Appliquons ce procédé au développement eu
fraction continue de la fraction ordinaire - , A et B
étant des nombres entiers et A > B. Il est d’abord évident que le nombre entier a qui ap-
proche le plus , en moins , de la fraction g , est
le quotient de la. division de A par B. Supposant
5o8 CHAPITRE XXX.
cette division faite et nommant le quotient a et C
le reste , on aura
d’où b
Pour avoir de même la valeur entière approchée (3
de la fraction ? , il faudra diviser B par C , et
prendre pour p le quotient eu nombre entier de cette division : alors nommant D le reste, on aura
w O » VJ
n— P — c » dou C= D ;
on continuera donc à diviser C par D , et le quotient sera 7 et ainsi de suite. D’où résulte cette règle fort simple pour réduire les fractions ordinaires en fractions continues. »
Divisez le numérateur de la fraction proposée par son dénominateur , et nommez le quotient « ; divisez ensuitê le dénominateur par le reste , et nommez le quotient $ ; divisez le premier reste par le second reste , et soit le quotient 7 ; continuez ainsi en divisant toujours F avant-dernier reste par le dernier , jusqu’à ce qu’il se présente une division qui se Jasse sans reste , ce qui doit arriver dans le cas d'une fraction , et vous aurez la fraction continue.
S-t-etc. ,
On peut voir dans l’Arithmétique des applications de cette règle.
ËLÉMENS D’ALGÈBRE. 5o 9
355. Pour repasser d’une fraction continue à la fraction ordinaire qui lui a donné naissance , on fera les réductions successives
“ i ap + i i a PT+7 +*
ap7ÿ-4-7$4-a$-t-aP4-i, etc.
En examinant ces résultats , on découvre facilement que le numérateur de chacune des f raclions ainsi formées , est le produit du numérateur de la fraction qui précède , par le nouveau quotient , ou par le dernier quotient introduit , plus le numérateur de l antépénultième fraction ; et que le dénominateur de chaque fraction se forme suivant la même loi , du dernier quotient et des deux dénominateurs précéder. En sorte que | , étant trois fractions
consécutives , et (i le dernier quotient introduit ,
ou celui qui répond à la fraction ^ , on aura
R Qpt-P
R' ~ Qfi+P'"
Pour démontrer que cette loi a lieu dans toute l’étendue de la fraction continue , supposons qu’elle ait été vérifiée jusqu’au quotient p, en sorte qu’on ait
R = Qj*+P, R'=Q'|i4-P' :
5io CHAPITRE XXX.
si l’on considère le quotient qui suit immédiate-
ment |A, et qu’on le désigne par et par g -, la valeur de la fraction continue, calculée jusqu’au
quotient \t! inclusivement , l’expression de g, sera
ce que devient celle de , en changeant dans celleci {a en (A-f- -, : donc
S Q (f A+ ?) +P (Q M-P y+ Q V±Q ; S' ^ZTT' W “ (QV+^V+Q' R V+<?-
donc la fraction g se forme des deux précédentes , q, et du quotient |a', suivant la loi énoncée qui conséquemment est générale.
Ayant donc écrit par ordre les quotiens a, p, 7, 5, etc., on formera facilement les fractions correspondantes , comme on le voit ci-dessous,
Ct P 7 S
I a P-+-I «P 7 -+ 7 + 1 * apï^ +7$ 4- «o + «P + f
savoir le numérateur de chaque fraction , en multipliant le numérateur précédent par le quotient écrit au-dessus de la fraction qu’on forme , et ajoutant ce produit à l’antépénultième numérateur, puis procédant de la même manière pour composer chaque dénominateur. Pour que cette loi de formation
ÉLÉMLNS D’ALGÈBRE. 5n
puisse valoir à partir de la seconde fractiôn inclusivement , on écrit ^ pour première fraction , quoique celle-ci ne soit pas une portion de la fraction continue. Si donc on représente par A, B, C. etc., les numérateurs de ces fractions successives , et par A’, B', C', etc., les dénominateurs de ces mêmes fractions , on aura
A = a B — A?+r C =B-y+A D=CS-t-B etc.
A'=i B' = A'P C = B 7 +A' D=C'5+B' etc.
Les fractions 7, A
etc. , ont été nommées
fractions convergentes , parce que , comme nous le verrons bientôt , chacune d’elles approche plus que celle qui la précède, de la valeur exacte de la fraction continue totale.
Lorsque la quantité a<i , on a a=o, c’est-àdire, A = 0 , A'=î, hypothèses qu’il faut introduire dans B, C, D , etc. , B', C, D, etc.
Si la quantité a , qu’on veut développer en fraction continue , est une fraction rationnelle , il est évident que «cette fraction sera- toujours la dernière dans la série des fractions convergentes : car, dans ce cas , la fraction continue sera terminée (353) : mais si la quantité a est irrationnelle, la fraction continue se prolongeant sans jamais s’arrêter , la suite des fractions convergentes ne s’arrêtera pas non plus.
5ia CHAPITRE XXX.
356. Théorème I. Si on multiplie en croix les termes de deux fractions convergentes consécutives
p, et q, , on aura toujours la différence des produits
QP' — i*Q'=± i , savoir + 1 , si la fraction est de
. ! lUf
rang impair , la fraction ^ comptant pour la première , et — i , si elle est de rang pair.
En eflet , si l’on considère trois fractions consé-
cutives p,, q, , , et que (/. soit le dernier quo-
tient introduit dans la fraction , on aura, d’après
la loi démontrée ,
d’où l’on déduit facilement
RQ— QR' = PQ'— QF =— l (QP— PQ') ;
on aurait de même, en représentant par ^ la frac-
tion qui précède immédiatement ,
