, que
0|00t . OlOQT 0|OOOOOI
A < — : donc e < -j -, ou e < 5 — .
L’erreur e étant moindreque le seizième d’une unité décimale du sixième ordre, ne saurait porter sur les cinq premières décimales du logarithme cherché (**).
L’erreur m — d — e' que l'on commet dans la seconde question (déterminer le nombre auquel appartient un logarithme donné ) , est moindre
(*) Cette démonstration est tirée des Notes sur V Algèbre , de M- Reyoaud.
(**) 11 ne faut cependant pas entendre par là d’une manière absolue qne ces cinq chiffres décimaux n’en puissent être altérés. Par exemple, le nombre a pour valeur approchée
à cinq décimales 3 1 4 7 1 tandis que celui-ci 3(472995 1 , qui n’en diffère qne de 3 unités du 7* ordre décimal, a pour valeur approchée 3(473oo. Si donc on prenait l'un pour l’autre ces deux nombres k cinq décimales, on commettrait une erreur moindre qu’une unité du 6« ordre décimal, et cependant le chiffre du 3? ordre se trouverait altérés
NOTES
que — l— , ou que — ; elle ne saurait donc porter sur le chiffre des mil- * 8000 o
lièmes.
Lorsqu’on opère avec des tables de logarithmes a sept décimales, on trouve ( en supposant n > toooo ) , ,
OlOOOI OjOOOOOOOT . O|0O0t
A< â ’ e < "“-Te— > * < g
Ainsi, rerreur e ne saurait porter sur la septième décimale du logatîthme cherché, et l’erreur e' ne saurait porter sur le chiffre des dix-millièmes (*).
343. Calculons maintenant l’erreur qui résulte de l’inexactitude des logarithmes ( la proportion étant supposée exacte ),
Pour cela, nous allons , dans ce numéro , rapporter les logarithmes tabulaires (supposés h cinq décimales) , ainsi que leurs différences , à l’unité décimale du cinquième ordre , ce qui revient & les rendre tous 100000 fois plus grands, ou à les regarder comme des entiers ; cette hypothèse n’a nul inconvénient, puisque dans la proportion on ne considère que les rapports que ces différences ont entre elles.
De là il résulte que, les logarithmes étant généralement fautifs, en plus ou en moins, d'une quantité qui a pour limite supérieure la moitié d’une unité décimale du dernier ordre (A rith.f n° 80), cette limite se trouvera représentée
Par
Première question. Étant donné un nombre , déterminer son logarithme.
Soit n-f-d un nombre dont on demande le logarithme, n étant la partie entière , et d h partie fractionnaire; et soient l et V les logarithmes de n et de n -f- 1 , tels qu’ils sont fournis par les tables. Soient i et if les quantités qu’il faudrait ajouter respectivement aux logarithmes /; F, pour les rendre exacts,
ces quantités pouvant être positives ou négatives, et ayant ^ pour limite,
(d’après ce qui vient d’étro dit). En supposant la proportion exacte, comme nous le faisons ici , on trouverait que le logarithme de n-\-d est égal h l -f- i , augmenté d’une quantité x déterminée par la proportion
xl(l'-f-i') — + d’où (en faisant V — Z = A)
x = d ( A + if— i ) ;
cçf qui donnerait log (n-f-<Z) = Z-|-i -{-d ( A + i' — i).
Mais an lieu de cela , on pose la proportion
xU!*(Ct, d’où x=dAj
(") Le* caleuW du n° 34* «ont du*, pour le fond, k Bertrand dr Genève.
Sgo NOTES.
pais on ajoute dAhl, et l’on rejette en omre tonte la partie fractionnaire (in produit (te , sauf à augmenter le dernier chiffre d’une unité s’il y a lieu, ce
qui pcutencore occasioner une erreur dont la limite est En représentant par
f cette en-eur , on prend ainsi 1 + dA —/pour le logarithme de a+d, d’oh résulté l’erreur finale
En supposant donc que les trois erreurs i, ï , f, atteignent leur limite - , ce qui est évidemment le cas oit l’erreur totale est le plus considérable, cette erreur totale sera - (t — d+d+ i)= i.
Ainsi , dans la recherche du logarithme d'un nombre , l’erreur qui résulte de l’inexactitude des logarithmes tabulaires , peut s’élever , soit en plus , soit en moins , jusqu’à une unité décimale du cinquième ordre , ( ou généralement , du dernier ordre décimal des logarithmes fournis par les tables que l’on emploie.
Seconde question- Étant donné un logarithme, déterminer le nombre auquel il appartient.
Soit proposé de déterminer le nombre anquel correspond un logarithme donné l + é, compris entre deux logarithmes consécutifs l et f des tables, cenx-ci correspondant respectivement aux nombres consécutifs n et n-f- 1 : on
prend n ■+■ — pour le nombre cherché, la fraction — étant tirée de la proportion X • I
Mais d’abord , le logarithme donné l-f- t étant poussé seulement au degré d’approximation des logarithmes tabulaires, é est passible d’une erreur positive ou négative qu’on petit représenter par -J- i" et dont la limite est ^ j en ^
outre, les deux logarithmes tabulaires l et V peuvent , comme ci-dessus, étft fautifs des quanittés positives ou négatives -1- i et + »', dont la limite est
également - ; enfin , au lieu de î, on devrait prendre ( l -f- ef-f- f' ) — (/ -f- f ), ce qui donnerait la proportion
d'oh x — — : — -, t
de sorte que le nombre demandé est réellement
Jt
En prenant donc sa différence avec n , on aura pour l’erreur commise
NOTES
fr
Sgi»
Le maximum relatif à / s’obtiendra en faisant «T=çA — i ( pourvu que Ton donne à i r i', i", des signes propres à rendre aussi grande que possible la valeur numérique du résultat), ce qui fait
A(t* — i) — A(i' — O-J-f — < l A (ia — i') + i' — i
A(A-f-i' — i) AX A -f- i' — i
Or, il est visible que le second facteur devient égal à l’unité quand
f=s -f “ et if cz — I ; et qu'il ne peut avoir de valeur plus grande; donc la
limite de Terreur commise est - , quantité qui croît de plus en plus à mesure
que A diminue ou qu'on avance davantage dans les tables.
S* l’on veut déterminer la valeur que doit avoir A pour que le nombre
cherché ne soit pas fantif de la fraction i (ce étant une puissance de 10), il
fuudra satisfaire à l’inégalité
dou û>2*-
Ainsi, en faisant usage des tables de logarithmes à cinq décimales, pour trouver le nombre plus grand que 10000 auquel appartient un logarithme donné, on ne peut compter sur le chiffre des dixièmes , à moins que les différences tabulaires ne soient au moins égales h 20, c’est-à-dire à moins qnc le nombre cherché ne soit inférieur à 3170 environ; de ‘sorte qu'au-dessus de cette limite, la proportion ne fournit aucun chiffre décimal du nombre cherché , et l’on est obligé de s’en tenir à la partie entière foornie par la table, ce qui vérifie ce que nous avons dit ( Arith . no 208 , 3°).
Lorsqu’on emploie les tables de logarithmes à sept décimales à la recherche d’an nombre compris entre 10000 et 100000, à l’aide de son logarithme, on ne peut compter sur le chiffre des centièmes à moins que les différences tabulaires ne soient au moins égales à ooo , c’est-à-dire à moins que le nombre cherché ne soit inférieur à 21700 environ ; mais alors on peut toujours compter sur le chiffre de* dixièmes .
344* Nous pouvons actuellement évaluer l’erreur totale qui résulte des deux causes d* inexactitude que nous avons traitées séparément (n°* 34^ et 343).
Dans lë n° 3$2 , nous n’avions pas eu égard à l'inexactitude des logarithmes, et dans le n° 343 , an contraire , nous n’avons considéré que cette dernière cause d 'erreur.
Or, il est facile de voir que c’est à celle-ci qu'il faut définitivement s’en tenir, sans avoir aucun égard à l’autre. En effet, dans la première question
NOTES
{déterminer le logarithme d’un nombre donné), ayant une fois constate'
(n° 343) que l’inexactitude de In proportion ne peut influer sur le dernier chiffre des logarithmes tabulaires, on doit co^idércr lu proportion comme étant tont-à-fait exacte, et n’avoir plus d’égard qu’à l’inexactitude de ces logarithmes. De même , dans la seconde question {calculer le nombre auquel appartient un logarithme donné), la limite de l’erreur qui résulte de l’inexactitude des logarithmes tabulaires ne dépendant que de la différence tabulaire et par snite des derniers chiffres de ces logarithmes, chiffres sur lesquels l’inexactitude de la proportion n’a aucune influence, il en résulte encore que 'celle-ci doit être tout-à-fait négligée.
345. En BÉscMé, d’après tout ce qui précède, lorsqu’on cherche le /ogarithme d'un nombre compris entre 1000 et 10000, au moyen de la proportion , et en employant les tables à cinq décimales , on doit pousser le calcul jusqu’à la cinquième décimale inclusivement , mais pas au-delà , en augmentant, s’il y a lieu, la cinquième décimale d’une unité, suivaut lu règle qui a été donnée {Arith., no 80). Il faut toutefois observer que le dernier chiffre ainsi obtenu peut être en erreur d’une unité; de sorte qu’une somme de logarithmes et de complc'mcns arithmétiques de logarithmes peut être fautive d’une quantité dont la limite est autant d’unite's décimales du • dernier ordie , qu’il y a de parties dans cette somme; de sorte aussi que, si dans la vue d’obtenir une puissance d’un nombre, on multiplie son logarithme par l’exposant de là puissance, le logarithme qui en résultera pourra être fautif d’autant d’unités décimales du dernier ordre qu’il y a d’unités dans l’exposant de la puissance. Il n’en est pas de même des extractions de racines, parce que les erreurs qui affectent les logarithmes sont divisées pries indices de ces racines.
Tout ceci est applicable aux tables à sept décimales, avec cette différence que le nombre snr lequel on opère est supposé compris entre 10000 et 100000, et que le logarithme doit être calculé jusqu’à la septième décimale.
Au contraire, lorsqu’on cherche un nombre (toujours supposé compris entre les mêmes limites) au moyen de son logarithme, le degré d’approximation qu’il est possible d’obtenir en fraction ordinaire a toujours pour mesure V unité divisée par la différence tabulaire (quelle que soit celle des tables qu'on emploie); mais si l’on veut obtenir le nombre
cherché sous forme décimale, à —, d’unité près, comme on le fait
presque toujours, la différence tabulaire doit être au moins égale au
double du dénominateur de la partie fractionnaire décimale cherchée, sans
quoi il faut renoncer à obtenir le degré d’approximation demandé ; de sorte
que la proportion devient tout-à-fait inutile pour la question actuelle si la
différence tabulaire n’est pas au moins égale à ao.
