ABC A'» B'’C

etc.,

sont déjà réduites à la plus simple expression : car si C et C', par exemple, avaient un commun diviseur autre que l’unité, il faudrait, d’après la propriété CB' — BC' = — i , d’où

BC— CB'= + i,

que l’unité fût aussi divisible par ce commun diviseur, conclusion qu’on déduirait de la même égalité

à l’égard de la fraction Cette propriété trouve

son application dans l’analyse indéterminée (a e sect.).

357. Théorème II. La valeur de la fraction continue totale est toujours comprise entre celles de deux fractions correspondantes à deux portions consécutives de la fraction continue.

Pour le démontrer, évaluons la différence entre une fraction convergente quelconque et la valeur a de la fraction continue totale. Pour cela , soient P 0

toujours =, et deux fractions consécutives et p. P v 1

le quotient qui répoud à g> , en sorte que

R Qfi-t-P R' Q'[x+P' :

si à la place de p. , on écrit le reste de la fraction continue , à partir de (i inclusivement, on aura, en désignant ce reste par y,

* Qr+P

d’où on déduit

Q Qr+P Q PQ— QP' a Q ,— Q>+P' Q Q(Q>+P')

P Qjr+P P (QP— PQ> “ P QV+P' P~ P(Q>+Pj

QTQV+P)

-p(Qy+p)’

en tenant compte de la propriété (356) relative aux

signes : or, les différences a — -, et a — q, ayant des signes contraires , on doit conclure que la valeur de a est plus petite que p et plus grande que —, ,

ou réciproquement.

On peut encore démontrer cette importante propriété d’une manière bien simple. En effet, à ne considérer que la première des fractions convergentes “ , on aura, en désignant toujours par a la totalité de la fraction continue,

si l’on prend la seconde fraction a ^ , comme le dénominateur p est plus petit que le véritable dé-

nonnuateur & H , on aura

yM-etc.

si l’on considère la troisième fraction convergente

P H : » comme le dénominateur y est plus petit que

ELEMENS D’ALGÈBRE. Ht B

le véritable dénominateur 7 •+■ Yjfêîc ’ * a ^ ract ‘ on ^ sera trop grande , la fraction — sera trop petite ,

et la somme a 4 -’ sera pareillement trop pe-

tite ; en sorte que

et ainsi de suite alternativement. Donc la valeur de a est comprise entre deux fractions consécutives quelconques. Cette propriété a déjà été démontrée (Arith. )

( 358 ) Théorème III. i° L' erreur commise en prenant une fraction convergente , en place de la fraction continue totale , est toujours moindre que l’unité divisée par le produit du dénominateur de cette fraction par celui de la fraction immédiatement consécutive , mais plus grande que V unité divisée par la somme du même produit et du carré du dénominateur de la fraction sur laquelle on opère. a° Cette erreur est moindre que l unité divisée par le carré du dénominateur de la fraction convergente quon considère. ,

i°. Soient, comme au théorème II, p le nombre en- R

tier qui répond à — ,, et jr le reste de la fraction continue, à partir de p inclusivement : on a trouvé (Théor. II.)

5i6 ’ CHAPITRE XXX.

or, à cause de y > p. et y < (/. t , on a

donc

a ~q< **■ q'^+P) < ^ qTT ’

Q ^ Q'[Q'(f-+ 0+n QXR'+Q) *

a®. Les quotiens a , p , 7 etc. étant des nombres entiers positifs , on a P' < Q” , Q' < R' etc. ; doncQ'R' > Q ' 1

et q^<-q 7 — : donc , à plus forte raison ,

C’est d’après cette dernière propriété qu’on estime l’approximation de la fraction décimale qui répond à une portion donnée d’une fraction continue.

35g. Théorème IV. La différence entre la fraction continue totale a et une J raction convergente quelconque , est moindre que la différence entre a et la fraction convergente qui précède immédiatement celle-là.

Des valeurs des différences a — ^ et « — , trou,

vées ( Théor. II ) , on déduit

en divisant ces deux égalités l’une par l’autre , on obtient

— p+pa y

or, y est > i , donc

— d’où Q— Q« < P'« — P,

et , à plus forte raison , à cause de Q' > F ,

D’où l’on conclut que si la fraction totale a est moin-

dre que q, , elle sera , au contraire, plus grande que jj-

et réciproquement. C’est cette propriété qui a fait

donner aux fractions consécutives -g , ^ etc. le

nom de fractions convergentes.

MÉTHODES POUR OBTENIR AVEC l’ APPROXIMATION REQUISE LA PARTIE DÉCIMALE DES RACINES INCOMMENSURABLES.

36o. Au moyendela méthodeexposée(Chap.XXVIII), on n’obtient chacune des racines incommensurables tant positives que négatives, que sous une approximation généralement insuffisante et qu’on poussera plus loin par les procédés que nous allons faire connaître;

5i8 CHAPITRE XXX.

i® Soient toujours p et q deux nombres qui, donnant des résultats de différens signes, n’interceptent qu'une racine : comme la différence q — p peut toujours être ramenée à l’unité ou à un nombre moindre , le plus petit p de ces deux nombres , sera u ne première approximation :si l’on prend un moyen arithmétique entre les nombres p et y et qu’on le substitue pour x , on aura un résultat différent par le signe , de l’un ou de l’autre de ceux qui sont dus aux substitutions p et q pour x , et conséquemment la racine se trouvera comprise entre deux limites plus rapprochées. En continuant la même opération, les limites seront de plus en plus resserrées : d’où il suit que l’erreur qu’on commettra, en prenant l’une de ces limites pour la racine, s'atténuera de plus en plus.

a°. On approchera plus rapidement , en faisant usage de la méthode suivante. Soit

x m — Ax m — 1 + — Tx-4- V— o (i)

l’équation proposée. Si p est une première approximation de la racine, on fera

et on aura par cette substitution une dérivée en a , la- v quelle ordonnée suivant les puissances ascendantes de a , sera de la forme