a • 'S 1 ojc ox ôx 7x

Tera ^e x inknt Aéik facteur conteran dam tons Im d^ominafic 4e emaMénr 1« cocffcms de « et de kv lendi* ici néqi«i.* iendra en prenant powr d^ominateor cormmni le pfodnit atojr tes coeffiGÎevf s , 3 , 5 , 7. Pour calcnler les winTeaaz nume'raîvisera U d^nominauiir coaunou aKur^fnccefmement par chacun inateuTB ix^ 3^/ 5f » 7X des Cracûont proppsé»^ lea <)uoiiens I, 3oy mnitipliëa par les numérateurs correspondans 1 1 a, 3, i p To5 1 14» » I4i6 y 3o pQur Jes nonveans numértlévi. De sorte que is proposées, réduites au même dénominateur , sont* . . .

10^ i4o i?6 3o 910X ' 3^ox ' >iopc ' aïox*

ne çst -2 — •

rsqv^on vpudra réduire au même dénominateur des JractionM

ir dénominateurs les produits tPune même quantité pan des

Ufé'rent ; on multipliera d'abord le facteur commun par Us

\férens;le produit sera le dénominateur commun. Multipliant

igue numérateur, par le produit des faetmurs différens contenus

lénominateur$ dm autres fractions ; les prodwtUs affectés du

'iOMr commun , seront les fractions propo^ée^ réduites Ii^ méjpkc

II 7 leur (B. H* tti4J- S'H s^agit des fractioBS 7g- , -^, dont les

enrs sont les produits de la rûé)ne quantité lax , par les Caçteurs , 5 ; on e^èctnera le calcul de la manière suivante. . . .

4ftr^ 41^ 4- "î^ 5^ 5 ^ a4ex ^

6ox^5.|>x^5.iax X 4 a4ox dnire a» même dénominateur les cinq (ractions 9 7 ti 9 i

acMT lAiv 9iMr >&r 3Sip

lénonûnatenrs sont les produiu d^ine même quantité 5r, par leg litRÊrens a, 3, 4, 5> 7 ; on multipliera le facteur commun Sx, odnit 840 des CiK^iann dtfnrvit i^çe (ffk ifenncra 4aoox pour déno«

oiB £ L i M E N «

minatear oônaamif divisant 430Qr; par let déM>minatcton t<âr, i5 95ûr, 35x dis fractions proposées y les qnotiens. . .

4^0 , aSo , âjo V 168 y lao ^

ihnli^éi pat ies^mnëratears correspottdàns'. w

3, 7-, II, .. a , 3,

donneront pour prodaits. . . ' ■ '; x • '

^ ia6o > igSo ^ aSio 9 336, 36o ;

«es produits sont les aouTeauz nomérateurs. De sorte que les firacti< posées aopt eiprimëes par les fractions équivalentes . . .

ia6o i960 !b3io 336 36o /^soox* {iôôx ' 4^oodr~' /^^toox* 4'^'^'* ' Pour réduire an même dénominateiir les fractions. . .

nx 7 5x

dont les dénominateurs sont les produits d'une même quantité 1^(7. par les facteurs difiPérens 3 1 4 ^ ^ >- ^^ multipliera le facteur commun la ( par les facteurs diSérens 3 , 4 > ^ i '^ produit a88 (70: — 3 } sera le déi teur commun; multipliant ensuite le numérateur iio: de la première : par 8 , produit des facteurs différens a et 4 ^^^ dénominateurs d autres fracfions , le résultat 88:ç exprimera le numérateur de la p fraction réduite au dénominateur commun. Opérant de la même ] sur les deux autres fractions, on trouvera que les fractions pro] réduites au même dénominateur , 4»nt ...

88a? 4a 6ox

418. Pour réduire au même dénominateur plusieurs fractions t plus grand dénominateur est multiple de tous les autres ; il s diviser successivement le plus grand dénominateur par felui de 4 fraction , dont on multipliera le numérateur par ce quotient donner ensuite pour dénominateur h chaque numérateur ainsi plié y le plus grand dénominateur des fractions proposées (B. n* D'après cette règle , pour réduire au même dénominateur les fracti

ax 3x 4^ lax dont le plus grand dénominateur lax est multiple des autres dénomiu) on diviser^ successivement lax , par les dénominateurs ax , 3x, 4x, is quotïens 6, 4/ 3 , i , multipliés par les numérateurs correspondans i , a donneront pour produits les nouveaux numérateurs 6, 8, i5, 7jd< IQie In fraatîoos proposées deviennent. . •

6 8 i5 7 im' lax' lax' lair'

P' A L G i B R El ûa^

redaîre ' va. mtec d^owinatenr les fractions ...

3 (7Jf ^4) ia3 (Sx — i) i3(ia7jr— 53) 5(ax — 3)' ao(ax — 3)' 6o(ax-.3) '

quelles le plus grand dënominatenr 6o (ax — 3).ett multiple dsi fnominatears ; on divisera snccessivement ce plus grand d^nominattol^. lénominateurs de diaque fracdon 5 les quotiens. ...

es par les numérateurs correspondans...

3(74p — 4)* ia3(5jc — i)j i3(ia7x — 53), >nt pour produits les nouveaux numérateurs. . . .

36(7r— 4); 369(5ar — i); 13(1270: — 53). i que les fractions proposées sont transformées en celles-ci. . .

36 (7a: —4) . 369 (5g -^i) . i3(ia7g— 53) 6o(îig— 3) ' 6o(ax — 3)' 6o(ajt — 3) *

n pourrait se faire que le plus grand dénominateur ne f&t pas mnl-* s autres dénominateurs , mais qu'un léger cltaiigement pût le xendrt l'on avait, par exemple , Us fractions. ... •

II oa 5 i3 7«t 8 17 2a 0 4^ 6a 13 ^ loa

ait facilement que si au lieu de la fraction J^, on écrivait 'la

équivalente 5^ , le nouveau dénominateur 36a ^ deviendrait un

3 exact des autres dénominateurs ; opérant alors comme dans lea s précédens , on trouverait que les fractions proposées sont exprimées fractions équivalentes....

198 a4a* 45 78 aig* 3a 34 36a' 36a' 36a'36a' IST' 36a' ÎSi'

>mme est ^^ i-, ou — ;— 2-.

ooa 4^

Toutes les méthodes abrégées relatives à la multiplication dci firao* Igébriques , sont comprises dans cette règle générale. Pour obtenir ment , la fraction équii^alente au produit de plusieurs fractions ; i d'abord le numérateur et le dénominateur de la fraction produit^ (quant les multiplications ( n<* a4a j. Supprimez ensuite ceux dee rs communs aux deUx termes de la fraction^roduU , que vouê z découvrit*; effectuez les multiplications qui restent indiquée» i iltat sera le produit demandé. En yoici^f etiatii^n,..,

j3xN /" i5 \ 7(jr-»-a) . i3jr.i5.7.(j^4-a)^ l3jr.7 , gig ï-fay • Vx-ïJ ' """15" ^(x4.»)(x-i).i5'^ «-I ^x^i^

43p ^ L B M X II s

4^1* ^* ditision offre des amplifications analogiM* ; indigttoht let ptûieipales. lo. Pour diviser Pune par rentre deux fractioFU de même dé" nominateur, il suffit de diviser té numéfaU'ui'de Id fraction iUvidende^ par, celui de la fraction diviseur ; ^^pour ohtenir le quotient de dmxjractioiu de tnême numérateur , il suffit de diviser le dénominateur de ta fraction ^Afiiieur par àehtt dé' là fraction dividende ; Z^ lorsqu^on divise Vunitié par une fraction, te quotient est égal a cettéfraeiion renversée(À* n* i^ Voici des exemples. . « «

4^a; Les calculs algébriquiss ne pouvant plu& oiFrir tticulieî difficultés^ nous allons faire connaître quelqfues propriétés qui existent entre les grandeurs et lês signes des facteur^ et du pr(h duit. Ces propriétés setont utiles dans la suite du cours.

4^3. ZjO produit aXb étant divisible par c, et h et c% n* ayant aucune facteurs communs ; on peut en conclure que o divise à. (^'Les iettres a, b, c, désignent des nombres entic^j positif s'y jExk efffst, i et c, étaut premiers entre eux, leur pi ^and txmmtan âiyiseur est f unité ; la réctierche du plus gci commun diviseur entre & et c , conduira donc toujours à njjj reste égal à l'unité (A. n* i4i)* La démonstrafioR étant indé pendante du nombre des divisions effectuées pour obtenir I^ redte i y nous supposerons que cela arrive à la 3® division. CeJ posé y h peut être plus grand ou' plus petit que c.

1^. Si b est plus grand que c ; on divisera b par c^ ce donneiraun quotient q^ et un reste r; la dWisioa de c par .donnera un quotient <f et -un reste / \ enfiâ la diriiiow de 'p« / ^otmxt0. un quotient èf et Mn teste égal à Tunité. Dî èhaqtte <fivisîon^ leAridendè étant identiquement égal au duit du diviseur parie quotient ^ plus le reste (A. n® lî?}; doit avoir. . .

D* A L G i B H E. aSt

liS( Hitijtîfklîeation des deux membres de chaque identité, pure,' A)Hik«. ..

On a vn en Arithmétique (B. n* 60) que, tout nombre qui }iwB la somme de deux quantités et l'une de cer quantités ^ vise nécessairement l'autre quantité. Or dans la i*** identité, f^ et acq , sont divisibles par c; le nombre ar est donc divisible par c. Dans la a* identité , ac et artf sont divisibles par c ;. ^c a/ e^ divisible par c. Enfin , dans la 3* identité , ar et 0^q* étant divisibles par c, il faut que a soit divisible par c.

a,^. Si h est plus petit que c, on divisera c par b , ce qui

donnera le quotient q et le reste r; la division de b par r ,

donnera le quotient q^ et le reste /; enfin la division de r

jpar f* , donnera le quotient ^'^ et lé feste 1 . Indiquant là preuve

!de chaque division , et multipliant les deux membres de chaque

identité par a, on tttfdvera. . .

acs^ahq + ar\ abz^arq' -{' a/ \ ar^ipa/qf + a.

Dans la i** identité, ac et ab sont divisibles par c, donc ar -4St divisible par c. Dans la a' , ab et ar sont divisibles par c , Ifkaïc a/ est divisible par c ; enfin dans la dernière identité , linr et al^ étant divisibles par c , il faut que c diVûe a. Le priniiàpe énoncé se trouve ainsi démontré. Nous allons en déduire "des propriétés importantes.

I 4^* Lorsque le nombre c rta aucuns facteurs communs pBvec ^ et b; les deux nombres ab e^ c, sont premiers entre eux; f2é sorte que ab nest pas divisible par c. En effet , si ab ^ c pouvaient avoir un facteur commun m , on aurait

ab^=imqi c =j= mq^ ,

€ et a , ou mq^ et a étant premiers entre eux , m et a n*ont aucuns enrs communs ; mais m divise ab , donc m diviserait b

(11^4^3) ; mais m divise c ; les nombres cet & , auraient donc m ''pcur facteur commun, ce qui est contraire à rh3rpothèse ; ab et c ne peuvent donc pas ayoir de facteur commun ; ab n'ei( 4onc pas ditiaiUe par c^

âSs É L É M E N s

426. Lorsque le nombre q.n'a aucuns factturs communs avec ay b , c, à', les produits ab ^ ac , ad , bc y bd ^ cd, abc ^ abd^ acd, bcd^ abcd^ n ont , aucuns facteurs communs avec q. Par exemple^ abc et q sont premiers entre eux; en efFet, d'après le principe du n® J^^ , q n'a aucuns facteurs communs avec ab et c, donc q et ab X, c seront premiers entre eux.

42S. Pour qu'un nombre premier puisse diviser un produit, il faut que ce nombre premier divise Fun des facteurs. Par exemple, pour que abc soit divisible par le nombre premier p, il faut que p divise Tun des facteurs a , 3 , c ; car si p ne divisait pas l'un de ces facteurs , p n^aurait aucuns facteurs communs avec a y b^ c; donc aie et p seraient premiers entre eux; p no diviserait donc pas abc ; ce qui est contraire à l'hypothèse.

4^7 • Lorsquon a supprimé tous les facteurs communs aux

deux termes d^une frctction , elle est IRRÉDUCTIBLE^ cest-à- .

dire quon ne peut pas l'exprimer par un$Mutre fraction cyant .]

des termes plus petits. De sorte que pour réduire une fraction

à sa plus^ simple expression ^ il suffit de diviser ses deux termes -

A par leur plus grand commun diviseur (*). Soit la fraction —,

dans laquelle A et B n'ont aucuns facteurs communs. Je dis ; que a et 6 désignant des nombres entiers moindres que AetB^ ^ on ne peut pas avoir. . .

A , a , bA

^=f=j; on a=#-^:

En effet., si ces identités pouvaient subsister, comme a^h^ Ay B ^ désignent des nombres entiers, le produit bA serait

di^sible par B ; mais B et A sont premiers entre eux , ^ di-* i

viserait donc 6 (n® 4^33), ce qui est absurde, puisque b esX \

moindre que B. La &aotion -j est donc irréductible. J

(*) Cette proposition mërite toute Pattcntion des Elèves , ear dans ' le» 'j

tndtés d'Arilhmëti<pie j on suppose, Sans le démontrer, qu'une fraction donc i

tti deux termw n'oa tplus de f«ct«an «onuauos , est irre'dttctible ( B. vfi 65}. ^1

D'ALCèBkx. s33

. 4aS. n en résulte que deux fractions irréductibles égales , ^nt,\lewrs termes correspondans égaux, car autrement, une fraction irréductible pourrait être exprimée par une autre fraction ayant des termes moindres , ce qui est impossible

4i3g- Si la fraction r ^st irréductible, la fraction |— sera •

éfpdemetU irréductible ( a^ b, m , n , sont des nombres entiers

positf^). En effet, si la fraction p- n'était pas irréductible,

il existerait un nombre premier p qui diviserait ses deux termes ;

: p diviserait donc l'un des facteurs a, du produit a"*, et Tua

' des facteurs b du produit b^ \ donc p diviserait a et & ; la frac-

tion -T ne serait donc pas irréductible ; ce qui est contraire à llijpothèse. T7 est donc irréductible.

Bdations qui existent entre les signes des facteurs , et le

signe du produit.

jpo. Dn produit a le signe «4- quand tous ses facteurs sont positifs ; ctr le prodoit des deux premiers facteurs , qui a le signe -f- , multiplie par le 3*&ctenr, donnera un produit positif j ce dernier produit , multiplié par le 4^ fjsu:teiir I donnera on résultat positif; et ainsi de suite. Par exemple. . . •

(-4-<i)(-+-&)(+c)43(-4-fl*)(-4-c)4=-»- abc.

43i. Le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs a le signe -f-." Pttot que ces facteurs , pris deux à deux , donnent des produits positiiik Abmî.* • • .

(-a)(-3)(-4)(-5)=#C-4-a.3)(-h4.5) + (-h6)(-hio)4=-»-iîio; (-a)(— *)(— c)C— rf)=#(-^rt3) {'^cd)dp-^~abcd,

433. Le produit d'un nombre impair de facteurs négatifs a le signe — . b effet, le produit -de tous les facteurs négatifs, excepté le dernier, a ki Â|iie -^ (nP 4^1 } ; ce produit positif, multiplié par le dernier facteur, qui 'l t k i^gne — - , donnera un résultat négatif. Ainsi ....

M(^3) (-4) (-^) (-6) 4= {-hii.3.4.5) (-6) 4=-a. 3.4.5.643-720.

aS4 i t È M t n %

.433. Une quantité ne changeant pas de jàkenr wutéfitfÊê , ionqtiVs cbange feulement les signes des ternies qui la compoi«ni f il on ràiHi& c[u'iin produit conserve la même valeur numérique , lorsqu'on change les signes des monômes qui composent un ou plusieurs facteurs. Koot allons* examiner te signe que pren^ ce prcxlnit.

434* Le produit de deux facteurs ne change pas de signe, quand on change les signes de ses facteurs; jcar si leasignea des deux fàct^^énaiot •en4)lables , ils le seront encore après les avoir changés ^ leur produit restera donc positif; et ai les signes étaient diiërens, ils le seront eneoke «^ics avoir changés ; leur produit restera donc négatif. Par exemple , ayant \ts produits^...

(-hfl)(4-A)4=4-aA5 (-û)(-6)4<-»-«iS'); (-hfl)(-ft>+H-*& ; (-a)(-^^)4M.*,

si Ton change les signes des &cteuis, les produits ne changent pas de sigdet , car ils deviennent

(^aX-^by^-hab i (•^a)(-hb)=^'^ab', |(-fl)(-4-A)43-aib ; (-huX— ^)4»-«*-

435. Le produit de plusieurs facteurs ne change pas de signe , quand on change les signes d'un nombre pair de facteurs. Gela résulte de et qne ies produits des facteurs pris deux à deiot ne changent pU àé «Ignei (no 434)* P^' exemple , ayant le produit. . . *

si Von change les signes d^vm nombre pair de facteurs , des quatre preàiien par exemple , le produit ne change pas de signe y car il devient. . . .

{-4-fl) ( — A){-*.c)(-t*d) {•¥è)i^^dbcdé.

436. Le produit de deux facteurs change de signe , quand on change le signe d'un seul facteur ; car par ce changement , si les signes étaient semblaîbles, ils devienûent différens; le produit qui était positif devient donc négatif ; et si les signes étaient différens , ils deviennent Semblables ; le produit qui était négatif devient donc positif. Ainsi , lorsque dans lesprodoiti

("haX-^-bJz^ab 'j (—«)(— ^)4H-aib ; (-hfl)(-£»)4^a£»; (— «)(-4-é»)=J»-^^,

on change le signe d^un seul facteur , du i«x' par exemple , les prodflki chai^gent de signe , car ils deviennent. . . .

(— fl)(-h^)s^a^ . ç^a)i-^b)=i:>^ab ; (-fl)(-/»>4a+a^ 5 (4-fl)(+i&>:H-«^-

437. Un produit change de signe, quand on change les signes d'un nombre impair de facteurs ; car lorsqu'on aura changé les signes de tons les facteurs , excepté le dernier , ce qui revient à changer les signes d'an nombre {)air de facteurs , le produit n'aura pas encote changé de signé (n* 435) } le dernier facteur, qui changé de signe, fait donc clitinger le signe Au produit ( no 436). On peut vérifier ce principe s«if le produit. ...

(— fl) (-f: b) (^ c) (-.rf) ( •+• O ^ - obcde.

D*ALGÈB11E. fl35

Kl dnBfHBt le» m^ptà ^mb nombre ûnpeir de fectam, de» trois premiera pur exemple, il change de signe et devient • . . .

438l PoÊtf êottêtmira wi produit, il su/it de changer les signet d*um nombre i^^pair de facteurs ; car par ce changement , le produit, qui chang€ àê aifiie (n* 4^7); ^ trouTe soustrait (n« aSSj. Par exemple

-. ,-.(-^*)(-^6)(--•)(^rf)#:a^(-iI)(4-ib)(-^c)(-•.|^).

43g. Un produit ne change pas de signe , quand on change en même temps le signé fui le précède , et le signe d'un nombre impair de facteurs ; car après eeite dout>le opération , le prodaii , qui a change denz fois ds signe ( û* 4^7 ) f a 'cpns son signé primitif ( * ). Soit le 'produit. . . •

-•- (-ha) ( 4-1») ( -4- c) (-4- rf) t+: -♦- «6«/.

¥m ch— gtMit le ligne 4- qo> le précède, et les signes des trois premiers tsctmBa , il oè cbaiige pas de signe , car il devient. . . .

— (~ a) ( — ^) (—c) (•*-</), on — (-1— ai&crf), on -^abcd.

44o. £ê produit ê?un nombre pair de facteur» égaux a le signe -f* E«> efiet , ar let ftetenrs Sôai positifs, lenr produit aura le signe + (n» 4^0) ; et s^ «ont négàtifîi , comme leur nombre est pair , leur produit aura encora h signe -h (ne^ 4^). Il est donc impossible d'obtenir un produit négatif, àpee un nombre pair de facteurs égaux. Cette conséquent nous sera fort utile par 1^ suite ^ elle expliquera la théorie des imaginaires. Voici quelqnaa cxemjdea, ...

(-^*) (-♦.6)4s + *t I { + b) (+b) {-fb) (H- A) 41 + M (-A) (-*)»>= ^**| (6H-*)(-*M-*)++'^«-

44'^ ^ produit d'un nombre impair de facteurs égaux y a le sigfiB ie ses facteurs ; car si les factenrs égaux sont positifs , leur produit sera positif ( n* 4^0) 9 et s''ils sont négatifs , comme leur nombre est impair, lent produit sera n^atif (n** 43a)* D'après cela

(-hb) i^b) i^b) + + b^

(4W) (+3) (+3) (-h3) (+3)=J=4.îi43 (-3) (-3) (-3^ (*-3) (-3)=ta~a43.

44^* Thute ptrissAircE paire, d'une quantité positive ou négatîi>e , m. Itf sigkê «f»; fi mute puisséinee impaire d'une qmtntité, a le signe dû cette quantité; car une puissance étant le produit de (acteurs égaux (u9 38o) ^

^m^mmmmm>,^m^t^m.

(*) tM. changeant le signe qui précède le produit , on change le signe dn produit ; ohangeant ensuite le signe d'nn nombre impair de fadeurs , on bhange de noùTêMi le ligne da prodnit; ce qni lui reiMl s<ni sigot fiwtt^

st'SS é L é M E N s

les principes des n^ 44^ ^' 44' > conviennent aux poissancet. Tlur «i8iii^.V

Si a = a; alors a' =13 X a X 3 = 8; a4 = 3.a.a.a=S i6; d'oii #

(^2)4434-16 i (la)4=^+i6 ; (^.î»)»4= + 8 5 (^3)>4:-&

443* i^5 règles précédentes cprufiennent a des facteurs , tiMtêmes on polynômes ; de sorte que a, b , c , d ye, peuTenC représenter des p<Jyn6niei. On doit se rappeler que pour changer ie signed'un polynôme > il suffit de thanger les signes des monômes dont il est composé'. Ainsi. . .

fl — (x— / — S) (a— a:) =+:«-♦• (3+ r— a:) (a— a:) (n« 438)

(— * — i)»c|3+(ar+i)*=|aJC*-4-aj:-+-i (n® 44°)

(— * — l)î=#— (x4-l)»=# — (a:'-+-3a:»-4-5r+i) ....(no44f)

444* Lorsque le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont formés du produit indiqué de facteurs , monSmes ou polynômes , on peut changer les signes d'un nombre quelconque de facteurs , sans changer la valeur numérique de la fraction i il faut seulement observer que si'U nombre total des facteurs qui changent de signe , tant dans le numérateur que dans le dénominateur , est pair , la fraction ne change pat de signe , et que s* il est impair , eUe change de signe ; ce qui produit le même effet que de 'la soustraire. Ces propriétés r^ultent de la corn-, litnaison des principes établis dans les no* 39a, 4^3; ifiS t% 437. En Toid des «umples. Les deux fractions

(-a)(--3)(~5) r-f-7) ^j (■ha)(-^3)^(-h5)(-»-7) '

(— II) (-4- 100) (-♦- II) (-h 100)

dont la seconde n'est que la première y dans laquelle on a changé les signes

des quatre facteurs négatifs — a, — 3, — 5y-«ir, ont la même valeur

numérique et le même signe ; ce qu'on peut vérifier en effectuant les ope*

ratiogtis qui ne sont qu'indiquées \ on trouve que ces deux fractions se

ai réduisent à + — •

iio

Si dans la fraction ^7 — ^7 '-~~, ^^ , on change les signes des trois

facteurs négatifs (—.7 — a), ( — 5-4-3) , ( — 4 — ' ) > «Ue devievt

p-4 i , '^,^\' C**""'^* ïc nombre des facteurs qui ont changé de signe »

lïst impair, la fraction doit avoir changé de signe ^ et en effet. ....

<-7-a)(-5-»-3) (-9) (-a) . +^8 . i8 . 9 , . (-4-«)(7-3)^(-5)(+4)^-ao =P, m'^~j<,' .

(7-n)(5-3) a, {+9)i±j0 . ±2^ j. j.' '8 ^ j. 0 .f4 + iH7^3) ^ ( + 5) (■* 4) ^ -t- ao ^ '•' ao T ■*■ w'

D* A L G É B R E. ftS/

^ 44^ La règle préeèdênte donne le moyen de rendre potitifi chacun det.faeUnrM du nwnéraieur et du dénominateur ^ sans altérer la valeur de lmfraetk>n ; car Jt changeant les signes des facteurs négatifs , si leur nombre est pair ^ la fraction ne change pas (n^ 444^ » ^^ '^ ^^^^ nombre est impair ^ comme la fraction change de signe (n<* 444^ > ^'^ peut restituer le signe primitifs en changeant le signe d'opérathn, qui précède la fraction proposée. Par exemple la fraction. . . .

renfermant ([natre factenn négatifa , on peat changer leurs signes sans alt^ ttr la valcnr de cette fraction ; car elle devient. . . .

J — --^-^ — , ^ , — ' , qni se rëdoit anssi à H

Ayint la fraction ....

fti l'on ^ange les aignes des trois facteurs négatifs .— a 1 — 3^ — 5, e( le éigue qui ia. précède , elle ne devra pas changer ^ et en effet , elle deviendra. . •

446' Appliquons ces prînciî)cs à la solution des problèaaes.

Connaissant les produits deux à deux des nombres i, a, 3, 4»^/ po^r

<n déduire, at^ec le seul secours des doigts, les produits deux à deux des

nombres 6 , 7 , 8 , g ; ic suffit , après at^oir levé les dix doigts des deux

nains , de retrancher chaque facteur de dix ; on abaisse ensuite autant

de doigts dans chaque main qu'il y a d'unités dans chaque reste. La

tamme des doigts levés exprime les dixaines du produit demandé; ses

imités s'oktiennera, en multipliant l'un par Vautre , les nombres de doigts

laissés dansehaque main. Quand la somme des facteurs surpasse i3,

la somme des doigts leifés exprime le chiffre des dixaines ; et le produit

des doigts baissés donne le chiffre des unités du produit demandé. Ainsi ,

Jpoo^ multiplier 7 par 8, il suffît, après avoir Icv^ les dix doigts des deux

maios, de soustraire 7 et 8 de 10, ce qui donne les restes 3 et 2 j on abaisse

ensuite 3 doigts d'une main , et a doigts de l'autre ; la somme 5 des doives

levés, exprime le chiffre des dixaines du produit cherche j et le nombre 3 des

doigts baissés dans une main , multiplié par le nombre a des doigts baissés

dans l'antre main, donne 6 pour le chiffre des unités j de sorte que le pro'

doit de 7 par 8 est 5 dixaines et 6 unités , ou 56. On verrait de même qût

6 fois 6, valent a dixaines et 16 unités, ou 36.

Ponr démontrer cette règle ; soient n et n' les nombres proposés \ en lei feiraochant soccestircïaent de 10 , on obtient les restes ( 10 «—n } et ( 10 -^ n^) ,

SSS ^ .ÉLÉMEKS

<[ue nous déiigtterons {»ar b tt l/j ayant i«vc ks «lis doigts, on îihfctiinrp b doigts dan« une ma» , et ^ doigts danc l'aiiow : d«s«gaaBC fsx i ec / i» iiomfares des doigts qui veste&t kvés dans clifiqiic mmn , -on iiwa ôrîdf ayntac

tn en déâfiit* • • •

# R = 10 — ^ = a. 5 — 6 = a(ib-+-/)— ^ib = ^-»-ai/

«'= 10— ycx a.ôr^yoç 3>{i>'-4- ^7— />'= //-+. ar.

JSffeçnWit le produit de b^!ïl , ou n , par £/ + 3/' , on n', on trouveqi. . .

nn' = ib// •*- a < A ^ i ) / -♦- o < ^ -4. i' ) /.

Remplaçant ( J& 4- /> J^ i^ 4-/') > P^r 5u Jï '^ient- • • •

un' = 10 ( / -♦■ Z') -h bb' zzz^l-h If) dixaines -f- /^A' unités.

Cette formule alg^isjue ^^montre la règlie , £ir le ^jirpdnit nnf est compose de (/ + T) dizaines t% de ib^^ utiit^. Si les ùiCievr» n et n'étaient moindres ou^ 5 i alors (10 — it ) o.u^ , et ( 10 -^-nf) ou bf^ surpasseraient 5; on serait donc conduit à baissa plus'-de 5 doigts dans chaque main j'ce ^ii «st impossible. La règle n'est donc applicable qu*à dies facteurs plus grands que 5.

On trouve dans plusieurs ouvrages ^ que toa» Jc« |irpduits deux à deux des nombres dW seul cbilT», penTcntsc ^ofOMr 2^«B»oyen de la règle qne nous Tenons d'râiQiter. Cela est iw^j. , car »i rpX> Voulfût fojrmei le prodoit de 6 par.3| on serait conduit à baj^sçr 7 joig^Mans uçe main, ce qui ^ impraticaU^.

447. liOnqu'<xn €i4>m/t b «#( nymérti$êm d'vnç frflc$ipn , plf^ 9^ né^if

à^ i et lorsqt^on ajoute W à son dénominateur , ellà se réduit h £-•

On dfimModc qufiUi» 4sH ki fmçxioé ^ui joujit ^ a^ frvyiiété^^ 0«

jteur par sp et X h W^ J' ^ i>^ «If^HK i^azpcWMM: J^denjc .tei:w« df I4 faction 4ty«c la jeule jncAnQ^iw ^, Vokû .cpAMO^ni oa 7 p^pviom. ■Af'^j^^ jivpir ajouta b au nupiératcfir (]bs la Dçacûon «b«ctji«e^ .eJUi: dpit ^ x^mt

à J j donc, si on appelle x\e commun dWisetnr qui existeca alow entre ses deus tonnes , elle sera de la forme ^ ^ donc avant qu'on eût* ajoute 6 à son mmécmayàké^k ^^^5 ccttTjfr^ctJi^n Wi»fai> à 1^ Jfremàm 9^^ Mon dtt prpbtkow, car en ajoutant^ à sqû ii\un«raieur ^ elle dçvieni C^. et se réduit 2u^* En vertu de la seconde condition /si on ajonie ^ an AfeMuakiamy de h facww dwiwd^ T^^-^Ji <4)(i (bU^t tc^iûrt ^^l^l

D'il X a i B R E. iK?f|

OB JoU donc aroir. . ..

OS en oMott. . •

Ces deux termes de la fraction demandée satisfont à tontes les conditions

do prolbjème i car «n ajomapt If fiia nv|xiératear , il devient^ / '^L.J' y

Ce jrésiiltat , .^yisé par If d^Ofnipfklepr , donne - ^ la pren^^xip condition

est donc r^m|^e. Si on ajoute b' ap'dénominaiear, il devien^^ra q^ ( —^ — ^ J^

It BonaârÉUar ; divise par cette qnantît^, dooaera ponr quotient ^, comOD^ Tevge la seconde condition.

Si Fôn elEectnaît la dirision du nomàrateur de la fraction demandée , pat

ion .d^ominatenr. la fraction }^., — -^ > qui en résulterait, ne ^tisferait

ç{piy-!k-q'o) *

^bs wx covdidons du problème. De. sorte <^^in peut changer les pro^

priétéê d'i^ne fraction en supprimant un facteur commun à ses deux

termes, Ponr appliquer ces formules h un exemple , proposons-nous ^

r' trouver une fraction qui se réduise a - , lorsqu'on ajoute i h soiLnumé" :\ rateur f et à y^ lorsqu'on ajoute 4 à son dénominateur. On aura. . . .

b=zii p^ii 9==2j /»'=4j /^==i> ;^'=t4-

Sa iVû mbstîtae C9 Talew , dans les expressions générales des deux tomAs

de la fractton demandée , on trouvera que cette fraction est égale à ^r* Kl

' ta tÊ&t, lorsqu'on ajoute i à son numérateur, elle devient n ou -; el L o a

^onmi'on ajoute 4 ^ son dénominateur , elle devient — on -t' ^ . la 4

; JKxamen des circonstances particulières que peut offrir la solution des problèmes.

L 44^* I^^i^ les^questions précédentes , la valeur de V inconnue » fuie d'unfi équation^ a toujours satisfait au problème qui avait

■âio ' iî L i M È N *

fourni cette équation; mais cela n'a pas toujours lieu; quelque»^ fois la valeur de t inconnue , qui satisfait à une équation , n$ satisfait pas au problème. Pour sentir à quoi tient cette cir- <x>n8tancey. il faut observer qu*il existe .des problèmes, dm' lesquels l'inconnue doit satisfaire à certaines conditions particulières^ qui ne sont pas susceptibles â*être exprimées dans l'équation \ alors la valeur de l'inconnue , ne satisfaisant qu'aux conditions du problème exprimées par l'équation, peut ne pas : eatisfaire aux autres conditions. £n voici un exemple :

449*' ^^ c^^^ 'v^u^ distribuer une somme d^ argent auk pauvres de sa paroisse. S'il donnait ai^ à chaque pauvre ^ il hd resterait 7*; il lui manque 6^, pour donner ^ à chaqui pauvre» On propose de découvrir le nombre des pauvres ei làsomme d'argent. Désignons le nombre, des pauvres par x ; s 1^ curé donnait d^ à chaque pauvre^ les x pauvres reçeirraisRl çc fois afl" , ou ^x* ; mais il lui resterait 7^ ; le curé a donc? (207^ -)- 7*"). Pour donner 4*" à chacun des x pàu vires , il êuh drait 4^^ ; mais pour cela il manque 6^ au curé; le ciiré nt donc que (4a;*" — G^). Égalant les deux valeurs de la se; d'argent que le curé veut distribuer, on aura. . .

4^ — S=:2r + 7; d'où a:=i3:a.

Cette valeur de x satisfait à l'équation du problème, car. elle réduit chaque membre au même nombre iao ; et cepen* dant elle ne satisfait pas au problème , c^ le nombre pauvres, devant être nécessairement un nombre entier, ne peutj pas être ■—. Cette valeur fractionnaire que F on obtient pont r inconnue , indique donc ici V impossibilité de la questiod» Cela tient à ce ^e la nature du problème , impose à ImconiH la condition particulière d'être un nombre entier positif, que cette condition ne pouvant pas être exprimée dans Té tion, la valeur de l'inconnue n'est pas assiijétie à la remplir et par conséquent , cette valeur pouvait satisfaire à l'équation sans satisfaire au problème.

45o. Des problèmes dont les énoncés sont différons peuvm conduire à la même équation. Si l'on proposait de trouver i

d'algèbre. a^l

ttOfTiire dont le quadruple diminué de 6 , fût égal au double •itugmenté die 7. En désignant ce nombre par x^ on serait confit à l'équation du problème précédent ; comme elle exprime tontes les conditions du dernier énoncé , la valeur •— de x y satisfait^ car le quadruple de ^ , diminué de 6^ est 220, et le double de -^^ augihenté de 7^ est également âo.

45 1. On voit par cet exemple^ que si la nature d'une ques^

Ùon impose à t inconnue quelques conditions particulières , non

exprimées dans V équation ; alors la valeur de l'inconnue peut

ne pas satisfaire cm problème qui a fourni cette équation; mais

elle satisfcàt à toutes les questions qui conduiraient à la même

équation\ et dans lesquelles l'inconnue ne serait pas assujétie

à des conditions particulières , non exprimées dans l'équation,