M. DCCC. XX
ÉLÉMENS D’ALGBÈRE.
ui THODX DES COÉFFICIENS INDÉTERMINÉS.
t 53. Les quantités se distinguent généralement en quantités constantes et quantités variables. Les quantités qu’on nomme constantes ou déterminées, sont celles dont les valeurs sont supposées fixes on données, et celles qu’on nomme variables ou indéterminées, sont celles auxquelles on est maître d’attribuer successivement diverses valeurs, ainsi qu’on l’a vu (Chap. VII et XI), où la quantité x représente tous les nombres possibles.
a54* Nous avons distingué ( 194 ) entre l’égalité et l’équation : il existe une autre relation analogue, quoique différente de celles-là et à laquelle on a donné le nom d'identité : c’est celle qui a lieu entre une opération indiquée et le résultat de cette opération effectuée : on en a vu des exemples dans le chapitre septième, où on a considéré des égalités entre des fractions qui sont des divisions indiquées, et les quotiens de ces divisions : comme la fraction et le quotient doivent se répondre pour toutes les valeurs d’une certaine quantité, cette quantité est dite variable par opposition aux nombres qui entrent avec elle dans la composition de la fraction, et qui sont constans ou invariables.
a55. Lorsqu’une expression renferme ainsi urte quantité variable qu'on désigne ordinairement par l’une des dernières lettres de l’alpbabet, x,ou /,
3i4 CHAPITRE XX.
ou z, etc., quantité qui peut être combinée avec des constantes, on l’appelle fonction de cette variable, et on est convenu de la désigner abréviativement par Fx , ou fx, ou F, f ou <p étant la lettre initiale du mot fonction, qui couvre la variable qu’on met seule en évidence , sans faire mention des constantes ou des nombres combinés avec elle dans l'expression ou dans la fonction.
a 56. L’objet de la méthode des coéfficiens indéterminés, est de développer toute fonction suivant les puissances croissantes de la variable quelle contient : on suppose que ce développement procède suivant toutes les puissances entières et positives de cette variable, et les coéfficiens de ces puissances, sont des constantes inconnues ou des indéterminées qu’il s’agit d'évaluer. Lorsque la fonction devient nulle en même temps que la variable, il doit en être de même du développement dont tous les termes doivent contenir cette variable en facteur; mais dans le cas où la fonction se réduit à un nombre, en supposant la variable égale à zéro, l’un des termes du développement, ne doit pas contenir cette variable. Le principe fondamental de celte méthode consiste en ce que si l’on a une équation ou une identité de cette forme,
A' + Bx + Cx* + Ex 3 + Exr' ~t- etc. = o (i)
dans laquelle les coéfficiens A', B', Ce te., sont des constantes, et x une quantité variable qui puisse être supposée aussi petite qu’on le veut, il faut nécessairement que chacun de ces coéfficiens pris séparément, soit égal à zéro, c’est-à-dire qu’on ait
A' — o y B = o , C=o , JJ ~o y E = o , etc.
quel que soit d’aille’ùrs le nombre des termes de cette
ELEMENS D’ALGÈBRE. 3i5
équation. En effet, puisqu'on peut supposer la variable x aussi petite qu’on le veut, on pourra rendre aussi petite qu’on voudra la somme des termes qui ont x pour facteur, c’est-à-dire, la somme des termes qui suivent le premier et qu’on peut représenter par Mx ; en sorte que l’équation ci-dessus sera représentée abréviativement par
A 4- Mx~o : d’où A — — Mx ;
conséquemmemt la quantité A' pourrait varier par x susceptible de toutes les valeurs possibles, en sorteque de constante qu’elle doit être, elle deviendrait variable : ainsi puisque la présence de ce terme A conduit à une absurdité, on doit supposer A'=o. Il reste donc
Ex 4- Cx x -+- D' 4- Ex k -+- etc. = o et, après la division par x,
E Cx -j(p px x -4- Ex' 4- etc. = o,
d’où l’on tire B—o par la raison qui a donné A‘=o: par le même raisonnement, on prouvera que C=o, D — o, etc.
On déduit de là une autre conséquence importante. Si on a l’identité,
A -4 Bx 4- Cx y 4- Dx' 4- etc.
. —A + Ex A- Cx' 4- Dx' 4- etc.,
qui doive avoir lieu pour toute valeur de x, les coéfBciens des mêmes puissances de x, seront égaux. En effet, en transposant tous les termes dans un seul membre, on aura
(A — A)-t-(B — E)x-h(C — C)x x + (D — £/)x > 4- etc. = 0,
don l’on tire, d’après le principe précédent,
3i6 CHAPITRE XX.
A — '—o, B — B =o, C—C=o, D — D=o etc et conséquemment,
A=zA", B — B, C—C, D — D etc.
On peut encore faire usage de la considération suivante pour prouver que tous les coéfBciens de l’équation (i) sont nuis. Puisque, pour toute valeur de x, les termes de (i) doivent s’entre-détruire, et puisque d’ailleurs cette destruction ne peut avoir lieu qu’entre les termes semblables qui sont ceux de la même puis* sance de x, on doit avoir
A' — o, Bx—o, Cx’=o , D a?— o etc.
mais comme x doit être quelconque, on ne peut dire que les produits Bx, Cx* , ZXx 3 etc., deviennent nuis par x, et conséquemment on doit poser B = o, C=xo, D' = o etc.
257. Éclaircissons ces généralités. Lorsqu’on eut développé par la division, ainsi qu’on la fait (eha-
pitre VII), des fractions telles que | ■■ - , ^ ,
—, — a , + ^ X . — -- etc., dans lesquelles le polynôme nu-
mérateur est en x d’un degré moins élevé que le polynôme dénominateur, on remarqua que ces développemens procédaient tous suivant toutes les puissances entières et positives de la variable x et qu’en passant d’une fraction à l’autre, les coéfBciens des puissances de x changeaient, mais qu’ils ne dépen daient que des nombres ou des quantités données a, b, c etc., a, b', c etc., qui entrent avec x dans la fract ion. C’est d’après cette considération qu’on a adopté cette forme générale et commune de développement,
• A Bx -+• Cx' Dx* etc..
ÉLÉMLNS D'ALGÈBRE. 317
en observant que les fonctions que nous considérons ici, ne devenant pas nulles avec x, puisqu’elles se réduisent à un nombre, le développement doit contenir un terme sans ar, comme nous l’avons observé plus haut. On posera donc, par exemple,
. .. a ---—A + Bx+ Cx‘ -4- Dx* -f- Ex* + etc (i):
comme le quotient est infini, le nombre des indéterminées A , B, C etc., est pareillement infini et il faut se procurer pareil nombre d’équations : à cet effet , on partira de cette propriété que le produit du diviseur par le quotient doit être le dividende, quelque soit x : multipliant de part et d’autre par a -B'Xy et retranchant a de chaque membre, on a cette identité, >
a'A + a'B x + a'C x 1 + a'D x‘ -t-o'^|x 4 -t-etc.=o; — a + b'A ! -V B -+- b'C -\-b'D\
mais d’après le principe énoncé et démontré (a56), on doit égaler séparément à zéro le terme sans x, et les coéfficiens de x, x’, x 1 etc., ce qui fournit ces équations,
a A — a = o, a! B + U A — o , àC+ b'B—o y a'D+b’C—o , a'E + b'D=o etc., d’où on conclut ces déterminations
D— ; C, E= ,D, etc.
où l’on voit que chaque coéfficient, à partir du second B inclusivement, est égal au précédent mul-
tiplié par la fraction — —, qui est immédiatement
donné par le dénominateur d + b'x de la fraction : celte loi remplace le nombre infini d’équations, nécessaire pour évaluer pareil nombre d’indéterminées, et
3i8 CHAPITRE XX.
elle dispense de pousser plus loin les calculs. La détermination du premier coéfficient A, aurait pu se tirer de l’hypothèse x=o, faite dans l’identité(i), et
qui donne ~ — A, comme on vient de le trouver.
Soit encore,
- 7 - a î?~ , ; —A + Bx+ Cx' Dx* + Ex* + c\c :
a -t -bx+cx*
après avoir multiplié de part et d’autre par le dénominateur, transposé a-hbx dans le second membre, et égalé à zéro chaque colonne verticale de coéfficiens, on obtient ces équations,
Ad — a—o A— —,
Bd Ab — b=o desquelles — d ^ ^ d
Cd -+- Bb Ac'=o on déduit C = — —, B —
Dd -4- Cb’ + Bc' = o D— — —, C — —, B
etc. etc.
on voit qu’à partir du troisième coéfficient C inclusivement, un coéfficient dépend toujours des deux précédens, de sorte que si P , Q, B sont trois coéfficiens consécutifs , on aura ce terme général des équations ci-dessus,
Bd + Qb' + Pc=o } d’où B = — —, Q — —,P-
les deux premiers coéfficiens une fois évalués, donneront donc tous les autres.
Il est naturel de conclure de ces cas particuliers qu’une fraction rationnelle de la forme
a -+- bx ex 1 -+- -+- px n —*
d -+- Ux ex 1 H- -4- q'x n
ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 3i 9
donnera lieu à une suite dans laquelle le coéfficient d’un terme quelconque, dépendra d’autant de coéfficiens immédiatement précédens, qu’il y a d’unités dans le plus haut exposant de x au dénominateur, en observant que cette loi ne commence à se manifester qu’après un nombre de termes, égal à celui du numérateur. Les coéfficiens
par lesquels il faut multiplier ceux qui précèdent celui qu’on veut évaluer en remontant, portent conjointement le nom d'échelle de relation , et les suites résultantes du développement des Raclions rationnelles , ont été appellées suites récurrentes , parce que, pour former chacun de leurs termes, il faut recourir à un certain nombredetermesprécédens.Danslaseconde section, nous reviendrons surcessortesdesuites.
a58. Dans tous ces développemens , nous excluons les puissances fractionnaires et négatives de la variable , parce qu’en supposant de pareils exposans, on trouve que leurs coéfficiens deviennent nuis.
a5g. Nous pouvons appliquer la méthode précédente à quelques développemens , et nous commen-
cerons par celui de la fonction remarquable — -,
dans le cas de m nombre entier. Nous poserons
llflt ÿTTl
= u m ~ t •+- Au" 1 —* -4- Bu m ~ 3 -+- Cu n — * -h
Du + r (A)
en observant que, pour v=o , la fonction non dé-
veloppée se réduit à — = «*— * : or, le déve-
loppement satisfait à cette condition , et de plus
il offre la suite des exposans de u, depuis le plus
3ao CHAPITRE XX.
élevé m — i jusqu’à zéro. Il s’agit donc d’évaluer
les indéterminées A , B, C, etc., qui renfermeront
nécessairement v : à cet effet, on multipliera les
deux membres de l’identité par u — v , ce qui
donnera
n m — I u m I -+-C I u " 1 lu
— v | — Av | — Dv | — Uv\ —Fv;
d’après cela , transportant u m — v m dans le second membre, et égalant à zéro chaque colonne de coéfficicns, on a
V —vm—t
en observant que, pour u=o, on a, d’après (A), V —v m ~ J , et conséquemment, la dernière égalité y — U v= 0 , donnera.
yn—i
U= - — = v""— a . Donc,
B — Av—o C — Bv =o, D—Cv=o
V—Uv —o
qui donnent
t lfl1
— n m — 1 4- vu m — — 3 -+- V 5 W m — — ,v>
Le nombre des termes de ce développement est m , en sorte que, pour v=«, le développement se réduit à mu m — 1 , valeur vraie de la fonction non développée qui , sous la même hypothèse , prend la
forme — o
a6o. Considérons le polynôme
i"+ii B -'+&*- i +o- î + +Tx+y
où m est un nombre entier, et A, B, C, T, V
des nombres entiers donnés, et proposons-nous d’assigner le quotient de sa division par x — a, a
ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 3a t
étant un nombre tel que cette division se fasse exactement : nous poserons
x m +Ax m ~ -P Tx+F
=(x — a){x m — l -\-Ax m —' '+Bx m — } -+- -f-3’x+7’),
Al » B i S, r r étant des coéfficiens à évaluer,
et qui ne peuvent être exprimés qu’au moyen des coéfficiens donnés A , B T et F, et des nom-
bres rn et a. On observera que, pour former, par exemple, le terme x m — " du produit indiqué dans le second membre, il faut au produit par x du terme x m—n—i quotient , ajouter celui du terme suivant x m — n par — a : le produit étant composé d’après cette loi , il restera , conformément au principe, à égaler successivement à zéro, les coéfficiens des mêmes puissances de x. On aura donc ces relations
A— A — a B— B— A a C — C—Ba D—D—Ca -g etC. TJ
A—a+A B ~~~ Aa+ B
B =a 3 -+-Aa’-+-Ba-\-C O — Aol Bo? Cq-\- D t
T=T — Sa
T=a m —'+Aa m —‘ 1 +Ba m -*+...-\-T.
Ainsi les coéfficiens A , B, C. T, F étant des nom-
bres entiers ainsi que a, les coéfficiens A , B', C.... T* du quotient , seront pareillement des nombres entiers.
Ces valeurs reportées en place de A , B‘ , C T,
donnent le quotient
Xm — a-| a*
-\-Aa + B
+Aa> -t- Ba + C
+Aa m —*+Ba n ~ 3 +. .
résultat qui nous sera utile par la suite.
ai
3^a CHAPITRE XX.
aGr. La formule du binôme donné (Chap. XI) n’a été démontrée que dans le seul cas de l’exposant entier absolu : nous allons la généraliser, c’est-à-dire, l’étendre à tous les cas de l’exposant. Nous considère-
rons d’abord la formule (i-t-x)", de laquelle on passe
facilement à ( x+a) n . Comme cette fonction se réduit à i (*) , dans l’hypothèse x —0 , on doit supposer dans le développement , un terme sans x , qu’on sait déjà être égal à l’unité. On posera donc
( 1 4-x) " = i +Ax-\- Bx' Cx’-l-etc.
où les coéfficiens A , B , C , etc. , sont indépendans de x: d’où il résulte qu’on aura en même temps l’identité
-\-Ay-\-By' +Cy' -4- etc.
Retranchant la seconde identité de la première et divisant de part et d’autre par x — y , on a cette différence
+yx‘ -t-^’ar-t-x^+etc.
en observant qu’on a trouvé généralement (a5g) le quotient de x” — y par x — y. Si l'on pose
(*) Pour a=o, la fonction non développée devient i " = sfî™ n n
— •. c’e»t par ce premier terme \J i qui , comme nous le démon-
irerons bientôt, admet n valeurs, que le développement est multiple comme la fonction non développée , c’est-à-dire , qu’il se partage en n développemens.
(i+x) n —u m , (i +y)*—v m , . d’où résultent
l’identité précédente deviendra
ym
= A -+-B(x-\-y)-\- C(x ' -tjrx+y 1 )-+- etc ;
mais d’ailleurs (209) , on a u m — v'"=(« —
u n — v n =z(u — v)(u"— x 4-va"— * -f-v’u"— ')'> donc
u m — v m u m — x -\-vu m — a -| -v'u m — s -t- «
^ " u" — v" a"— 1 -+-vu*—* 4-v*« n — 3 4- •+•»"»— *’
si dans les deux développemens (A) et ( B ) qui forment encore une identité , on suppose , ce qui est permis, y=x , auquel cas u=v, on sera conduit à
mu* — 1 m u m
{C) ^4-aflj:-f-3Cx , -f-40x , 4-etc = =
nu"— 1 n u" ’
en observant que, dans le développement ( B ) de
jjin pM
, les termes sont en nombre m au numéra-
teur, et en nombre n au dénominateur. Si mainte-
nant dans ( C ), on remplace u m par (i-f-x) n ;ou par son développement hypothétique et que l’on multiplie de part et d’autre par b"=i+j:, on trouvera
A+-xB x+ZC x’+4 D +A + 1 B -4 -ZC
x 5 4-5 E | a:‘- 4 -elc.
j . n , rn r , y ni -\ a . *
= - + ~Ax + — Bx+ -Cx’y- — Z?jc -f-etc:
ai.
3a* CHAPITRE XX.
de la comparaison des deux membres résultent, d’a
près le principe (a56), ces déterminations
La loi suivant laquelle ces coéfficiens dérivent les uns des autres, est facile à saisir; en sorte qu’on peut, sans calcul , former indéfiniment les valeurs de ces coéfficiens ; eu les reportant dans le développement hypothétique, on trouve enfin
it+x) i + -ïH *
se-oc-o
x -f- etc.
développement qui ne diffère de celui de ( i +x) m , que par le changement de l’exposant entier m dans
l’exposant fractionnaire
Pour passer de l’exposant — à — — pour lequel nous poserons
(i-f-x) » —A'-y-Efx + Cx' + Ux* ■+■ etc.;
il ne faut que changer m en — m dans l’analyse précédente qui reste la même, en observant qu’alors
la formulf
lim __ yrn
se change en
ÉLEMENS D’ALGEBRE.
^ — m çf — m j / V m U m \
. U n V n lL ,n V m \U n — ■ V' 1 J
i/m ym \ un yu /
mais, dans l’hypothèse ^=.r qui donne v=«, on a
« m ym m u m
ainsi, d’après (D) et (G),
U n yn
—A' 4 - itfx 4- ZCx' 4- etc.
et comme ici
u—m=(i+x) " = i Ax 4- Bx' 4- Cx* 4- etc.
d’où il résulte que u n =i4-x, on a l’identité suivante, savoir:
(C ). . . .Al' + iBx + SCx' 4 -etc.= x
qui ne diffère de (C) que par le signe de m; en
sorte que les coéfficiens A\ B ,C , etc., seront corn-
^ J n /V . « TTl
poses en — —, comme A, d , c, etc. le sont en — •
Le développement de ( 14 -x)" ne peut être* ter-
miné, parce que le nombre retranché de — , dans chacun des facteurs, étant entier, la différence entre ~ et ce nombre, ne peut jamais être nulle : même conclusion, à fortiori, à l’égard du développement
de (n-x)
3a6 CHAPITRE XX.
Nous offrirons de la formule du binôme, pour tous les cas de l’exposant, deux autres démonstrations remarquables, l’une par sa simplicité et l’autre par la nouveauté des considérations qu’on emploie.
i°. En supposant d’abord l'exposant entier, nous poserons
(i-\rX'Y n =i-\-Ax+Bx*-+-Cx , + etc.. . .(i), d’où l’on déduit en élevant au carré de part et d’autre, et ordonnant suivant les puissances de x ,
(i-t-x)* m =i-t-a Ax-\-4' | x’-4-aC I x 1 ■+■ etc.. . .(a); -t-aZ? | -\"aAB\
mais d’ailleurs
remplaçant dans l’identité (i) la variable x par ax +x* , on aura ce second développement de (i savoir :
( t -4-x) îm = I + 2Ax +A
x 3 + etc (3).
Iæs seconds membres des identités (a) et (3), donnent
3^=3^, A* ^-nBz=. A etc.
d’où l’on conclut ces déterminations
H reste à évaluer le coefficient A qui n’est pas donné par cette analyse. Or, A est une fonction de m, telle qu’elle devient double, quand pour m on écrit a m, ainsi qû’on le voit en passant de ( i ) à ( a ) : il est clair que m devenant 3»»,’ L \m , etc., le coefficient A deviendrait 3 A, ^A , etc. Posons donc
A =o + bm -t- cm' -H dm 3 + etc.
ELÉMENS D’ALGÈBRE. 3 27
a, b, c, etc., étant des coéfficiens indéterminés : d’après la propriété dont jouit la fonction A , il doit arriver qu’en changeant m en im , ou change A en iA t ce qui donne
-iA—a + ibm -+- 4cm 1 -+- 8 dm' -+- etc. ;
mais on a aussi
iA—xa-t-îbm-+--xcm.'-\-idm' 4- etc.;
or, ces seconds membres ne peuvent être identiquement égaux, que sous les conditions a=o,c—o, d~o , etc. : il reste donc A = bm, et conséquemment
B bm {bm — 1) ^ bm{bm — 1 )(bm — a} ^
en sorte que le développement (1) devient
. , r mbimb — 1)
( 1 -+-*)"«= 1 4-mA.r-t ^ — - — 'x' 4- etc,
et il reste à déterminer b : à cet effet, on supposera m — 1 , hypothèse qui donnera
l-H-ar
et il est clair que cette identité ne peut avoir lieu que pour b— 1 : donc A—bm—m. Reportant cette détermination dans les valeurs de B , C,Z), etc., ci-dessus en A, on retombera sur les coéfficiens connus. Cette démonstration est extraite d’un ouvrage ayant pour titre : Elementi dAlgebra di Pietro Paoli,P. P.delle mathematiche superiori, nell’ univers ità di Piza , tom. 1. Piza DDXCIV. Il est bon d’observer qu’elle s’étend au cas de l’exposant fractionnaire , tant positif que
négatif. En effet, pour p-, les identités (x), (a)
jr
et (3), et la détermination A—bm=~ ont encore lieu, en sorte qu’on a
(i-4-x)f = !-+-£ ix-4- etc. .- « *
or, en regardant les deux premiers termes du développement comme un seul terme, et la somme des suivans comme un autre terme, et élevant de part et d’autre à la puissance q , on obtient (Chap. XI)
(i -4-x/=( i -f -£bx) < ’ -\-q ( i -4- ?bx) p ~ '(etc.) -4- etc.
c’est-à-dire ,
( 1 -4- xf = 1 -\-pbx-Jr etc. :
or, pour p—i, on a
