CHAPITRE II

quation (1). Substituant les valeurs (4) «le * et jr , dans (i), on parvient à un résultat de la forme

dans lequel A', R, C', sont des nombres entiers premiers entre eux.

Si A' et B' ont un facteur commun , l’équation (5) n’admettra pas de solution entière.

Si A' et B' sont premiers entre eux, l’équation (5) admettra une infinité de solutions entières, et la recherche de ces solutions «xmduira à des résultats de la forme

z — y + BV, e — i — AV,

dans lesquels e représente un nombre entier arbitraire.

Mettant la valeur $ — AV de e , dans (4), on obtiendra des résultats de la forme

(6).... x=ztz — BAV, y = ô-}- AAVj on a z=y-f- BV.

Toutes les valeurs entières de x, y, z, qui satisfont aux équations (i) et (2), se déduiront des formules (6) , en donnant successivement à e les valeurs o, 1 , 2 , 3, etc. , — 1 , — 2 , — 3, etc.

Si, A et B étant premiers entre eux, A' et B' avaient un facteur commun, les formules (4) donneraient des valeurs entières de x et y; mais alors, l’équation (5) n’admettant pas de solutions entières, les valeurs correspondantes de z seraient fractionnaires.

Appliquons cette théorie à un exemple numérique.

Soient, 4X — 2 y 5z = 1 3 , — 3a: + 7 y -f- 5z= 10.

L’élimination de z donne "jx — gy = 3.

Si l’on cherche les solutions entières de cette dernière équation , on trouvera

ar = 12 +9*, y — 9 + 7*.

Substituant ces valeurs de x etjy dans l’une quelconque des «kjuations proposées, on parvient à

5 1 -f- 22e = — 1 7 ; d’où

z~— y — i — g . soit i + e=3e , on a

Substituant la valeur 5e' — i de e dans celles de x, y, s, ou trouve

(i)... x — 3 (i -f- i5e'), y= 2 -f- 35e', z=si — aae'.

Ces valeurs de*,^, z satisfont aux équations proposées quel que soit e , car elles rendent ces équations identiques.

On obtiendra toutes les solutions entières des équations proposées en donnant à e' les valeurs 0,1,2, 3 ,etc. , — i , — 2, etc.

Les formules (1) démontrent qu’i/ n’existe qu’une seule solution entière positive y car

e = o donne x = 3 , y = 2 , z = 1 ,

et pour toute autre valeur entière positive ou négative de e' , l’une des inconnues x, y, z devient négative.

On déduit facilement de ce qui précède, la manière de trouver les solutions entières de m équations numériques du premier degré entre m-\-n inconnues. En voici des exemples.

1 *r Exemple. Soient les trois équations

3x — av = 2i, x = 3z-f-2, y = 6t-{-3.

Eliminant x et y , on trouve 3z — 4 * = 7- Cette dernière équation, entre les deux inconnues z, t, donne

La substitution de ces valeurs de t, z, dans celles de x, y , conduit à (3) x—\7.e — 19,^= 3 (6e — i3).

Les valeurs (2), (3), de t, %,x et y , satisfont aux équations proposées, quel que soite.

Si l’on ne veut admettre que les valeurs entières positives de x ,jr , z et t, il faudra que le nombre entier arbitraire e satisfasse aux inégalités

120*19, 60>l3; d’où e^> -5, ej>-^.