Hz
On fait - — — — e; d’où x = 8 — y — z-j-e,
1 — 4Z — le
Posant 1 — e—ze', on a y— — 2a — 3e+e', e=i 2/.
La substitution de cette valeur de e, dans celles de y et x donne
(2)... y = 7e' — (22 -j- 3) , x = z-f 12 — ge'.
Ces valeurs de y et x satisfont à l’équation proposée, quels que soient e' et z. On obtiendra toutes les solutions entières de cette équation en donnant aux indéterminées e', z, les valeurs o, 1,2, etc., — 1, — 2, etc.
Pour trouver les solutions entières positives j on observe que y devant être positif, il faut que e' soit positif et plus grand que zéro.
D’ailleurs, y et x devant être positifs, il faut que 7e'>2z-J-3, 9e' <^z + 12; d’où 22 < •je' — 3, 2z > 2(ge' — 12).
Ces deux dernières inégalités exigent que
2(9e'— ! l;*)<7e'— 3; d’où e' < Maise'>o.
On ne peut donc admettre que la valeur e'=i , pour laquelle les formules (2) donnent
Or, y doit être positif et plus grand que zéro. On ne peut donc faire que 2= 1 • d’où y = 2 et x=4.
,6a ALGEBRE.
La seule solution positive de l’équation proposée est donc
3* Exemple. x+y-H+f=,00> aox+ 1 qy-f-4z.-W=a0°* L’élimination de t donne
(i)... 19X -4- ç$y + 3z= ioo; d’où
x et^ 1 — x
étant entiers , pour que z le soit , il suffit et il faut que soit un nombre entier quelconque c. Donc
, x = 3e; d’où * = 33— 6x— 3 y + e, x=i — 3e. Substituant cette valeur de x dans celle de z, on trouve z= 27 + 19e — 3,y.
Les valeurs x—i — 3e, z — 27 "H *9* ty, satisfont à (1) quels que soient y et e. En les substituant dans l’une quelconque des équations proposées, on parvient à
l = 72 + ny — 16e.
Les valeurs
x= 1 — 3e, z = 27+ 19e — 3^-, f = 72 + qr — i6e,
satisfont aux équations proposées quels que soient y et e. De sorte qu’on obtiendra toutes les solutions entières de ces équations, en donnant aux indéterminées y, e, les valeurs o, 1 , 2, 3, etc. , — 1, —2, —3, etc. .
Il existe donc une infinité de solutions entières.
Pour trouver les solutions entières positives j on observe que la valeur 1 —3e de x devant être positive, il faut que e soit réro, on que e soit un nombre négatif — e.
. , e = o donne x=i, * = 3(9 — ^), t = 2(j + 36).
z devant être positif, on ne peut donner à y que les valeurs 1 2 3 4, 5, 6, 7, 8. Ce qui fournit huit solutions entière» positives des équations proposées.
