x= r -4 - ix-t- etc

d’où b=i et conséquemment = ^- Lorsque m

devient — ^ , on est conduit à ce développement

(i-4-x) 7=1 — cix-f-etc.»

et par l’élévation à la puissance q, on obtient (1 -t-x) — 1 — />ix-4-etc.

et pour p — 1 , on a

d’ailleurs

: 1 — bx - 4 - etc;

-x-t-x* — etc.

donc b — j, et conséquemment A—m = — -•

a°. La démonstration suivante est due au célèbre Euler , auquel l’analyse a de si grandes obligations.

ÉLÉMENS D ALGÈBRE. 3a9

Pour m et n, nombres entiers absolus, on a ces développemens

( i-\-x )"» = i+mi+ — i -x'-\ i -L x ’ etc.

dont le produit est

Si donc on pose

/"étant un signe de fonction qui doit rester le même, en passant du développement de (i-+-a:) m à celui de (H-a?)", puisque celui-ci est composé en n comme le premier l’est en m , on aura cette propriété

caractéristique de la fonction /", et qui consiste en ce que des polynômes tels que ceux qui sont représentés ici par/(m) et f(ri), étant multipliés entr’eux, donnent un produit composé en exactement de la même manière que chacun des facteurs , l’est en m ou en n. Si dans (i) on change de part et d’autre m en m+p , ce qui est permis, il viendra A m +P) x/{n)z=f(m-k-n-¥p), c’est-à-dire, d’après (i),

/( m ) X/( n ) Xf(p) —f{ m+n+p).

On pourrait encore changer m successivement en m+q, m-\-r , etc.; d’où on conclurait

A™) X/(» *Ap ) */(?) . etc., j-+- etc.)

quel que fut le nombre des fonctions multipliées en-

33o CHAPITRE XX.

tr’elles : comme le premier membre est un produit indiqué et que le second est ce produit effectué, il s’ensuit que l’identité précédente aura lieu pour un nombre k de facteurs égaux entr’eux, et dont chacun

serait / (j)* en sorte que

Ki) x ^G)

c’est-à-dire ,

[/ (J)]* =/(*). d '°«/(|) = LA *)]*' ;

mais h étant un nombre entier absolu, on sait que /’(A)=(n-x) A ; donc

S(j)=LA*)]î={'+*) ! * :

la notation du développement de (i-t-a;)*, étant

. J (j^ > et le signe f qui indique ou qui révèle la

forme du développement ou sa composition en exposant , n’ayant pas changé eu passant de ( i -+- *)*

bfi + xj*, on est mené à conclure que, pour passer du premier développement au second , il ne faut

que changer A en ^ , c’est-à-dire, m en ^ dans la

formule (i-t- a/".

. Passons au cas de l’exposant négatif : on a

A-r'>=7Crr (,+ * )

e te.

conséquemment

J\ — m )xA — n ) xA—p ). etc - =

A m )xA n )x/{p) etc.

/(ire-f-n •+-/>-*- etc.)

et par les mêmes hypothèses que ci-dessus

I '/(ri)] = ^’ d ’ où/ (~^) = [ÂW =(I ^ )i:

or, le développement de (i + x) * étant noté par '(ri)- on conclut qu’on le déduit de celui de ( i x ) m , en changeant m en —

a6a. Ces deux formules

ïfü-.)

.-.x + etc.

m fm \ cm \

x -+- etc.

par la substitution de ±-en place de x, deviennent

,m(n — m) ( in — ni) /'b\ * "1

U? elc 'J

\fa™

w(»H-wXa«-(-//i) /^y Ti . 1

i. a. 3 a 1 \aj J

Pour approprier la première de ces deux formules aux applications numériques , nous l’écrirons comme il suit