RETRANCHÉE
463. Dans la question que nous venons de résoudre , oa n*avait pas besoin du secours des signes algébriques pour appercevoir le yice de l'énoncé ; car il est évident que loin â^a}outer ua nombre à 7, pour obtenir 5 , il faut au contraire en retranober s. Mais souvent la complication de dénoncé étunprohlème^ ne iaiste pas appercevoir s'il est vicieux. C'est alors que les signes -J-el — sont d'une grande utihté. On met le problème en équali0u;om résout cette équation. Si la vc^ur dé finconmie xale signe ^, elle donne la solution directe du problème ; si elle a le sign^-^f elle indique que t énoncé est yicieuXy en ce que kl qmmtité représentée par x , doit être prise dans une acception tout opr posée à celle qu'on lui avait attribuée. Ce nouvel avantage dei lignes -f- et -—sera mis en évidence dîna les probl^eâ auivans.
463. Dix aunes de drap à \y ont coûté 600*. Quelle doit être la DIMINUTION de prix d'une aune de drap de même qualité ^ i> P^^^ queS aunes de ce dernier drap ne coûtent que 4^^
lû ^.ujuts à -^ coûtant 600**"
X aiUM à ^ coûtera 60"^
I apne à « coûter^ 4o^
I aime à ^ coûtera i/jo^
Cela posé ^ désignons par x^ la diminution du prix de l'auBt
D' ▲ L G £ B fl E. S47
de drap à ^ ; après cette diminution , Taune ne coûtera que (i^o — :ï:)*~^ les 5 aunes ne coûteront donc que 5 fois (140 — a:)^ ou (420 — 3x)*; mais ce dernier prix doit être 480*. On doit donc avoir . . .
420 — 5x = 48o; d'où x= — 20.
Cette valeur négative de x y indique que Ténoncé est vicieux ; en ce que la quantité désignée par x , doit être pri^ dans une acception opposée à celle qu*on lui avait attribuée ; de sorte que le prix de Taune de drap à ^ , que nous supposions devoir diminuer j, doit au contraire augmenter de 20*. Pour s*en convaincre « il sufllt d'observer qu*une aune de drap â | coûtant 140^ ; si ce prix augmente de 20^^ l*âuae de drap à| coûtera 160*; 3 aunes de ce drap à 5 coûteront donc 480*, comme l'exige renoncé du problème. La valeur négative de x indique doQG qii# FiBeoBBue x , au Keu de fopréaeiKtev vae dimitn4ion , vepréeesto «ne augmenMitm. La quastion doit doBC sa poaer de la numàèf SHivaste :
4fi4' P^ aunes de drap à\y ont coûté Boo*. ÇueUe doit être f AUGMENTATION dé prix d*une aune de drap de même qwitHé à \^pour que 3 aunes do ce dernier drap^ coûtent 48o*- Cette ougment€Uiojt de prix étant désignée par x^ , on sera conduit À TéquatioB. . .
490 + 3br 2ZC 480 , qui doanef a om -f- so. L'augmantation de prix est donc ao^.
465. Si Ton compare les énoncés et tes solutions dee denx problèmes précédens^ on verra que le premier, dans lequel j; Teprésentait une dilninution, a fotirni Téquation . . . 4î40 — Sx = 480 , dont a tiré x = — 20. Cette v^levr négative ayant fait connaître le vice du premier énoncé , au lieu de supposer qi^ x représentait une diminution, ou a pris x dans une acception directement opposée; de sorte que disiQS. le second problème (n* 4^4) * ^ * représenté ui^e çugmenkifiîon ; eu vertu de ce cb^ngepajent ^ x a changé de signe dans la. seconde solution , car ^Ue a conduit à Téquatioa 4ap 4. Sk — 48q, qui ^ doofté x:=5 + ac\
Comme, ces remarques pourraient s'appliquer à tontes les ,' questions qui conduisent à des valeurs négatives de x; nous en déduirons cette règle générale.
4^6. Lorsqu'on a résolu une question , en supposant certaines manières d'être aux quantités > si [on veut résoudre k même question en prenant quelques quantités dans des sens opposes , il suffit de changer dans les résultats, les signes des quantités qui prennent des acceptions opposées à celles qu'elles as/aient dans la question primitive. Lorsque la valeur de tin" connue est affectée du signe — , cela indique que l'énoncé cb la question est vicieux , en ce que l'inconnue doit être prise dans une acception directement opposée à celle qu^on lui avait S attribuée. ■
àjSrj. ha valeur négative de Cinconnue indique quelquefois , l impossibilité absolue du problème. En voici un exemple. V» général interrogé sur le nombre des soldats de son armée, . répond: ce nombre est tel, que son triple diminué de looo^ est égal à son quadruple augmenté de âooo. Quel est le nombre des soldats ? Si a; désigne ce nombre , on sera conduit à Féquatidh. ••
5x — 1000 = 4^ -f- 2000 ; d'où x = — 3ooo.
D*après les remarques faites dans les questions précédentes; la valeur négative de x indique que le problème sera possil^e, si la quantité représentée par x peut être prise dans une acception opposée. Mais cela est impossible^ car .t, qui représente un nombre d*hommes^ est ess^tiellement positif ',i(i valeur négative de x, indique donc que le problème nest sus" ceptibie d^ aucune solution. Il n'en était pas de même dans les jproblèmes des n°* 4G0 et 463, parce que x désignant un nombre à ajouter et une diminution de prix , on pouvait prendre ces quantités dans une acceptidn opposée ; le nombre à ajouter devient un nombre à soustraire , et la diminution de prix de^ vient une augmentation. On pouvait d'ailleurs prévoir que le problème serait impossible, car le triple d'un nombre étant plus petit que son quadruple; ce triple^ diminué de Ijco^
d'algèbre. a4^
est a plus forte raison plus petit que son quadruple augmenté de aooo ; le nombre des soldats ne peut donc pas être tel ^ que son triple diminué de looo ,soit égal à son quadruple augmenté de âooo ; cette condition du problème ne peut donc pas être remplie ; le problème est donc absurde;
4^8. On voit , par ce qui précède , quil existe deux espèces de quantités; les unes susceptibles d'être prises dans des sens différens ; les autres^ qui ne peuvent l'être que dans un seuL D'après cela, quand on obtient une valeur négative de Tinconnue , si elle représente une quantité de la i ''* espèce , la question devient possible, en prenant la quantité représentée par Xy dans une acception opposée à celle qu*on lui avait attribuée ; ( les questions des n°' 4^0 et 4^5 , en offrent des exemples). Si Tinconnue représente au contraire une quantité de la seconde espèce , sa valeur négative indique Timpossibilité du problème. (La question du n" 4^7 ^^ offre un exemple.)
Si l'on réunit tout ce que nous avons dit sur les valeurs que peut prendre l'inconnue , on en déduira ce principe général : 1*. Lorsque toutes les conditions d'un problème sont exprimées dans une équation , la valeur positive de l'inconnue satisfait toujours au problème, a". Si la nature d'un problème impose à l'inconnue quelques conditions particulières , non exprimées ■ dans l'équation ; alors la valeur positive de l'inconnue peut ne pas convenir à la question ; elle rCy convient que dans le seul cas où elle satisfait aux conditions particulières qui lui sont imposées. Si l'inconnue est suscpptible d'être prise dans des sens opposés , sa valeur négative indique que le problème est possible , mais que V énonce est vicieux , en ce que l'inconnue doit être prise dans une acception opposée à celle qui lui était attribuée. 3^. Enfin , quand l'inconnue représente une quantité qui nest pas susceptible d'être prise dans des acceptions oppo^ sées ,sa vcdeur négative indique l'impossibilité absolue du pro" blême. Ces diverses propriétés résultent de ce que la valeur de t inconnue , tirée d'une équation , ne peut et ne doit satisfaire en général y qu'aux conditions du problème exprimccs par Cette équation.
46g. Nous avons résolu dans Y Introduction » pliisieurs pro» blêmes relatifs aux couriers; nous allons reprendre les ènonctf ' j de ces problèmes , et substituer des lettres aux nombres ; il en résultera des formules généralea, qui donneront les solutions de toutes les questions de la même espèce. Nous ferons voir en;suite comment ^ à l'aide des lettres et des signes ^ on peut com- .prendre dans une seule formule les solqtiona de toutes cet questioAS. Nous^ analyserons avec soin les circonstances particulières qui peuvent avoir Ueu; cela conduira à des expresâaas
de ta forme -, ^ ^ -, dans lesquelles p est un nombre. On a
vu (B. n®* fl46, ^47)» que la première expression est égs^çi séro ; que la seconde , qui surpasse tout^ quantité as^goaUè, est yifirUment grande , qu'on la désigne par lé signe 00 * qui fe prononce infiniment grand. Enfin » on reconnaîtra que le résultat | est indéterniiné (n° 474- 5*).
Nous démontrerons que lës conséquence tirées de Vescç^oen des formules, sont toujours d'accord Qveic celles qui se déduisent immédiatement de l'énoncé du problème / nous verrons que si dans V énoncé de lu question , une quçnûté prend une acception opposée â celle qu'elle avait » elle doit changer partout de signe ; et que réciproquement , si dans une formule une quantité change de signe, elle prend une acception opposée dans, l*énoncé de la question. Voici cett^. analyse ; elie Qiàrite toute l'attention des élèves.
47©. La question du n** i5i , généralisée, prend cette forme : WiefàJS eouriers , qui partent au même instxint , viennent (wt vers r autre; en une heure ^ le premier courier parcourt v' Ueues, et h second y" litfues, Vans Combien de temps ces eouriers se j'oindront-'ils , et quelles seront les distances des points de dé^ part au point de rencontre ? La distance entre les points dfi départ est d lieues. Si , dans les r^onneiqens du n*^ i5i ,. on remplace les nombres par les lettres qui )es représentent > on dii^ : en une heure, le i" courier parcourt v' lieue&» 6t lesecond, v" lieues*, mais ces eouriers viennent l'un vers Vautr^S
D'ALGÈBRE. sSl
ib se rapprochent donc en une heure y df (t/^v*) lieues. Pour jihis de clarté , nous disposearona ainsi le calcful . . .
Les couiiers se rapprochent. . .
de (i/ -f- v^ lieuQB en i heure ,
, ,. 1 heure
de X lieue en > / ^ ^^ »
- « i> • fi Vf T p • 1 hevire a. heures
de a fois i". ou rf", eu a fois 7-7-7 — =r, ou^ / .■■■ff>
Et Boui diroBs : puisse les couriers se rapprochent dé [u' 4* i^) lieues eu 1 h^ure ; pour se rapprocher de (i^+ v'^ litaes dirâéds par (/ + v'^) > <>u d*uue lieue^ il leur faudra
«né heure divisée par (t/ -f» 1/") , ou , ^ ; pour se rap-
Trocfaer de la distanee d Keues ^ qui les séparait à l'instant de
leur départ > il '«ur faudra donc d foi* /nq^-Fr » ou v,. ■ vy
^Ainsi ^ en désignant par A le nombre d^heures cherché , on
'.«lira. . .
d (P) — . • • . h'zsi V ■ ■ „ |. ou A/ 4* ^^^^ =^ ^•
€ette équation exprime la relation q^ doit exister entre les quantités h , v\ v", d-^ on en déduit. . . ,
Cet foffmulee'douueiit les Taleura de Vune queleonqvie dee Ipatre. quantités A » d > v', v'\ quand cm conn^ut les trois autres ; ne 9^ fouruit la solution de^ quatre problèaafa qui dérirent m U question actuelle ^ en y considérant succe wiyement comme Fmuofu^» chacune de« quantité» qui entrent dans Véaoncé. l l|#s distances dee peinte de départ au point de rencontr» f^yciias i obtenir, car les couriers parcourant ^ et v" lieuea heurçi feroQt en h heures , W et hv" lieues. I>éaignant \ Aetances par rf et <f liei^es > et subftituaut pour i ^ s^
valeur d: (/ -i-v"); c
Vôrifions l'exactitude d la rencontre, les couriers les etpaccs: parcotiitn, d' ci aux l'ittsses v', v" ; et le la distanci: d lieues , enîi d' et d" satisfont à ces i Je factnir commun d : 0 » df en le luOme que c.
Pour appliquer ref fo remns le* im>iicis de; r.
4*1. Lf pr.-bif=i karemsaff d' . d'
Vit»
fK
TÎère marche le plus vite. Nous supposerons dont ifùe tb rier est en arrière, et tjue sa vitesse V* est ptus gtùndè nfitesse V du i^ Courier ^ ce qu*on eftt convenu (f indiquer iP'" ^ %f' {*). C^la poM*) comme la question actudle «it du,n^ i54i généralisée , il suffira de répéter les mêmes raû semens , en remplaçant les cokiibrei p«r ks Icttraa qai représentent. On dira donc , puisijue if" est plus grand que
on a. • . .
v* = '/^V, on y^v» — «A.
Si les couriers marchaient également vite , ils resteraienl toujours à la même ^distance ; mais le s® courièr , 'qui est et arrière , fait par heure b^ lieues de phls que celui qui est avtmt; il 6*en rapproche doac de If lieues par heure ; «MÎ J les couriers se rapprochent. • .
de V lieiiëSy en i heure ,
j ,. /i héure\
«e t kene^.^i X"*!? — )*
de d lieues , en d fois »■■■ "4,» ■ ^ oh (p\ heuïes.
On toit tfônc que leë ùt>«riér« «è reppnnAent tnph
de la distance d lieues qui les séparait II se rencontrent donc
après avoir marché pendant p heures. Désignant par h^ lenoî
bre d'heures cherché , et mettant pour b^ sa valeur (v* — 1/),| on aura. . .
Pour obtenir les espaces parcourus en h heures par les riers, on dira : les couriers parcourent, en 1 heure, i/ et
<^) Le i^gkm > ^Usié èuttt <ku q[ua*titt8 , kidi^fiM ^'«Hes Mmt îi «t que la plat grand* est da c^ de la plus graodfe ouTartore. Ainsi , indiquer Finëgalitë , 3 pluf grand que a , on écrit 3 > 2. De même, 5<| est une inégalité ^i exprime ^iie 5 est plus petit que g.
1 fsnh kenreSj i/'h et v"h lieues. Désignant ces distances par dt txi' lieues ^ et substituant pour h sa valeur dl {y" — v^),
en trouvera . .
« i^'d ' sfd
o ^= II / ; o rr: -t 7.
Hr V — i/' ¥" — s/
t!«» valeurs de A > cf , «T sont ceHe& qui avaient été obtenue» âaiis le n* 47^y ^^ changeant les signeis des quantités ^\ êC ^ qui oint pris des acceptions opposées \ ce qui vérifie la propriitè des signes ^'^X *— (n^^^s)-
