X-t-Ya-f-Za’ + ~\-a m =o

X , Y , Z etc. , étant des polynômes dont on connaît la (3 1 8) composition en A, B, .... T, V, m et p ; comme « est une fraction, on pourra, dans une première

ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 5iç

approximation , négliger les puissances , a’ etc. en sorte que la transformée (3) sera réduite à

X + Y«=o, d’où «=—*=/>'.

en désignant par p une première valeur approchée du complément de la racine, représenté par a. Pour obtenir une valeur plus approchée, c’est-à-dire, pour corriger p, on posera

ce qui revient à changer , p enp -4- p' et a en p dans (3) , de sorte que se bornant, à plus forte raison , aux deux premiers termes de (3) dans lesquels on notera X et Y par (X) et (Y) , pour rappeler le changement de p enp -+-p ,on aura

et p +p p" sera une plus grande approximation. En écrivant p +p‘ 4- p" pour p et 7 pour « dans ( 3) , et; se bornant toujours aux deux premiers termes , on aura

ainsi p 4- p -4- p" -t- p " sera une valeur plus approchante de la racine. On continuera de cette manière, jusqu’à ce qu’on ait obtenu l’approximation requise par la question.

Nous ferons une application de cette méthode à l’équation

5 ao CHAPITRE XXX.

qui n’a ( 348 ) qu’une racine réelle comprise entres et 3. Dans cet exemple, p = a ,

X=p l — ip— 5 = — i, Y = 3 p' — a — i o , on a donc

en sorte que p -+- p’ = a, i. Si dans X et Y on remplace p par p 4 - p' ou par a , i , on aura

Çfj —P — — °i oo 54 ;

en sorte quep -f- p' -+- p" — 3,0946 : écrivant de nouveau cette valeur pour p dans X et Y, on aura

7 =— ~P n — — o,oooo 4853 ;

donc p-+- p -+-/?" = a,o9455i 47 - Ainsi les valeurs convergentes vers la racine, sont 2; 2, f ; 2,0946; 2,09455147, etc.

Il est clair que la certitude de la méthode précédente, dépend de cette condition que si p est une valeur approchée d’une des racines de la proposée, p -f- a sera une valeur plus approchée de la même racine : c’est donc, dit Lagrange , (Résol. des Equat. Kum. Not. V) ce qu’il faut examiner, et il conclut de l’analyse qu’il donne à cet effet , qu’en général , l’emploi de cette méthode n’est assuré , que lorsque la valeur approchée p est à la fois plus grande ou plus petite que chacune des racines, lorsqu’elles sont toutes réelles, ou lorsque le nombre p est plus grand ou plus petit que chacune des parties réelles des racines imaginaires. La proposée qui est la seule équa-

ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 5a i

tion qu’ait traitée Newton auquel on doit cette méthode, remplit la dernière de ces conditions, qui est suffisante à l’égard de cette équation qui n’a qu’une seule racine réelle.

3°. Nous remplacerons ces deux méthodes qu’il était cependant bon de connaître, par la suivante qui est due à l’illustre Lagrange et qui ne souffre pas de restriction.

Soit l’équation

Kx m -+- Bx'"-‘ + Cx m — 1 -h + Tx -+- V =o

et supposons qu’on ait trouvé par la méthode donnée (Chap. XXVIII) , les valeurs entières immédiatement en dessous des racines cherchées : si p est l’une de ces valeurs, en sorte qu’on ait x > p et x < p -+• i , on posera

y étant un nombre positif et plus grand que l’unité.

afin que — tombe entre zéro et l’unité : substituant

pour x cette valeur dans la proposée, on trouvera après avoir multiplié l’équation résultante par /"*,

a y» + By*— 1 + cy*-* y=o. . . (i), (*)

(* ) On peut supposer calculer, d’après ce qui a

été dit (3i8), la transformée en a, dont on connaît le mode de composition des coéfïiciens X , Y , Z etc., remplacer a et ses puissances par y et les puissances correspondantes , et multiplier le tout par ym.

5aa * CHAPITRE XXXI.

équation qui aura nécessairement , au moins , une racine réelle, positive et plus grande que l’unité; soit q sa partie entière, on fera

z étant un nombre entier , positif et plus grand que

l’unité, afin que la fraction -j- tombe entre zéro et

l’unité : écrivant cette valeur de y dans (i), on aura une équation en z de la forme

laquelle aura nécessairement , au moins , une racine réelle, positive et plus grande que l’unité, dont on pourra de même trouver une valeur entière approchée par défaut, que nous désignerons par z, en sorte qu’on aura

où u désigne un nombre entier , positif et plus grand que l’unité : substituant dans ( 2 ), il viendra une trans- . formée en u ayant une racine réelle, positive et plus grande que l’unité , et ainsi de suite. On aura donc

• . 5-4- etc.

On traitera successivement de la même manière les valeurs entières approchées p , p , p" etc. de chacune des autres racines réelles , incommensura-

ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 5a3

blés et positives de la proposée , pour approcher davantage de la véritable valeur de chacune d’elles.

Les racines positives et plus grandes que l’unité des transformées (i), (a) etc. seront nécessairement incommensurables, si on a débarrassé la proposée des racines commensurables qu’elle peut contenir. En effet , s’il arrivait qu’un des nombres q , r etc. fut une racine exacte, alors on aurait ou jr—q,et conséquemment'

ou z = r,et conséquemment

en sorte que l’opération et la racine se termineraient : on trouverait donc pour x un nombre commensurable, ce qui serait contre l’hypothèse.

Si les nombres p\p ,/>" etc. sont tous différens, alors chacune des transformées (i), fa) etc. c’aura qu’une seule racine réelle plus grande que l’unité : car si, par exemple, la transformée (i) avait deux racines réelles plus grandes que l'unité, telles que y, y', on aurait

x=p+—ÿi x =P + yr,

de sorte que ces deux valeurs de x auraient la même partie entière approchée p , ce qui est contre l’hypothèse. Il en serait de même, si la transformée fa) ou l’une des suivantes avait deux racines réelles plus grandes que l’unité : d’où il suit que, pour trouver, dans ce cas, les valeurs entières approchées des

5a4 ‘ CHAPITRE XXXI.

racines des transformées successives , il suffira (347) de substituer successivement, au lieu de l’inconnue, les nombres naturels , à partir du nombre immédiatement moindre que la limite inférieure des racines positives de la transformée sur laquelle on opère, jusqu’à ce qu’on obtienne deux résultats de signes différens.

Si deux valeurs de x ont une même valeur entière approchée p, alors en employant cette valeur, les transformées (i), (a) etc. auront chacune deux racines réelles plus grandes que l’unité, conséquemment positives et toujours incommensurables , jusqu’à ce qu’on arrive à une transformée dont les racines, plus grandes que l’unité , aient des valeurs entières approchées différentes : alors chacune de ces deux valeurs donnera naissance à une suite d’équations transformées dont chacune n’aura plus qu’une seule racine réelle plus grande que l’uuité. En effet, puisqu’il existe deux valeurs différentes de x, qui ont la même valeur approchée p , il faudra que^, dans (i), ait deux valeurs réelles plus grandes que l’unité, et si ces deux valeurs de y ont la même partie réelle approchée q , il faudra de nouveau qu’en

faisant y = q •+- , la transformée en z ait deux ra-

cines différentes plus grandes que l’unité , et ainsi de suite. Mais si les deux valeurs entières approchées de y, sont différentes, alors nommant ces valeurs q et q, on fera,

ce qui donnera lieu à deux transformées dont chacune ne devra plus avoir qu’une seule racine réelle

plus grande que l’unité ; autrement les valeurs de y, au lieu d’être doubles seulement, seraient triples, quadruples etc. , et on serait conduit à ces valeurs correspondantes de x

ii i

x=p H x—p-\ !.i=pH — 7,:

ainsi la proposée admettrait plus de deux racines réelles, plus grandes que l’unité, ayant chacune la même valeur entière approchée p , ce qui serait contre l’hypothèse. Donc , à partir de la transformée dont les deux racines plus grandes que l’unité , auront des valeurs entières différentes , les transformées résultantes de chacune de ces valeurs , n'auront plus qu’une seule racine réelle plus grande que l’unité : il ne sera donc pas nécessaire, pour obtenir les valeurs entières approchées des racines correspondantes, de calculer, pour chacune d’elles, la plus petite différence entre les racines.

Les coéfficiens A', B', C etc. de la transformée (i), exprimés au moyen de ceux de la proposée sont , comme on le sait,

A'=: A p m -+- Bp m — 1 -4- Cp m —* ■+■ Dpm—3 e t c .

'+(m — i)Bp m —*+(rn — a)C/> m — 3 -t- etc.

C'= gL?=r Ü kp m— + fcüfcîifl P— 3 + etc. ;

etc.

on obtiendra ceux de la transformée (a), en écrivant dans les formules précédentes q pour p , changeant A, B, C etc. en A', B', C etc. et A' , B', C etc. en A", B", C* etc.

5a6 CHAPITRE XXXI.

Puisque A' n’est que la proposée en y changeant a; en p , puisque A" n’est que la transformée ( i ) en y changeant y en q, et que pareillement A'" n’est que la transformée ( a •) en y changeant z en r, et ainsi de suite, il s’en suit qu’on ne peut avoir A'=o, ou A " = o, ou A "'=o, etc., puisqu’on aurait ou x— p, ou yz=zq, ou z — r, ou etc., c’est-à-dire,

x=p + - , oc— p H - — , etc. ; d’où résulteraient

des racines x commensu râbles.

36 1. Appliquons cette méthode d’abord à l’équation

— ix — 5 = o

qui fournit p = a pour la valeur la plus approchée en moins de la seule racine réelle qu’elle comporte (36o). On posera donc

en sorte que la transformée en y, sera y' — iof — 6/— 1 = 0

après en avoir changé les signes pour rendre le premier terme positif : cette transformée aura donc nécessairement une seule racine réelle plus grande que l’unité, de sorte que pour en avoir la valeur approchée, il faudra substituer pour y les nombres o, i, a, 3, etc., jusqu’à ce qu’on trouve deux résultats de signes différens : les substitutions o et io donnant deux résultats négatifs, on commencera par ,7=10 qui donne le résultat — 6i : la substitution

ÉLÉMEÎfS D’ALGÈBRE. 5»7

y=i 1 donne le résultat 4- 54» d’où on conclut ÿ=ïo. On fera donc

d’où résulte la transformée en z

6tz 3 — 942’ — aoz — 1 =0 :

en posant z=ri , = a, on trouve les résultats — 54, -4- 71 ; donc r= 1 : conséquemment

d’où on déduit la transformée

et aux substitutions «= 1 , « = a, répondent les résultats — 71, + 293 ; donc s= 1 , et ainsi de suite. La racine cherchée sera donc représentée par la fraction continue

1 a 4- etc.

De cette firaetion continue, on déduira (355) ces fractions convergentes

% 2j. j i i* m ■ ; i lli.lll) il) 5 3» 74»

etc.,

lesquelles seront alternativement plus petites et plus grandes que la valeur de x ( 357 ), et dont les valeurs en décimales seront

La dernière fraction est plus grande que la

racine cherchée, mais elle en diffère de moins de

- g ‘^, (358), c’est-à-dire, de moinsde 0 , 00000001 63, en

sorte que cette fraction sera exacte jusqu’à la septième décimale : or, réduite en décimales, elle est 3,09455 1 4865.. . . Aiusi la racine cherchée sera entre les nombres a,o9455i49 et 3 , 09455147 - Newton a trouvé, par sa méthode (36o), la fraction 3 , 09455147 , d’où l’on voit qu’elle donne, dans ce cas, un résultat fort exact; mais, dit Lagrange , on aurait tort d’en attendre toujours une pareille exactitude. La valeur a,o9455i48i5. . . . obtenue par la méthode de M. Budan , est exacte jusqu’à la neuvième décimale.

Prenons pour second exemple l’équation — 7 * - 4 - 7 —o, ou a:' 3 — 63 *' -+-189 = o

ÉLÊMENS D’ALGÈBRE.

qui résulte de la première sous l’hypothèse x — ^ ,

et pour laquelle nous avons trouvé (348) une racine entre 4 et 5 et une autre entre 5 et 6, ce qui indique pour la proposée deux racines plus grandes que l'unité, mais comprises entre i et a , c’est-àdire , ayant l’unité pour partie entière approchée. On voit donc que lorsque plusieurs racines ont p pour commune partie entière approchée, on peut les ramener à avoir des parties entières différentes, x'

en supposant x =-^ et prenant h convenablement ;

d’où il résulte que chacune des transformées n’aura plus qu’une seule racine réelle plus grande que l’unité, et qu’ainsi on n’aura pas besoin de calculer l’équation aux différences. Cependant opérons sur l’équation x 1 — 7X-+-7 = 0 , et posons

nou£ aurons la transformée

qui comporte denx racines réelles plus grandes que l’unité. Il convient d’abord d’essayer si l’on peut trouver les valeurs approchées de ées deux racines par les substitutions o, 1 , a, 3, etc. : or l\y * étant le seul ternie négatif, il suffira de pousser les substitutions jusqu’à / J =ou > 4/’, c’est-à-dire, jus-

qu’à^=4:en faisant ^ = o,= r,= a,=:3, = 4» oa obtient les résultats 1 , 1 , — 1 , 1 , i3; d’où l’on conclut que la transformée précédente a deux racines comprises, l’une entre 1 et a , l’autre entre a et 3, de sorte que les valeurs approchées d e jr, seront t et a. En considérant la première, on fera