Un nombre est composé de deux chiffres ; le chiffre des

unités est double de celui des dixaines ; et lorsqu'on lui ajoute

/f>^ on obtient une somme qui est égale au premier nombre

IftENYERSÉ. On demande le nombre qui jouit de ces propriétés.

Si X désigne le chiffre des dixaines^ celui des unités sera sx ;

le nombre sera, , , -

. (x diacaines -f- ax unités) 4= (z.io •+• ax) unités rfa lax unités ;

k nombre reevenë sera

(x unités -4- ax dixaines) d^ (x -f- ax.io) unités 4= aix unités,

' Or le nombre proposé, augmenté de 4^ > ^oit être égal au .Sombre renversé. Donc. . .

iax + 45 = 2ix; aoùx = 5; ax=io.

Le chiffre des dixaines est donc 5, et celui des unités vaut dix. Itlais dans le système décimal , un chiffre ne peut pas expritUer plus de neuf unités ; la question n'est donc pas possible, l-e nombre entier positif, 5 , que l'on obtient pour x , donnant 10 pour le chiffre des unités, indique donc l'impossibilité de la question ; cela tient à ce que l'énoncé particularise la système décimal , et que dans celui-ci, la valeur de l'inconnue - «àt assujétie à la condition particulière , de donner pour les diiffres des nombres entiers positifs plus petits que dix. La

question dcTOnt po^s&le eh admettant pour les chiiFres ât9 nombres entiers plus grands qùç g. Gât alofà le ïiômbre demandé kant foriné de. . .

5 diçcmnes ^t lo unités^

en lui ajoutant i^ , U dtvivitdra to5^ que Ion peut ceintâérer comme formé ik...

to dixûines tt 5 unités^.

test ettectîvèmefït 1^ "nombre proposé rthoené. Aînsî , «oûs ce point-dé-vue y qui est telui qu^indique la valwr dex^ là qnestion devient possible.

«03« Trouver un nombre tel que ses^^ écoutés à ses ^^ soient égaux â ses f^. Soit x le nombre inconnu ; on sera conduit à réqttatîoB^ . .

|x + Jxiit'IJx-, éHe donne i3d&xs:o; oiiâ;=o.

CeÉle valeur de x. satisfait à Téquation , car elle réduit chaque membre à zéro^ niais elle ne satisfit pas au problème^ parce que zéro n'est pas un nombre. £t en effet, lès | d^uû nombre, plus se^ J, valent ses |^; il s'^igit donede troiVer un nombre , dont les || soient égaux aux ^ ; te qui né peut avoir &««i.

•^^^ Qmid est h nombre ^daiUies^ plus les ^^ég4dent les \i? Désignant ce nombre par iïàx, on sera conduit à ï identité» . .

ix^ ^xtjsiiyxy ou 47a?=^i7jc.

Cettttîdentitéadàtetttnefai&iilé de valeiffs arbitraires de x; le problème est donc entièrement indéterminé. Et en effet ^ comme I plus f , font j4 ; Qu^ 9P^ 9<Ht un nombre , ses | plus ses |, sont toujours égaux à ses f|- ; le nombre désigné par x devait iimc «rester ibâéterminé ; on 4evait donc être cofidiût à «a», «eâtité. ~

455. Trouver un nomire dont te? | ttàgmenfêis ée 7, iètèNl égaux aux ^ moins les | dé ce nombre, aUgfnefriJtés de ). "Sk le nombre inconnu est x ; on aura. . .

D' A L G £ B R E. %Jp

4olM.... ^^-H7^ri:-f-9; d'où 7 = 9.

Mais aucune yakur de oc ne peut satisfaire à cette condition ; im question proposée et l'é^éUion i^u'ellefoumit, sont donc impQs» sibles.

4â6. Un père de famille ordonne , par son testament, que l'uiné de sKesJils prendra 100^ sur la totalité de ses biens, plus le dixième de ce qui restera; le second soo^, et le dixiénie de ce qui restera ; le troisième 3oo^ ^ plus le dixième de ce qui restera ; et ainsi de suite jusqu'au dernier , en augmentant toujours de 100^. Les enjkns sont également pco'tagés. Il s'agit de découvrir la valeur de L'héritage , le nombre des enfans , et la part de chaque enfant. Désignons l'héritage par x'^. Le fils aîné prélève loo**, plus le dixième du reste (a;** — 100*) ;

sa part est ddBC f 100*^ -J j , ou f — -^-^ J ;

a né wte donc que àF^{f +^»°°^ . ou (3^^~ 9°°^

â partager entre les autres eafans. Sur cette dernière somme ^ le a* enfant prélève d'abord aoo^ ; le reste est donc .... :

^7, ,77" ...j .^ 200*", ou (2 S y dont le dixième

est ( ~ j ; la part du second fils est donc . . .

(SfÈL-.^ÈS^J^aocA, oura^+'7i£g!Y MaU cett. V 100 . / \ loo /

seconde part doit être égale à la première ; donc. . .

jc*4-qoo OJC4-17IOO « , « a: + ûoo

^^^ — = ^ ^ ^ ; d où X = 8ioo -, — -^ — = ooo.

I.*héritagé 8loo^, divisé par la portion d un enfant, qui est joo*, donnera 9 , pouf le nombre des enfans. Si ion effectue ït t>attage suivant les volontés du testateur , on trouvera que ces nombres satisfont à toutes les conditions du problènâe.

Cette solution conduit à des remarques importantes. Eiji

Sà44 É L É M E If s

effet; poiir déterminer la valeur de x^ nous n'ayons exprimé qu'une très petite partie des conditions du problème , et cependant les autres conditions se sont trouvées remplies ; il est très-rare que cela arrive ainsi. Les valeurs des inconnues ne satisfont ordinairement qu'aux conditions du problème exprimées par les équations qui les déterminent ; les seuls cas qui fassent exception , sont ceux ou les conditions non exprimées sont des conséquences immédiates des conditions exprimées, La question actuelle est de cette espèce. £n effet , si Iob effectue les calculs , on trouvera. . .

ir« pan = ^^^ y a« part = ^ 5

3« part = li22L-} A* part = ^-2- -^Z, j

*^ 1000 ' ^ '^ loooo ■

la i« part — la a« = — (x — 8100 )*"; '^ 100 ^ ' '

9 iwy

la 3» part -- la 4» = -^ . -^ ( a:— 8100)*.

la 2» part — la 3» = — ^ ( x — 8100 )*: ^ 1000 ' '

et ainsi de suite. Mais toutes les parts doivent être égales ; il faut donc que chaque différence soit zéro ; et comme il arrive qu'elles ont (x — 8icx)) pour facteur commun , on les réduiFa toutes à zéro , en prenant x = 8100. Ainsi, dans la questioa actuelle , les relations qui lient l'inconnue x , aux quantités connues sont telles , que la valeur a: = 8100, rend toutes les parts égales ; comme l'exige Ténoncé.

4^7. Passons à V examen des solutions négatives. Lorsqu'on n'a égard qu'aux valeurs absolues des quantités (*), les nombre» sufRsent pour les représenter. Mais en réfléchissant sur la nature du calcul , on voit qu'une même quantité peut être con- ^ sidérée sous deux points de vue directement opposés , ou comme capable d'augmenter une autre quantité, ou comme capable de la diminuer. Tant qu'on ne représentera les quantités qae par des nombres , rien ne désignera quel est celui de ces deux aspects sous lequel on les considère. Le moyen le plus naturel

(*) La valeur absolue d'une quantité est celle qui est indépendante de 0/1 signe, Mm'i , -f- 3 et — 3 ont 3 pour yalcar aUolae.

de le faire connaître, est d'aflecter ces quantités du signe + pour indiquer une manière d'être , et du signe — , pour indiquer la manière d être opposée.

458. Ainsi , lorsquon veut résoudre une question , comme <tn ne connaît pas le signe de l'inconnue , on affecte cette inconnue du signe -f- ; on résout le problème dans cette hypo^ thèse ; et suivant qu'on obtient pour l'inconnue un nombre po^ sitif ou négatif, cette inconnue doit être prise dans C acception qu'on lui a donnée, ou dans une acception directement opposée. En effet, les signes + et-7- n'étant introduits' dans le calcul que pour indiquer les manières d'être opposées des quantités , -comme on part d'une équation rigoureuse , qui exprime les conditions du problème, dans les résultats qu'on en déduit, par une suite d'opérations rigoureuses , les signes + et — ne peuvent pas être dénaturés ; ils doivent donc encore indiquer les manières d'être opposées des quantités.

459. Les signes -f- e^— -, qui n'ont servi jusquiici quà indiquer l'addition et la soustraction (/!• 197), ou la multiplia cation et la division (n* SgS) , vont donc recevoir une accep" tionplus généiale ; ils indiqueront les manières d'être opposées des quantités les unes à t égard des autres. Sans cette conifention , les formules algébriques et les règles qu'on en déduit , ne seraient pas générales (ji* SgS).

Pour jeter plus de jour sur les' raisonnemens précédens , noui allons résoudre plusieurs problèmes qui conduiront à des valeurs négatives de l'inconnue.

4S0, Quel nombre doit-on AJOUTER à 7 , pour obtenir 5 ? Si X désigne ce nombre , on aura ....