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(') On entend par permanence , la répétition ou la succession du même signe , et par variation, la succession de deux signes contraires.

où on remarque que le coéfficient de chacun des termes du produit, se forme de celui du même rang dans la proposée, augmenté du coéfficient du terme précédent , multiplié par a. D’après cette loi de formation , on voit que , pour obtenir les signes des termes du produit par x-\ -a , il suffit d’écrire la série des signes du multiplicande , et au-dessous la même suite , en ne commençant qu’à la seconde place à gauche. Pour le facteur x — a , la première ligne du produit est encore la série des signes du multiplicande , et au-dessous ces mêmes signes changés et reculés chacun d’un rang vers la droite. Nous supposons ici et dans ce qui suit, que l’équation soit complète.

.Soit donc la série des signes du multiplicande celle du produit par le facteur x-t-a, sera

où la lettre i indique l’indétermination du signe du résultat , laquelle a nécessairement lieu lorsqu'on fait abstraction de toute valeur numérique des coéfficiens. Aussi long-temps qu’il y aura permanence de signes dans le multiplicande , à partir du premier signe à gauche , il y aura pareillement permanence de signes dans le produit ; mais lorsque la permanence cessera au multiplicande, le signe du produit deviendra indéterminé, et l’indétermination continuera jusqu’à ce que la permanence se rétablisse dans le multiplicande , auquel cas le signe du prçduit deviendra déterminé" et ainsi de suite.

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Le nombre des signes indéterminés du produit , étant le même que celui des variations de signes du multiplicande, il suffit donc de taire voir que* les signes indéterminés ne peuvent, dans auçun cas, introduire au produit plus de variations qu’il ne s'en trouve au multiplicande. Or , un seul signe indéterminé ne peut être compris qu’entre des signes dissemblables -H et — ou — et -+- s si , pour cette iudétermination , on prend le signe -+• , il .y aura , . dans le premier cas , permanence de 4- à + et variation de -f-à — : si on remplace le signe indéterminé par — , il y aura variation de -H à — et permanence de — à — : même conclusion, eu supposant -t- puis — , au lieu de l’indétermination, entre les ' deux signes — et -P. Ainsi un signe indéterminé compris entre deux signes déterminés , ne peut donner qu’une variation. Un nombre impair de signes indéterminés consécutifs, se trouve compris entre deux signes dissemblables , et un nombre pair de ces signes indéterminés, est intercepté entre deux signes semblables : dans l’un et l’autre cas , le plus grand nombre de variations qu’on pourrait introduire , en supposant des signes au lieu de ces indéterminations, serait au plus égal au nombre des variations qui se trouvent dans la partie correspondante du multiplicande. Donc , comme il y a au produit un signe de plus qu’au multiplicande , on doit conclure que le facteur æ+o, a introduit, au moins , une permanence : qu'ainsi le nombre des racines négatives ne peut surpasser celui des permanences. On prouverait par un raisonnement semblable, qu’en multipliant par le facteur .x — a correspondant à une racine positive , le produit ne peut avoir au - delà du nombfe des permanences qu’on compte au multiplicande , et comme cepen-

dant il y a dans ce produit un signe de plus qu’au multiplicande, il s’y sera introduit, au moins, une variation de plus. Donc , etc.

368. J1 suit de ce théorème que lorsque toutes les racines de la proposée sont réelles , le nombre des racines positives est précisément le même que celui des variations, et que les racines négatives sont en même nombre que les permanences : en . effet , soient P le nombre des racines positives , N celui des racines négatives : v le nombre des variations et p celui des permanences : puisque , par hypothèse , toutes les racines sont réelles , on aura

en observant que le nombre tant des permanences que des variations, qui fait le nombre total des signes,, est égal au degré de l’équation, c’est-à-dire, au nombre des racines : or, d’après ce qui vient d’être démontré, on ne peut avoir P> v; donc aussi N ne peut être <p : on sait d'ailleurs que N ne peut ètre>/>; donc N =p et P=e.

36g. Lorsqu’il manque un terme dans la proposée , on peut assez souvent reconnaître la présence des racines imaginaires par la règle ci-dessus : en effet , si l’on restitue le terme qui manque , en lui supposant successivement -t-o et — o pour coéfûcient , le nombre des variations et celui des permanences , correspondans aux deux hypothèses faites sur le signe du terme restitué, seront dilférens ou les mêmes. Dans le premier cas , il existera des racines imaginaires : car si on voulait supposer que toutes les racines fussent réelles, on serait conduit par ce qui vient d’être démontré (368) à deux conclusions contradictoires sur le nombre

et des racines positives et des racines négatives.' Dans le second cas , toutes les racines peuvent être réelles , mais rien jusqu’ici ne prouve quelles le soient.

Qu’on ait, par exemple, l’équation

x 5 — aotr’ + 5 ox’ -t- igx — 3 o — o ,

qui manque de second terme, et qu’on la complète en l’écrivant ainsi :

x 5 ± ox ( — iox* 4 - 3 ox’ iqx — 3 o = o :

on observera que soit qu’on prenne ox‘ en plus, soit qu’on le prenne en moins, on trouve dans toute l’étendue de l’équation, trois variations et deux permanences : toutes les racines peuvent donc être réelles, et, eu effet, l’ équation donne trois racines positives, savoir : x = i, x=a, x = 3 , et deux négatives qui sont x = — 1, x — — 5 .

370. Théorème II. Une équation dont toutes les racines sont réelles , a autant de racines comprises entre o p, qu'il y a de permanences de signes dans la transformée enx — p de plus que dans la proposée.

En effet, toutes les racines de la proposée, comprises entre o et p, et conséquemment positives, deviennent négatives dans la transformée dont l’inconnue est x — p (*); donc les variations de signes de la proposée, en même nombre que ses racines positives, doivent se changer en autant de permanences dans la transformée.

On démontrera fort aisément la réciproque qui a pour énoncé.

Théorème III. Une équation à racines réelles , ne peut avoir n racines comprises entre o et p, si sa

(’) Voyez la formation des transformées (3i5.)

transformée enx — p ri a pas n permanences de signes de plus que la proposée.

M. Budan ajoute : « Nous avons même de fortes raisons de croire que la seconde proposition est applicable à toute équation.

Ainsi l’équation

x' ± ox 3 — 7 x -t- 7 = 0

étant de celles qu’on sait avoir toutes ses racines réelles (348) , et cette équation donnant lieu aux transformées

dont la dernière a deux permanences de plus que la proposée, on conclura l’existence de deux racines entre o et a , et même entre i et a , parce qu’aussi la dernière transformée a deux permanences de plus que la précédente. SJ*, dans la proposée, on change x en — x , auquel cas elle devient

x 3 — ox’ — 7X — 7 = 0, on obtient les transformées .

(x — i) 3 •+- 3 (x — i)* — 4 f — i) — i 3 = o (x — a) 3 -|-6(x — a)’ -+- 5 (x — a) — 1 3 = o (x — 3 ) 1 -}- 9/x — 3 )’ -|-ao(x— - 3 } — i = o (x— 4) 3 ia(x— 4)* -j-4i(x— 4)4-39=0,

et on reconnaît, d’après le même principe, l’existence d’une racine entre 3 et 4 : €n effet, le nombre des permanences n’augmente d’une unité qu’en passant de la transformée en x — 3 à celle en x — 4- 371 . Lorsque toutes les racines d’une équation sont réelles, observe Lagrange , on peut trouver leurs limites, sans le secours d’aucune autre équation, par le moyen de la seule règle de Descartes : car si on

ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 55cj *

diminue, par exemple, toutes les racines de l’équation en x, de la quantité a, en y substituant z + a pour x, la transformée en z ou en x — a aura autant de variations de moins qu’il y a de racines positives de l'équation en x, qui sont devenues négatives dans l’équation en x — a; et par conséquent parmi les racines positives de l’équation en x, il y en aura autant qui seront moindres que a. Donc , si l’on forme successivement les transformées en x — i , , x — a , x — 3 , etc. , chaque variation de signe qui disparaîtra d’une transformée à l’autre, par exemple, de la transformée en x — n à la transformée en x — n — i, indiquera une racine positive moindre que n+i et plus grande que n, et, par conséquent, eomprise entre n et n+i. On pourra trouver ainsi successivement les premières limites des racines positives , et l’on aura de même celles des racines négatives par la considération des permanences dans les transformées en n+i, n-fr-a, etc. J’ignore, ajoute cet illustre géomètre, si cette remarque avait été faite avant le mémoire que M. Budan présenta à l’institut en i8o3 et qu’il vient de publier avec des augmentations, sous le titre de Nouvelle méthode pour la résolution des équations numériques. Lagrange ajoute quelques considérations relatives aux racines imaginaires , mais nous renverrons le lecteur curieux de les connaître, à la note VIU de son ouvrage.