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NOTES
Note relative à F extraction de la racine quarrte.
33(>. Lorsqu’on a trouvé plus de la moitié des chiffres de la plus petite valeur entière approchée , n, de la racine quarrée d’un nombre entier N, si Cnn désigne par a laSvaleur de la partie de la racine déjà obtenue, le reste correspondant sera N— a’ ( Arith . , page 164, n° 1 29).
Soit représenté par C la plus petite valeur entière approchée de la partie de la racine qui reste à obtenir; nous allons démontrer que la division du reste par aa, donnera C ou C+i unités au quotient.
Il s’agit de prouver que le quotient de N — a* par Ta est compris entre C et C+3.
Ou observera d'abord que a contient autant de chiffres que n on que a+ C ; car pour exprimer en unités simples la partie de la racine déjît obtenue, il faut mettre autant de zéro II droite de lu partie obtenue qu’il rade chiffres dans C (*).
Cela pose, on a n=a+C, V^"=*+ f + A d’où
N —a- = aa^l- /) + (C+ /)*,
Or, t est positif et moindre que ■ ; dune
ÏW
— >C et *H^<C4.,+£±^
La question sc réduit donc & faire voirque l’on a toujours
<t; ce qui revient h (C+l)*<2a.
La propriété énoncée sera donc démontrée, si l’on prouve que l’inégajité (f + i)><iaa lieu lorsque , a étant le plus petit possible, fest le plus grand possible; ce qui revient h supposer que a est l’unité suivie de plusieurs zéro, et que tous les chiffres de C sont des 9.
1°. Quand n a ip chiffres, a a aussi tp chiffres. Or, on suppose que a est le plus petit possible et que C est le plus grand possible. Par conséquent, a est l’unité suivie de tp — 1 zéro ou to’E-1 , et C est un nombre formé de p — 1
(*) Par exempte, si la partie entière rie la racine n étant 4x356, on a déjà tronvr les trois premiers chiffres 4, a, 3, on aura a=4s3oo, n = 4x356, C=50.
578 MOTES
chiffre* égaux h 9, ou ioe-' — 1 . De sorte que
« = io»E-‘, C s= loP-' — 1.
On en dédait
3«>io>e— , (CH- 1)* = io*p-», (C+i)*<io*p— .
Donc (C+0*<a“-
Quand n a apH- 1 chiffres, <t est l’unitc suivie de a p zéro; f est forme de p chiffres égaux il 9. De sorte que
«=10’'’, C=iof — 1 j d’oi» a* > to %r, (CH- 1)* = ro»f.
Donc (C+i)’<J*.
Le principe est donc démontré.
i*r Exemple. Soit N = aoi5a64i6.
La partie entière n de ^/N, ayant 5 chiffres, on cherche scs trois premiers chiffres par la méthode ordinaire ( Arith . n» ia8, page 161); ces chiffres sont 1, 4,1; ils valent 14100 unités j le reste correspondant étant 3716416, on le divise par a fois 14100; ce qui fournil le quotient 96 çt le reste 9316. La râleur entière approchée de est donc 14100 H- 96 on 1 4
a* Exemple. Soit JV =4taa5a4i6.
On trouve <t — ao3oo; le reste correspondant est i6a4i6.
Pour obtenir les deux autres chiffres de n , on divise ^^4 16 par le double 40600 de ao3po; ce qui fournit le quotient entier 4 et le reste 16. De sorte que
n = ao3oo H- 4 = ao3»4. #
3» Exemple. Soit N = 301536417. ®
On trouve , par le procédé ordinaire , que les trois premiers chiffres de n sont 1, 4, I ; de sorte que « = i4ioo; le reste correspondant c#l 3716417. La division de ce reste par 3 *, donnant le quotient 96 et le reste 9317, la valeur entière approchée de \/^ est 1 4 1 9®*
4e Exemple. Soit N = 3g6oo.
Le nombre n ayant trois chiffres, on cherche scs deux premiers chiffre* par le procédé ordinaire; ces chiffres sont 1 et 9; de sorte qne <t= 190; le reste correspondant est 35oo; la division de 35oo par 190 X a fournissant le quo tient 9 et le reste 80, la valeur entière approchée dc'l/'N est îgg.
On peut facilement reconnaître si la méthode précédente déterminé la plus petite ou la plus grande valeur entière approchée de la racine cherchée. Encffet;soit Q le quotient entier de la division de N — «t* paras, et R ç, Je reste.' On'vicnt de prouver que Q est toujours égal h C ou è CH- 1.
La relation N — éz 3*(C+ 1) + ( CH-/;* donne
' NOTES, 5to
. . N - «* = + (C* + w 4. tct + f,)f
•Cela pose : i°. lorsque Q = C, la relation (t) fait voir que
R = C, + 2xS+‘>Cf+ /*; donc R = C on R>C‘.
Par conséquent, R = Q» ou R>Q».
a“. Lorsque Q = C+i, la relation (a) démontre que
Or, /étant positif et moindre que 1, on a
(^ + 0* > (f + /)* ; donc k pin» forte raison (C+ 0* > (C-H /)* — a*(t /) j donc * Q* > R.
3°. Réc.raoquEMEicT. Lorsqu’on a R = Q* ouR>Q>, le quotient Q est égal h C, car autrement, Q serait égal h C+i, et d’après (a«), R ,erait moindre que Q» j ce qui est contre l’hypothèse.
Qna“d R < Q*, on a C+ 1,
car autrement, Q serait égal à C ; et d’après (1°) on aurait R = Q» ou R>0* ce qui est contre l’hypothèse. ^ *
Par conséquent, selon que Q- n’est pas plus grand que R, on est plus grand que R, le quotient Q est égal a Cou a C+ 1 ; de sorte que la méthode indiquée détermine la plus petite ou la plus grande vtlïeür entière approchée de La racine quarrée du nombre donné .
Remarque. Lorsque R= Q», le nombre donné est le quarré de
car la relation = Q + — donne
aa ^ a*
Dans les deux premiers exemples (page 5j8), le reste R étant égal an quarré du quotient Q, la méthode indhjfte. détermine la racine quarrée exacte cln nombre propose'. ,
Dans le 3° exemple (page 578), on a
W = ao.5a64i7, Q = g6, Q>=9at6, R = 9ai7, Q* <R; donc Q=f.
Le nombre 1^196 obtenu à la racine exprime donc la plus petite valeur entière approchée de \/ aor5aG{ 17.
Enfin , dans le 4e exemple {page 578) , on a
Q = 9. Q* =8t, R = 8o, Q* > R ; donc *Q = f-)-,.
Le. nombre 199 obtenu h la racine est donc la plus grande valeur entière approchée de \/ 3g6oo.
Not». Les démonstrations contenues dans cette npic ont paru pour la première foi» dans l’édition de mon Algèbre publiée en 1800.
NOTES
Note sur le ii° 177 (page 3oa).
3Ï;. Un procédé analogue à celui du n* 177 fournit le moyen de résoudre les équations exponentielles de la forme
(1). . . A -h B '4**+"' -+• C'cP'+e' + etc. =0.
En effet, celte équation revient i
A'am’am* + B'4"'4»* + C'cf'ct* ■+. etc. = o.
Soient A'a”, = A, B'4*' = B, C'cf'zsC, etc.
A, B, C, etc., sont dçs nombres connus; l’équation (1) devient (a). . ..Aa“* 4- B4** ■+• CcP* ■+■ etc. = o.
Pour calculer sr, on fait 4 = a?, c = a etc. ; on a vu (page^oi, t°) que les valeurs des inconnues C, f, etc. , sont fournies par les équations „ Ib ■ le
C=Ta' *=Ta’etC- •
Connaissant les exposans C, f, etc., l’éqnation (a) se réduit h
Aa“* •+• Ba^nï -+• C a*Px + etc. = o ; et en posant a1 = z , on a ,
(3).. . Azm 4. B*^rt ■+• CifP -b etc. = 0, (4)...ar = ~
L’éqnation (3) détermine les valeurs de z, et ensuite les valeurs correspondantes de x se déduisent de la relation (4). .
ter Exemple. Soit a* — 5a*-* — 4 = 0-
L’équation (3) se réduit & z — 5a~*z — 4 = 0i d’olt
a* Exemple. Soit a»*î — a a*-* — 3 = o
L’équation (3) devient a-**’ — aa~ *z — 3 ■= o.
Cette dernière fournit deux valeurs de z, et ensuite la formule (4) détermine les denx valeurs correspondantes de x. .
Nofe relative au n° 3i3 ( page 4d9)-
