CHAPITRE

Exemple. Soit l’équation 5x — 3 y = t.

On a vu (5* Problème j page i5o) que ses solutions entières sont fournies par les formules

Donnant successivement à e les valeurs i, 2, 3, 4> etc., les valeurs de a: seront 2, 5, 8, ii, i4, etc.

et celles de y seront 3, 8, i3, 18, 23, etc.

Ces valeurs de x et y forment deux progressions arithmétiques, dont les raisons sont les coefficiens 3, 5, de y et de x.

74. 11 résulte de ce qui précède, que lorsque a, b, c étant des nombres entiers positifs premiers entre eux , a et b n’ont pas de facteur commun, chacune des équations

(1)... ax-j-ày = c, (2)-.. «x — by — c,

(3)... — ax+byz=c, (4)... — ax — by = c,

admet une infinité de solutions entières.

Le nombre des solutions entières positives de ces équations , dépend des signes des coefficiens des inconnues x, y. En effet :

U équation (1) n’admet qu’un nombre déterminé de solutions entières positives; car la somme des nombres positifs ax, by, devant être égale à la constante c, lès parties de cette somme ne sauraient croître indéfiniment.

Chacune des équations (2), (3), peut admettre une infinité de solutions entières positives ; car les nombres ax, by , croissant indéfiniment , leur différence peut conserver la même valeur c.

Enfin , il est évident que X équation (4) n’admet aucune solution entière positive.

75. La manière de trouver les solutions entières de m équations du premier degré entre m-\- n variables j se déduit de ce qui précède. Pour éviter des répétitions inutiles, nous supposerons toujours qu*on a ramené les équations proposées et les transformées, à leurs formes les plus simples; c’est-à-dire qu’on a fait disparaître tous les dénominateurs et qu’on a

i58 ALGÈBRE.

ensuite supprimé les facteurs communs aux différens termes de chaque équation. Dans ce cas, lorsqu’on parviendra à une équation dans laquelle les coefficiens des inconnues auront un facteur commun, cette équation n’admettant aucune solution entière, il en sera de même des équations proposées; de sorte qu’il sera inutile de continuer à chercher les solutions entières de ces équations.

Proposons-nous d’abord de calculer les solutions entières de deux équations du premier degré entre trois inconnues x> y > %. On ramène d’abord ces équations à la forme

(l)... ax -f- by + ca = d, (2)... a'x + b'y -f- c'a = <t ,

a, b , c , d, désignant des nombres entiers premiers entre eux, ainsi que a' , b' ,c , et. On démontrera comme dans le n° 72, que ces équations n’admettent des solutions entières que lorsque a, b, c, sont premiers entre eux , ainsi que a', b’, c.

Pour découvrir les solutions entières positives des équations (1) et (2), on élimine a entre ces équations ; ce qui conduit à un résultat de la forme

(3)... Ax By — C.

A , B, C, désignant des nombres entiers premiers entre eux.

Le svstème des équations (1) , (2), peut être remplacé par

(1).. ax by -+- cz — d, (3)... Ax + By=C.

11 suffit donc de chercher les valeurs entières de*,y,z,qui satisfont aux équations (1) et (3).

Si A et B ont un facteur commun, l’équation (3) n’admettra pas de solution entière. Le problème sera donc impossible.

Si A et B sont premiers entre eux, l’équation (3) admettra une infinité de solutions entières. La recherche de ces solutions conduira à des résultats de la forme

(4)-.. x=a'-f - Be , y=G' — Ae,

dans lesquels e désigne un- nombre entier arbitraire.

Les valeurs (4) de x,y satisfont à l’équation (3) quel que soit*. 11 suffit donc d’exprimer que ces valeurs conviennent à l’é-