DÉMONSTRATIONS PAR LA GÉOMÉTRIE DES COURBES DES

THÉORÈMES DONNÉS DANS le CHAPITRE PRÉCÉDENT.

35 0. Il est bon de faire voir comment on a été conduit aux théorèmes qui servent de fondement à la théorie qui Elit le sujet du chapitre précédent, et de montrer qu'ils ne sont que les traductions algébriques de propriétés d’une courbe dont les coordonnées a: et y ont entr’elles la relation exprimée par l’égalité du polynôme en x , formant le premier membre de l’équation, et une variable jr écrite en place de zéro dans le second membre.

35 1. Reprenons l’équation générale

x m — Ax m ~ t -4- B.r m — 2 -4- Tx — V=o ,

et au lieu de supposer le second -membre égal à zéro, désignons-le par^, parce que, parmi les valeurs successives que nous allons donner à a?, il s’en trouvera d’autres que celles qui réduisent le premier membre à zéro; en sorte que, pour celles-là, y représentera les nombres correspondans ou des

lignes proportionnelles à de ces nombres. Cela posé, nous porterons ( Fig. 1 ) les valeurs successives de

x, sur une droite indéfinie XX', à partir d’un point fixe A (*), en convenant d’étendre celles qui sont positives de A vers X, ou de gauche à droite, et conséquemment les négatives de A vers X', o’est-àdire, de droite à gauche (188). Soient AP une valeur quelconque de x et PM la valeur correspondante de

y, que nous porterons sur une perpendiculaire au point P de la ligne XX', au-dessus de X'X, si elle est positive, et au-dessous, si elle est négative (Chap. idem): on répétera la même opération pour toutes les valeurs attribuées à x , tant positives que négatives, en observant de se conformer aux conventions faites. Si l’on a fait croître par des degrés très-rapprochés, les valeurs de x, tant positives que négatives, et si l’on a joint les extrémités de toutes les perpendiculaires y correspondantes , on aura une ligne courbe qui sera la peinture de l’équation

X™ — Aœ"- 1 -4-ftc"»— a -H Ta; — V —y.,

Cette courbe étant construite au moyen d’un grand nombre de points suffisamment rapprochés, si l’on veut connaître une valeur de x , correspondante à un résultat^- donné, et autre que l’un de ceux qui ont concouru au tracé de la courbe, on prendra sur

( * ) Pour ceux des lecteurs qui n’ont pas encore étudié la géométrie des courbes, nous dirons que les lignes XX' et Y Y', que nous suposons ici à angles droits , se nomment axes, que leur intersection A est dite origine, que les longueurs A p, A p\ etc., sont dites abscitses, et les perpendiculaires pm,p'm' etc., sont dites ordonnées; en sorte qu’une abscisse et son ordonnée fixent 1a position d’un point par rapport aux deux ânes. . . :

5oo CHAPITRE XXIX.

l’axe AY et au-dessus de XX', si le résultat y est positif, une longueur AB==^, et par le poiut B on mènera une parallèle à XX', qui coupera la courbe en des points m, rri , m", etc., n, n" , etc., dont

les abscisses=A/>,=A/»',= Kp" ,elc.,=Aq,=Aq, etc., seront toutes les valeurs de x , qui répondent à^=AB. Pour une abscisse x intermédiaire entre celles qui ont servi à la construction de la courbe, on trouvera l’ordonnée ou le résultat y , en prenant avec un compas la perpendiculaire qui répond à cette abscisse et la portant sur l’échelle de parties égales dont on s’est servi pour construire. On remarquera que, pour x—o , on a le résultat y= — V, ordonnée négative représentée par AY', en sorte .que Y' est un point de la courbe.

. Cette courbe rencontrera, généralement parlant, l’axe des abscisses XX', en un certain nombre de points R, R', R", etc., r, r, etc., dont les abscisses AR, AR', AR", etc., — A r, — A/, — etc., seront les racines de la proposée, puisque, pour toutes ces valeurs de x, l’ordonnée y est nulle.

La courbe ne pourra passer du dessus au dessous de l’axe XX', sans le couper; elle ne pourra revenir du dessous au dessus, sans le couper de nouveau : conséquemment, entre deux points placés l’un audessus, l’autre au-dessous de XX', la courbe aura un nombre impair d’intersections ; tandis qu’entre deux points situés ou au-dessus ou .au-dessous de l’axe XX', la courbe peut avoir avec l’axe, des intersections en nombre, pair, ou en nombre zéro, ainsi qu’il arrive à l’égard des points m et m qui se trouvent sur une même ondulation Rmwi'R'.

•. Donc si l’on a trouvé deux ordonnées y de différens signes , on sera assuré qu’entre les abscisses

ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 5oi

correspondantes, il se trouve un nombre impair d’abscisses d’intersection ; d’où on conclura que deux nombres x qui donnent des résultats de signes contraires, interceptent, en général, un nombre impair de racines * et conséquemment , au moins , une racine réelle. Si pour deux abscisses x, les ordonnées y ont le même signe, les intersections seront en nombre pair : ou si les deux ordonnées appartiennent à une même ondulation , il n’y aura aucune intersection comprise. Donc deux nombres x qui donnent des résultats de même signe , peuvent ne pas comprendre de racines , ou ils en comprendront en nombre pair.

Les portions r'r, rR, RR', R'R" etc., de l’axe XX', comprises entre des intersections consécutives, représentent des différences entre deux racines consécutives de la proposée, et ces différences sont les plus petites parmi toutes celles qui ont lieu entre ces racines : cela posé, si à partir du point A, origine commune des abscisses , on prend deux abscisses dont la différence soit moindre que le plus petit des segmens de l’axe XX' , ou que la plus petite différence entre les racines , il est facile de voir que si les ordonnées correspondantes ont des signes différens, les extrémités de ces valeurs de x , ne pourront comprendre qu’une intersection ; en sorte que ces mêmes valeurs de x n’intercepteront-qu’une racine, puisque si l’une des valeurs de x est, par exemple, AK < AR', l’autre sera AK' > AR"; autrement, on aurait KK' > R'R", ce qui serait contre l’hypothèse. Mais si la différence entre deux abscisses Ak et AKétant toujours moindre que la plus petite des différences entre toutes les racines , les ordonnées correspondantes kl et KL ont le même signe, il n’y aura pas même une intersection comprise entre ces abscisses. Il faut donc que les

5oa CHAPITRE XXIX.

résulfats correspondans aux deux valeurs de x, ainsi espacées, aient des signes différens. La démonstration du théorème IV, n'est que la traduction analytique de ces considérations.

Comme les intersections de la courbe avec l’axp XX', sont en même nombre que les racines réelles de l’équation , il arrivera qu’à une certaine distance à droite et à gauche de l’origine A, la courbe ne coupera plus l’axe XX'; en sorte que, pour toutes les valeurs de a:, plus grandes que les plus grandes racines positives et négatives, on aura constamment desrésultats pdemème signe. C’est ce quiaencore lieu, lorsque toutes les racines de la proposée sont imaginaires, puisqu’alors la courbe, ne coupant pas l’axe XX', doit être située toute entière au-dessus ou au-dessous de l’axe , ce qui est le ca3 du polynôme Y (34o), qui ne renfermant que les racines imaginaires, ne change jamais de signe pour toutes les valeurs de x.

Il est visible que x croissant continuellement, le terme x « qui croit plus rapidement que chacun des suivans , l’emportera enfin sur leur somme, en sorte que , pour l’abscisse correspondante , l’ordonnée jr aura le signe de x’ n ; ainsi du côté des abscisses positives , la courbe finira par passer au-dessus de l’axe XX' dont elle s’éloignera de plus en plus. Donc tout nombre plus grand que la plus grande racine positive , donnera des résultats indéfiniment positifs. Lorsque l’équation est de degré pair , la même conclusion aura lieu du côté des abscisses négatives , et au-delà de la plus grande racine négative, ou de la dernière intersection à gauche, la courbe s’étendra encore indéfiniment au-dessus de XX' qu’elle ne rencontrera plus : d’où il résulte que , dans l’hypothèse de m nombre pair, les racines réelles sont en nom-

ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 5o3

bre pair, et qu’aussi il en est de même des racines imaginaires, si l’équation en comporte. Lorsque l'équation est de degré impair, tout reste comme ci dessus dans la région des abscisses positives; mais, à gauche du point A, si l’on prend une abcisse plus grande que toute ligne donnée, le premier terme — x n l’emportera sur la somme des su i vans , et le résultat correspondant, sera — y. Ainsi, dans la région des abscisses négatives, la courbe finira par passer au-dessous de l’axe des abscisses, qu’elle ne rencontrera plus; en effet, dans le cas de m impair, le nombre des racines réelles étant nécessairement impair , puisque celui des racines imaginaires est pair, il faut que le nombre des intersections soit impair; or comme à droite, la courbe finit par passer au-dessus de l’axe , il faudra qu’à gauche elle finisse par passer au-dessous.

Lorsque l’équation est de degré impair avec un dernier terme négatif — V, pour x = o^ ou a (Fig. a ) jr= — V= AI, ordonnée à l’origine, portée au-dessous de l'axe XX' : pour une abscisse positive d’une grandeur convenable , l’ordonnée correspondante y devient positive; en sorte que la courbe passant du dessous au-dessus de l’axe, le coupe à droite de A, ce qui donne une abscisse positive AR, et conséquemment une racine réelle et positive. Supposons le dernier terme -+• V ( Fig. 3 ) : à l’hypotèse x — o, répond y — V = AI' : pour une abscisse négative d’une grandeur convenable, l’ordonnée y est négative, comme on l’a yu précédemment : en sorte que la courbe passe du dessus audessous de l’axe qu’elle coupe à gauche du point A en r; d’où résulte une racine réelle négative.

L’équation étant de degré pair avec un dernier terme

négatif— V, pour a?=o, on a (Fig-4), j= — V=AI; mais pour deux abscisses l’une positive et l’autre négative, suffisamment grandes, on aura deux ordonnées positives , conséquemment deux intersections R et r, l’une à droite et l’autre à gauche de A, c’est-à-dire, deux racines réelles l’une positive et l’autre négative. Enfin lorsque l’équation est de degré pair avec un dernier terme positif, pour x — o, on a ( Fig. 5) ^ = Al' = -t- V : à -deux abscisses l’une positive et l’autre négative, suffisamment grandes, répondent deux ordonnées positives. On ne peut donc affirmer que la courbe coupera l’axe, puisqu’elle n’est assujettie qu’à la condition de passer par trois points situés au - dessus de l’axe : ainsi cette courbe ' peut être m l'M qui laisse l’axe au-dessous d’elle, ou mir R etc. ou m R' r i etc. qui le rencontre en plusieurs points. On retrouve donc toutes les conclusions auxquelles on est parvenu dans le chapitre précédent

La somme des lignes AR, AR’, AB." etc. — A r: — A r : etc. , (Fig. i ) , prise en signe contraire , forme le coéfficieut du second terme de la proposée ( 273 ). L’ordonnée AV pour x = o,est en longueur absolue, le produit AR x AR' X AR" etc. X A r x A r x etc. (idem.), puisque cette ordonnée représente le terme tout connu de l’équation.

Si la proposée comporte deux racines égales, on peut concevoir qu’elles aient été d’abord inégales, et , par exemple , A R et AR' et qye leur difféférence RR' ait diminué jusqu’à devenir nulle : alors 1^ courbe ne fera que touélier l’axe des abscisses au point t de réunion T des deux intersections R et R'. Si les trois racines AR , AR' et AR" deviennent égales, les segmensRR'etR' R" devenant nuis, les trois points

ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 5o5

R, R' elR" se réunissent en un seul qui est le point de contact de la courbe avec l’axe.

Ainsi les racines égales sont les abscisses des points de tangence de la courbe avec l’axe, et l’on voit que ces sortes de racines forment le passage des racines réelles inégales aux racine^ imaginaires. ( Voyez le traité de calcul différentiel ).

Théorie élémentaire des fractions continues.

35a, Cette théorie étant le fondement de l’approximation des racines incommensurables des équations , dont il sera question dans le chapitre suivant, nous avons cru devoir en faire un chapitre séparé, qui fait suite à ce qui a été dit sur ces sortes dé fractions dans l’Arithmétique et dans le chapitre sixième de cette section , et dont on trouvera le complément dans la seconde section de ce traité.

353. Supposons qu’on ait à réduire en fraction continue un nombre quelconque a qui ne soit pas un nombre entier : on prendra le nombre entier immédiatement au-dessous de o, lequel différera de a d’une fraction plus petite que l’unité, et si on désigne ce nombre par a, il est visible quea — a sera une fraction *

comprise entre o et i , de sorte que sera un

5o6 CHAPITRE XXX.

nombre plus grand que l’unité , et en le ^notant

par b , on aura

on pourra donc chercher le nombre entier qui approchera le plus de b, par défaut : ce nombre étant P , on aura de même b — p fraction comprise entre o et i , et conséquemment

c étant un nombre plus grand que l’unité : on soustraira de c le plus grand nombre entier qu’il contienne , nombre que nous désignerons par 7 : alors c — 7 sera une fraction comprise entre o et i , et

sera un nombre plus grand que l’unité, et ainsi de suite. Des égalités (i), (a), (3), etc., on déduira les suivantes

a = *+ £ > b — P+ ~ > c = 7+ ^ y etc.

conséquemment

-=ct*+“ ■

<M — — etc.

Si, parmi les quantités a , b, c, </, etc., il s’en trouve une qui soit un nombre entier, la fraction

ÉLÉMETÏS D’ALGÈBRE. 5o 7

continue sera terminée , parce qu’on pourra y conserver ce nombre même. Si c, par exemple, est un nombre entier, la fraction continue, qui représente le nombre a , sera

en effet , si l'on substitue pour d la valeur (3) dans le troisième des développemens de a , donnés cidessus, on aura

o=aH =«-

Cette circonstance aura lieu dans le cas de a nombre commensurable : mais lorsque a sera un nombre incommensurable , la fraction continue sera nécessairement infinie; car si elle se terminait, on pourrait assigner la fraction équivalente v Aritb. ) ; donc un nombre incommensurable serait égal à un nombre conimensurable.