etc
l’autre valeur de t corrigée ou approchée d’après la même règle, sera
•d’où
— ij 7
z — o, 68 et x — 1 , 68 .
Or, la plus petite raeine x trouvée (36i),est
, 1 4+etc.
ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 54g
cette fraction arrêtée au quotient 4 > est trop grande et donne
x=. = i,35 etc.
ensorte que la valeur ci-dessus x — i , 36 est, à plus forte raison, trop grande. L’autre racine x est exprimée par
a 4- etc.
pn s’arrêtant au quotient a, elle donne x = i 4- -y = i , 66 etc.
résultat trop petit, en sorte que la racine ci-dessus , x= i , 68 est assez approchante.
Traitons l’équation
— 3a: 5 -h — ioa: 1 — •jx’ -h x + i3 = o,
dont l’une des racines est x — — i ; après la division par x -h- i , on obtient cette équation du quatrième degré
on trouve une racine négative entre o et — i , substitutions qui donnent 4- i3 et — ■ 18, et une racine positive entre 4- i et 4- a qui donnent les résultats 4- 8 et — 3g. Occupons-nous d’abôrd de la première racine , et faisons io x—y : on aura la transformée
— 3 y 1 " -+• 5o — 1 5ooy J 4- 8000/ 4- i 3ooqo = o :
on découvre au moyen des différences, une racine
55 o CHAPITRE XXXII.
entre les nombres — 6 et 7 qui donnent -4- i33ia
et — a 3853 , et par la règle de fausse position, on a
J r=z — 6 — 3^705" — — 6 , 358 i , d’où x= — o, 6358 1 :
résultat exact dans les trois premières décimales. Venons à la racine positive entre 1 et a , laquelle est très^voisine de 1 : on posera x— 1 -4-2, et on aura la transformée
— 3 z 4 — 72’ — 182’ — 192-4-8 = 0; faisant 102= t, on aura la transformée
qui donne une racine entre 3 et 4». nombres auxquels répondent - 4 - 4667 et — 3 oo 48 : on aura donc, d'après la règle ,
*= 3 +^y^- = 3 ,i 345 , d’où *=i, 3 t 345
Pour fixer les idées sur l’approximation donnée par la règle de fausse position , nous en ferons encore une application à l’équation
i6x 5 — aoÆ’ - 4 - 5 x — o, 07845 9095727845=0,
traitée par M. Le Gendre (Trig.) et dont il trouve l’une des racines = 0,01570 73173 n8ao 7. Les substitutions
donnent
d’où 1 on conclurait, d'après la règle de fausse position,
valeur de x qui s’éloigne fort de la vérité. Les résultats dus aux suppositions x—o et x=i, montrant que la racine x est beaucoup plus voisine de o que de i ,
on fera ioox = z, d’où x — — ^-r,et on aura
* IOO ’
l6z 5 20(l00)V -f- 5 (lOo)* Z 7845 90937, 37845 = 0
les substitutions
2=1 I donnent “ a8/ »7 9 ° 94 i, 27845 a=2| üonnent + a 1 38 o 9 554 , 7a 1 55
d’où résulte
et
x= — =o,oi 5 7 i,
résultat qui diffère dans la cinquième décimale. Pour approcher davantage, il est naturel de faire 1 000 x = z, hypothèse qui donne la transformée
i6z — 20 (iooo)‘z j -+- 5 (iooo)* z— 784590957 27845=0 ;
. 49o55&94a7alO ‘ '
Æ== ro-oô =0 ’ 0,5 7 0 7 35:
résultat qui diffère dans la huitième décimale. Pour approcher davantage, on supposera de nouveau 10000 x=z et on obtiendra la transformée
i6z* — 20(10000)’ z ’-}- 5 (ioooo)*z — 7843 90957 27845 00000=0,
5 Si CHAPITRE XXXII.
or , de la dernière -hypothèse faite sur x et de la dernière approximation de cette racine, on conclut que les substitutions à faire pour'z, ne peuvent être que les nombres )5 7 et j 58 dont le premier est composé' des trois premiers chiffres à gauche de la virgule, dans l’approximation précédente, ce qui résulte de la valeur de x. Or, les hypothèses
donnent
d’où on conclut
2== 1 57 4donc
— 3 64783 a56o 6 19088 — 49 85iai 12289 95376
— —— — 0,0,570 73l74 lOOOO ’ 1 ' 1
racine qui ne diffère pas d’une unité du dixième ordre de celle donnée par M. Le Gendre, qui n’a pas indiqué le procédé dont il a fait usage.
366. Nous observerons que les décimales communes à deux approximations successives , sont exactes, considération d’après laquelle on peut estimer le degré actuel de l’approximation. Ainsi , dans le dernier exemple, la dernière valeur de x et la valeur approchée qu’on obtiendrait par un nouveau calcul, ayant les neuf premières décimales communes, on serait assuré de l’exactitude de la racine dans ces décimales.
Nous laissons aux lecteurs à apprécier ces ressources, et nous renverrons ceux qui désireraient d’autres détails, au Chap. XL' de la Trigonométrie de Cagnoli , ayant pour titre : de la Résolution numérique de toutes sortes d Equations , et à l ouvrage de , Kra/np , intitulé : Elémens d Arithmétique Universàlle.
Règle des signes oü règle de Descartes.
3 67 . Théorème I. Une équation de degré quelconque, ne peut avoir plus de t racines positives que de variations de signes , ni plus de racines négatives que de permanences ou de répétitions suivies du même signe (*).
L’énoncé sera démontré, s’il est prouvé i° que la multiplication du premier membre de l’équation dont le second est zéro, par un Licteur x-ha, correspondant à la racine négative — a, n’introduit pas dans le produit une variation de plus qu’au multiplicande, et î° que la multiplication par le facteur x — a correspondant à une racine positive, ne donne pas une permanence de plus : eu effet , le produit contenant nécessairement un terme de plus que le multiplicande, il s’y trouvera, dans le premier cas, au moins , une permanence de plus , et , dans le second , au moins , une variation de plus.
Soit le polynôme
x m -\-\x m ~- ‘-t-Bx" 1 — >-»- -t-Tx+V :
le produit par x+a sera
x"*4-B te 1 »— ,
. . . -H T ix J 4-V is
- 4 “ Aûj
