Dans réquation;r* = - ^ les deux valeurs de x seront
rieDes lersque - sera posit^, car on pourra toujours trouver
g la racine exacte ou approchée de la quantité positive - ;
mais lorsque - 8~eta^négatif , comme une quantité positive ou négative , élevée au quarré , ne peut donner tm résultat né-f
,é(oo e l é m e n s
gatif , la valeur de jc, qui devrait satisfaire à cette coziditio&,
ne pourra pas exister. On dit alors que la valeur de x est
imaginaire. Ainsi , V^ — 4 ^^^ ^^^ expression imaginaire , car aucune quantité élevée au quarré ne peut .donner — 4*
L'équation a:*=: — 4>q^^oo°® x = ±l/— 4j ^* ^^^ absurde. On pourra cependant faire usage des imagimûres dans les calculs, pourvu que l'on se rappdle que d'après leur
origine , l'expression V^— ^ élevée au quarré, donne —-a.
702. L'emploi des imaginaires est de la plus grande udUtéf car on verra par la suite , que l'on ne peut quelquefois parvenir d des résultats réels , qu'en introduisant des imaginaires. Dans ce cas, les imaginaires disparaissent du dernier résultat. Par exemple , si là lettre à, représentant l'expression imaginaire
V^— 4* 1a solution d'un problème conduisait à l'équation a^zss'^a^l ce problème serait possible , car a=s^V"— 4* donne 0*= — 4>^ = "~'A*=^ + 4>^=>=^^*
703. Dans l'équation a;*= b , les valeurs de x étant fournies par l'extraction de U racine quarrée de la quantité connue i, ces valeurs de x se nomment les racines de l'équation a^= i. Pour abréger le discours, on a donné le même nom aux valeurs des inconnues qui satisfont à des équations quelconques. Ainsii les hypothèses x = 9 > x == 3 , réduisant x'-— 5x -(-* 6 à zéro, les nombres 12 et 3 sont les racinèi de l'équation x^—5x-f-6=30. Désormais, les valeurs des inconnues qui rendront les deux membres d'une équation identiques, seront les RACINES de cette équation.
704* Ces notions établies , occupons-nous de la résolution des équations complètes du second degré.
Toute équation du second degré à une seule inconnue , peut être ramenée à cette forme
(l) . . . . JT* -f- 3;7x — ^ S=S Oy
car les équations du secoad degré ne contenant que des termes
en X et en x^, combinés avec des quantités connues , si l'on fait
passer tous les termes dans le premier membre , le second
membre
D' A L G i B R e; 4ùl
. membre sera zéro ; désigoant par a la somme des termeAqui
multiplient x^, par b la somme des termes qui multiplient x ,
et par c la somme des termes tout connus , le résultat sera
de la forme ax*-j- bx 4- c=o. Divisant tous les termes par^à,
représentant - par ap, et - par — 9, on obtiendra Téqua-
tîon (1). Les lettres p et q , représentent des quantités quelconques, entières ou fractionnaires^ positives ou négatives. Par exemple^ la comparaison de Téquation x* — 5x + 6=0, avec l'équation (1), donnerait
ap=: — 55 — flfsGjd'oîipss — - et^sz — 6.
7o5. La marche fa plus naturelle à suivre , pour résoudre
l'équation (1), est de ramener cette équation au premier
d^ré ; cela serait facile , si le premier membre %tait un quarré,
car il suffirait d'en extraire la racine quarrée. Par exemple ,
^ a:*-f-a/>«+p*, étant le quarré de (x +p), réquatioa
(a). . . . jc« H- 2px+p» = q*j donne (x -+• »• = ç'j
on en déduit (n* 700)
On doitdonc chercher à ramener TéquatioâQi (^) i ^ la forme de l'équation (a). Pour j parvenir , il suffit de faire passer — q dans le second membre , et d'ajouter p* à chaque membre , car il en résulte
X* -hupx + ]f = q-hp» i d\ùh (x'hp)*ssq'^,^p*,
Extrayant la racine quarrée du premier membre y indiquant l'extraction de la racine quarrée du second membre^ et observant que la racine quarrée du second membre doit être pris» . en plus et eu moins (n** 700) ; on aura
X'hp='±Vq'h,P"i d'oïl x=:'^p±yg'hp» (*)•
, (♦) ^i l'cquation proposée était j^» — 8x -|- la = o; on aurait 2/> = — 8;*
p=— 4} — 9=i.I3id'oùV9 7^f'*=V^— "+»^=V4=:»î*=+4i:»»
aS
DéaignaDt cet deux Talenrt de x y par ai et x', on mm
' • ^3).... j/s-f^+V'FT?} x-'=-f^-VF+^.
Chacnne de ces iraleiira de x doit jcftiir de la propriété di rendre Téquation (i) identique; et en effets si dans cette équation on remplace x, par -^p-f"V^P*+ 9» oo aura
(»/>• — ap*) -h (fl' — H)-^ {^P'-^pWp* ■♦■ 7=o i ^o osfao.
Le coefficient de |/p* + 9 1 étant zéro y on voit que Téqua* tion (i) serait encore satisfaite si l'on changeait le signe dt
|/p» -f- f ; de sorte quelesyaleursdeo/ etdex', |oiiisseBtdeIa propriété de rendre Téquatîon (i) identique.
706. Cela démontre que toula équation du second degré a deux RACINES (n'' 7o3).
707. fia comparaison des équations (1) et (3) conduit à cette règle générale : Dans toute équation du àecomd degré ramenée à la forme x*-t*^P^"^^=o , C inconnue est égale à la moitié du coefficient du second terme pris avec un signe con-* traire , plus ou moins la racine quarrée , du dernier terme augmenté du quarté de la moitié du coefficient de x. Pour concevoir comment l'équation (i) peut admettre deux racines , il suilic d'observer que cette équation donne
Mais p* + 9 est le quarré de |//i* -+• q. On ar donc
(x -h /» )•— ^p« -h q)* = o. Or A» — 6« â=(tf-f.^)(a — ^). Donc
Le premier membre de l'équation (1 ) étant le produit de deux facteurs du premier degré Cx+p+ Vf^-rq)» (x+p— |/p*-fç);
^ Les deux racines de P^quation proposée scraiénC donc 4 "f* ^ on 6 et 4 — a ou a. Et en effet, Ici bypotkàsca « se 6, «ss^i rcdoMent le crinomt
on peut réduire le premier membre à zéro , en igalant ^iccessivemenc chaque faeteur à zéro ; ce qui conduit aux Faleura de X exprimées par les formules ^3). /
708. Chaque facteur étant' x moins une des racines , on voit que pour décomposer le pofynome du ^second 'degré x* -4- apx— q , en deux facteurs du premier degré , il suffit de chercher les racines de ce polynôme égalé à zéro } les facteurs seront égaux à x moins chaque racine: Ainsi ^ pour trouver lêâ facteurs du premier degré du polynôme x^ — 5x+6, on fera ac* — - 5x -f- 6 = o ; les racines de cette équation étant a €t 3 y le polynôme proposé est le produit de ( â; — ^ ) par Çx — 3). On peut le vérifier. Les racines de l'équation
a:* — âx + a^so, étant x = i + V^— i , x=3 i— V^r- i >
le polynôme x* — bx -f- ^ > est le produit de (x-f- 1 — V^— 1)
par (x — 1 + |/ — i).
709. Une équation du second degré ne peut jamais a/voir plus, de deux radnes. En effet ; si r désigne une racine d» l'équation (1)^ eu représentant par z , la quantité qu'il faut ajouter à r pour obtenir toutes ^es racines de Téquation (1) , on aura x =3 r -f- ^ > et chaque valeur de z donnera une valeur de X. .Cette valeur de x devant satisfaire à'^réquation (1) ^ on aura
(r -f- ») * 4» ap (r -f a) — 4if = o , d'où (r» -f a/^r — ^) -h « (« -h ar 4- a]p):;zo
Mais r étant racine de l'équation (1}^ r^ 'i^ apr^-^ q tst, z^éro. Oa a donc
(4). . . » X (« -^ ar -♦- a|>) = o et I* -♦• aprs^q.
Le produit de deux facteurs ne pouvant être nùl^ que lors^ qu'un des facteurs est zéro , les seules v^enrs de z qui sati»-* fassent à l'équation (4) , sont z = Oret z == -^ si'*-^ ap. Lei valeurs correspondantes de x sont '
j/ =s r et a:* = r — ' ar — ap «5 •*• (r -h ap).
Gaqai démontre le principe énoncé.
. 0^8 valeurs de x conduisent auiLtelations qui existent entre les co^fficienf et les racines -, car on en déduit
a/ X Jt^ = — r* — ^pr^si'-' q.
710. Ce qui prouve que dans toute équation du second degré, rcmwnée à la forme x*-f- apx — - q 3= o , /a somme des racines est égale au coefficient de la première puissance de x , pris en signe contraire , et le produit de ces racines esi égal au dernier terme. On déduirait les mêmes propriétés des formules (3) di n® 7o5 , car on trouverait
711.' Ces relations donnent le moyen de déterminer les signes des racines des équations du second degrés sans résoudre ces équations , carp et q pouvant avoir des signes quelconques , réquation du second degré est susceptible des quatre formes suivantes :
(5). . . x« -4- a|>jr — ^ = o; (6). . . ar« — a/Mc — ^ = oj (7). ..«••♦• apx -♦- ^ =r o j (8). . . x« -^ 2px -♦- q =ro ;
(p et qf désignant des nombres positifs). Cela posé; dans Téquation (5) , le produit des deux racines étant le nombre négatif — - 9 , les racines sont de signes contraires ', mais la somme de ces racines est égale à la quantité négative — ap ; }a racine négative est donc la plus grande. On verra de même , que dans l'équation (6) , les racines sont de signes contraires , et que la plus grande est positive. Dans Téquation (7) , le produit des deux racines étant positif, ces racines sont de même signe; mais la somme des racines est négative ^ ces deux racines sont donc négatives. Enfin , dans Téquation (8) , le produit des racines étant positif , les racines sont de même signe ; or la somme de ces racines est positive ; les deux racines sont donc positives. L'inspection des racines des équations (5), (6) , (7) ,
(S), conduirait aux mômes résultats, caries ràciiies dé ces égùa^ tiens, sont (n* 707) > '
(9)... *=— |>±\/Jï>T7; (10). : .x^-hp ±\/p^ -1-7;
(ii)...ar=s — ;i±V/p*—- </î (loi) , , . x. m -*■ p •±^p*'^q.
La racine quarréedcp* étatitp, la racine quarrée de (p*+9)
est plus grande que p , et V'p* — 7 est moindre que p. Ou en déduit les signes des racines déjà obtenu^. ...
71a. Le Radical ^/p* -f. q étant toujours réel, les racines de} équations (5) et t(6) , sont toujours réelles; ainsi toute équation du second degré doM le detnier terme est négatif ^ i( ses racines réelles. •'
Dans les équations (7) et (8) » quand p* est plus grand que q,les racines sont téeLles et inégales; lorsque p* = q^ /c^ racines sont réelles et égales , et le premier membre de chaque équation est le produit de deux facteurs égaux. Enfin , quand
p* est moindre que q , le. radical V/p'— -q devenant imaginaire C n^ 701 J , les racines- sont imagincdres} cela exprime que les équations sont alors impossibles ^ car les tfansformations qui conduisent aux valeurs de a: ,' -ne -pouvant pas altérer^ la valeur de a:, toutes les équations déduites dés équations (7) et (8) ^ doivent \ox^\v des mêmes^propriétés ; àtais \e% équations (1 1) et (la) , ne sont pas possibles ; les équations (7) et. (8^' doivent donc être également impossibles.. On peut d*aiUetivs mettre cette impossibilité en évidence , car q étant plus grand que p*, on a ç r^ p* -f" **, et 1^ désigné un nombre positif pl'u» grand que zéro. La substitution de cette valeur de q^ dans le» équations (7) et (8) , donnfr ^
jr« H- ^px'^^p» -4- A* sî'b «t jf» — apx -f-f^4- ^ — <>•
On peut écrire ces équations dcT la manière suivante ^
(jc •+• p)» *f- it« =i o ; (jt — p}« -♦- A» = o. ■
7i3. Ainsi, lorsque les racines des équations (7) e?(8)', sont imaginaires , ces équations expriment que la sommfi de deux quarrés est zéro^; ce qui est absiirde, puisque l'un de cesquarrés.
i(oS ]£ L é M E R* s
n'est pbs zéro. jtUeunesvakurs réelles dexne peuvent donesa^ tisfaire aux équations (j) et (8). Dans ce cas/fes fonuulea(ii) «t (la) sont des symboles algébriques , qui jouissent de ]a propriété de x andre les équations (7) et (8) identiques; mais ces symboles lie ^nt pas des quantités.
7i4- n est essentiel de remarquer la différence qui existe entre les quantités "incommensurables et les expressions imaginaires; les unes et les autres jouissent de la propriété de no pouToir être escrimées exactement en nombre* , mais cmpeut approcher d'aussi près que Ton veut des incommensnrabks; ,^n peut même les exprimer exactement par des lignes (n*663) , tandis qu'aucune quantité ne peut approcher des yalenrs des expressions imaginaires.
71 5. FkoBLiME. Mésoiidre l'équation (î) ., . ax*+lne+os9BO, sens di" uUer par à. En raifonnânt comme dans le tk^ 7o5 , on fera passe? e dans le second membre, ce qni donnera ^
(a). . . ax* -+• te =— e.
Le premier, membre («ar*4>te) peut être considM comme exprimant les deoz premiers lermep du qnanë d^ binôme ; -âx* est k qnarfë dn prt-
' mier terme de ce binôme; ce prêter terme est doDc\/âx%oa jr|/<i; mais hx est le donUe dn premier terme multiplia par le second. Dirisaat
donc hx, par ^xya, I9 ^otient ->-, sera le second terme do binôme. Ajoutant donc & cba^e membre le quatre dé ce second terme, iV^patton (3) défi^dra
. Le premier membre sera le qnarrë dn binôme « V^a*4^ i^ ; cstraysat dont la racine quarree d« cba^pe membre» on troBTera
Dî^signant ces^ deny racines par x' tl x", on aura
aa aa
^i6. Lorsque h^-^^ac sera positifs Us deux racines seront réelles et inégales ; lorsque b* »- 4ac sera zéro , les deux racines seront égales et réelles; ehfin, lorsque b* — 4*^ sera négatif, les deux racines seront inégales et imaginaires, La réciproque est vraie*
717. Dans cette analyse des racines, nous ayons suppose /|ue réqna->^ tion (i) «tait du second degré', de sorte que a nVtait pas téro. MaisPhy-
pothèse a =: o y réduisant Te'qnation (i) à bx^ = 67 ce qui doms ir=s —9
Ja genëralkë dos formdes algébriques exige que dans cette hypothèse l'une
des racines x% x", se rëdnise 2i — r* Or. . .
«sso, donne x' = - et xf=: ^
La seconde racine ne peut pas se re'dnire à — - -^ » car — t> est infini \ la
valeur de af^ qui se pr^ente sous la forme - , doit donc se réduire ^i •— r*'
Et en effet; si Ton substitue pour V^6* -^ 4^e , sa Takur donnée par hi formule du n» 696, on trouTcra, toutes rédnctioiis faite*,
^- e ae* aa*i'
Supposant a i= o , la râleur de d^ se r^nit efecthremient ^ — t D'
Aéciproqneraent, lorsque a, b, e, èekt des quantités finies j pour qvm^ tune des racines x', z\ cfe rétgfiiatxoit ax* -f-hs-f-cssa, piMMe devenir infinie ^ il fitut évidemmeài que a sait zéro
718. En gênerai: pour exprimer que Us racines dè^ V équation À
ax>-f-bx-H:=o, sont réelles et égales , il suffit dé poêér b^-Hfac=o $ et pour exprimer que l'une des mciiteè «tf Une quantité finU et que VatAr^ racine est infiniment grande^ il faut égaUr le çoefficieiH deX* a zéro ;
Vune des racines se réduit à-^r et /^fHs est, infinie. Ces propriété»
serviront dans,lV/pp/fea<ioit de Valgèbre à ln^ géométrie^ . •
719. Problème. Décomposer ax*-f-bx-f-c , e/i deux facteurs du premier degré. La règle du n9 708 suppose qne le coefficient du premier terme
est Tunité; on mettra dpnc le polynôme son» la forme a f**"*^!'"*"^!^
{*) On Toit donc qu'uiie ejr;»reMÎbii , qui se réduit à-^ en MrtunéPunm seuU hypothèse, peut avoir une vaUùr'déUrminéÈ'* '
4oS i t •£ ut'Tiê
'''ha Cherchant les factèms de ar» •+• - x-+- -> on tronrerf (no« ^oSct *}iS)
. Mnhipliant les deux membre» para, on anra
Si Ton Tonlait troorer deux facteurs dont ]et premiers termes fassent les marnes, on multiplierait le premier membre de Pidentite' (i), par
a, et chaque facteur du second membre par ^a^ oe qui donnerait
Lorsque b'-^-^ac e^fa^rb, les deux facteurs softt égaux, et az*+bx+c est le quatre de (xV'^a-i- — 7:=)* Pour démontrer la réciproque,
on résoudra le problème suivant ;
720. Déterminer la relation qui .doit exister .entre a, b, c, pour que ax^ + bx-f'C aoit un quarré. Si le trinôme ajr>-4-&x4-c, est un quarré y sa racine Sera nn^ hioomej ax* sera le quarré du pre»
mjer terme ; ce premier ternie sera donc... x \/a\ mais bx doit être
le produit du double du premier terme de Ja racine par le second;
bx b
le second terme de cette racine ^t donc ^ ou — ^ ; le quarré de
\^xva ^ya ce -deuxième terme devant étire éeal à c, la relation demandée esc
^^ r-A=Y = c ; dW h* — iflc =s o. ' Et en effet, qnand^ cette conditiott^ remplie, tfx*-4- 5jr-^ e, est le quarré de... (x ya 4* ' j /—r
721. Ditfiser le nombre connu a, en' deux parties , telles que le rap^ port de leurs quàrrês sàH^égàl fà m*^ Si Tuoe des parties est a-*X) 1 Tautresera Xy et l'on aura - - -- . •
On pourrait résoudre cette équation par la méthode générale du n^ 707 , -mais, on abrégera les calculs en prenant la racine quarrée de chaque membre ; car il ep résultera (n** 7001^
û — a:.,, * a db ma
— sïi ^ m: d'où x = -r^r — et a — j: = -— r — •
Les signes snpf^rienrs se correspondent ainsi que leff signitiQf<érteun.'l)« ' sorte que le problènoe admet ces deux 'solutions*. .
ir« Solution. i^« partie S3 ; a» parties:
î-4-m' * i-hi»
a« oolûtion. i*^« partiels ; !• partie=— —
Il est facile de vérifier. qa% ces parties satisfont à tontes l«s conditions dit ))roblèmo , car dans chaque solution , la somme des deux parties se réduit ^ ~h a , et le qnarré de la première partie y divise par le qùarre'de la â«cori<)e , donne m» pour qnotient.
Lorsque m est égal à Tunitë, la première solution, donnera popr la valeur de cWque partie , ce qni satisfait évidemment au problème. Mais la «econde solution conduit à des valeurs infinies. Pour interpre'ter ce r^ultat, tta remarquer» que dans ThypOthèse actuelle-, Pëqnation (i)' donne -
a* — a«jr -h Jt» m, x , \ o, /"a "\
— - — = , ; d'oj. w... ; (ï - »; = <••
On satisfait à cette équation en posant a =r o , d'où jm: \a ; ce qufe
conduit à la première solution. En mettant pour. jt des nombres plus grands ou plus petits que |a, on ne satisfera jamaisà Téqoation (a), mais cepen-
dant plus x sera grand, plus— sera- petit: de sort^ qu'en mppoiàiit «
infihi , - sera nnl. La vfdenf infinie de x, satisfait donc à l'équation (a) ,
dans ce sens qu'en mettant pour x un nombre pins grand ou plus petit que \a. Terreur .est d'autant moindre que le nombre substitué' est plus grand. . . . ! .
73!2. Quelques négocians établissent un facteur a Bordeaux» Chacurtr d'eux, contribue pour dix fois autant tTécus qu'ils sont d'associés, Lm profit du facteur est fixé h deux fois autant d'écus, pour IQO, écus, qu'il jr a d'associés; et la centième partie de son gain multipliée par •f-j donne un produit qui contient autant d'écus qu'^l y a d'associés* On demande combien il y a d'associés. Si le nombre des associés est or ; cbacun d'eux contribue pour dix fois autant d'écus qu'il y a d'associés ^ c''cst-h-dire pour ioj: écus. La mise loor écus de chaque associé, multipliée par le nombre j: des associa ^ donne ioj:* écnt,pour la mise totale. Or^ 6ur loo écus de mise, le facteur gagne %x écus; le gain relatif à un écit
de mise est donc écus: le eain relatif à la mise totale lox* écus , est donc
^^ X lOo:' OU -^ écus. Si l'on multiplie la centième partie de ce gain , par — , le produit —« écus, datt contenir autattt d'écus qu'il y a d'associés,
4iO i L é II E N 5
^*^l- à-dite X écas. Oa a donc
-^ = a:; ou ±'=:aa5aî; on af"=aî5.
Cette, équation doone x=-f- 15 et x=Z'— i5. La seconde ralcnr de x ne conTÎent pat à la question actuelle , car le nombre des associés ne peut étrt négatif^ la première résout le proUime^ elle indique qu'i/ y avait i5 asso* eiéê. Ce nombre satisfait li tbutes les conditions^ EneflEet; s'il.j a i5 associés, chacun d'eux mettra lo fois x5 éeus, ou i5o écus; I9 mise totale sera donc i5 fois i5o écùs , ou aoSo écus. Mais le profit du facteur est fixé à deux fois autant d'écus par xoo écus qnll j a d'associés , c'est-àdire à 3o écus par 100 écus , ou à 3 écus pour 10 écus. Le gain du £bo teur sur la mise totale'aaSo éous", sera donc aa5 fdc3 écus» ou 67$ écdi.
La centième partie de ce gain total, multipliée par.*^, donnerais écus. Ce
produit contient autant d'écus qu'il y a d'associés. Ce qui s'accorde arec l'énoncé du problème.
7a3. ZIeusr ûuurier», employés h différem prix , furent payés après wt certain temps» Le premier requt gG^; et le second , gui avait travaillé iix jours de moins que le premier y reçut 54^. Si le second etU travaillé six jours de plus et le premier six jours de moins , ils eussent requ ehacim la même somme. On demande le nombre 4^ journées dé trof» veil de chaque ouvrier ^ et le prix de la journée de chacun. En repré* tentant par x le nombre des jours pendant lesquels le premier ouTrier a traTailléy le second, qui a travadllé six jours de moins, n'a travaillé qnc pendant (x*-6) jours. Mais le premier a reçu 916^ pour ses x jours de
travail ; il gagnait ddnc '^-— par jour. Le second a reçu 54'^ pour (x — 6)
jours de travail ; il gagnait donc -^m par jour. Si le second outrier, qui a travaillé (x— -6) jours, eût travaillé six jours de plus, il eût travaillé x jours, et comme il gagne ^ a par jour, il eut reçu x foi» ■ J__ g > 00
— *j— g; et si le premie* ouvrier , qui gagne ^— par jour, eût travaillé siï
jours de moins, c'est-à-dire (x— 6} jours, il eût gagné (x — 6) fois* — »
pu sui L.. Mab dans cette hjpètbèse, les gains de chaque onvritr
eussent été les mêmes; donc...
54x aliiLZllL
D* A L G Â B R E. 4lX
La forme de cette c^^'*^'^'^ condait à nue soliuion aftses ël^anteC En effet 5 on en déduit succesaivement
(* — 6)> 54 ■" 9 * X — 6 "^ ^ 3' ar et x-^G, exprimant des nombres de jonniëes, sont essentielfement po» •itifs^ on nè^doit donc prendre €ja% le signe H- î donc
Le premier ùuuriêr a d&nc travaillé a4 jonn et le seoond 18 jours. Ces nombres satisfont à tontes les conditions dn problème. En effet ; le premier ouvrier a reçu gO^ poar 34 jours ; il gagnait donc 4^ par jour ; le second a reçu 54^ pour t8 jonrs, il gagnait donc 3''^ par jour. Si !• isecond eût travaillé six )onrs de pins, il eût travailk^ 94 V^^î >' ^ donc reçu 73'^ pour les a4 )00it de trarail. Le premier qui eut CraTaîllé six jours de moins , n'eût travaillé que 18 jours ^ mais il gagne 4^ P*^ îour ; il eût donc reçu 73"^, comme son camarade.
7a4« Un pa rticulier doit 7300^ payahleêdans un an et 'j^ùo'^ payables dont deux ans, H s'acquitte afee i Ëooelff'argent comptant» On demande le taux de l'argent. On a égardauxintérétsdes intérêts. Désignant par j^ l'intéilt an-
nuel de xoo^; l'intérêt annuel de 1^ sei« — j donc il^ comptant vandra , après
V • ^r* (îooH-arVfr . , (loo-K*)"
nn an, i*- -f- , on ^ «et après deux ans ■
livres ( n* 64)* Ponr abréger les calculs, nous ferons
lAO-f* *
^ De sorte que l'ff' argent comptant vaudra , tif' après im an, et a^i^ X s •près deux ans. Cela posé : *
zit" payables dans i an valent comptant jif",
lit payable dans i «a vant comptant — p
Les 7300^ payables dans t mn voient comptant ' ■ ■.
(z^y/f" payables dans a ans valent comptant 1^»
1^ payable dans a ans vaut comptant — ;p,
Les 7300''^^ payables dans- a ans valent comptant, « ^ .
Mais on acquitte cette dette totale avec xioog*^ argent comptant. On n donc
^ -«• -jr- = "000. Ou «» —gs — gzra
=s s ; d'où X =r 100 (s — i). . I
4itk E L E M E V S
La natiirt de la ^pcttioa , ettgtant ^e z toit posidf , oa ne calcnbit
qoe la ràcme poiiliyc de cette dernière équation ^ ce qui donnera 2 = 3
et jrssao. L'ar^nt était'jdonc à ao pour zoo' par an. En effet ^ à 30 pour 100 par an; les 79oe'^, payables dans un an, valent 6000*^1^ argent comptant, et les 7200'^ payahleB dans deux ans valent 5ooo^ compunt (no65). Ces deux dettes représentent dope une dette totale de 110001'' argent comptant.
7â5. Trois ivrognes , buvant ensemble, vidèrent un tonnecat de vin en six heures. S*ils eussent bu séparément , le second eût vidé le tonneau dans les trois quarts du temps qu'eût employé le premier ;. et le troisième eût mis cinq heures de plus que le second. On demande combien il eût fallu de temps à ehcu/ue ivrognepour boire tout le'vin contenu dans le tonneau. D'après cet énoncé ; si le premier ivrogne vide le tonneau en ^x heures , le secqnd le videra en 3a? heures , et le troisième en ( Sx + 5 ) heures. Désignant la capacité du tonneau par p pintes; on voit qtt*en une heure , le premier ivrogne boit
-^ pintes^ le second ^ pintes , et le troisième „ xk. pî°tes. Donc à eux trois , ils boivent en une heure , {^ + ^ "^ îT^?)
pmtes. En six heures , ils boivent donc 6f ois f -^ + ^ "tr g ^r \
pintes. Màb en six heures ^ ils doivent boire les p pintes contenues dans le tonneau. Donc
Cette équation donne a;=5etx=:-W3|. La seconde valeur n est pas admissible , car .un temps ne peut être négatif. On ne doit donc prendre que la valeur positi^ve de x \ elle exprime que le premier ivrogne viderait le tonneau en 20 heures; le. second viderait donc le tonneau en 1 5 heures , et le troisième en ao heures. Il est facile de s'assurer que les trois ivro^es buvant ensemble, vident le tonneau en six heures ^ car en une heure , le premier ivrogn»iboit le ao* du tonneau, le second en boit le i5*, et le troisième en boit le ao* ; donc à
D* A t G vè B R £. 4l3
eux trois ^ ils boivent en une heurte ^ une portion du tonneau * exprimée par ,70 + 75 + ^ o^^'iî donô en six heures , ilà boivent la totalité du tonneau. La solution est indépendante de la quantité de vin contenue dans le tonneau \ car la capa* cité p pintes du tonneau , a disparu de Téquation qui escrime les conditions du problème.' * '*
Nous terminerons Paùaljse dU second dêgré^ en résolvant des problèmes à plusieurs inconnues ^ qui conduisent à des équations du second degré à, une seule inconnue,
726. La somme de deux nombres est sp ; leur produit -est t[. On demande quels sont ces nombres. Si x %ty désignent les nombres inconnus ^ on auta
égalant les valeurs de y I on trouvera
De sorte que Vun des nombres chercKës étant p -}- V' p^ — ^ q ,\ l'autre nombre est p — v p* — q. La somme de ces deux nombres est efFectivement sp , et leur produit • • • •
( P + V^P* : — 9 ) (P"" r P* — 9 ) > ®® réduit à 4- ç i comme •.
l'exige renoncé, . . ,
737. Remarque. Quand les valears de x et de y sont imaginaires -y le problème • est absurde ( n* 7 1 22 ) . Pour voir ' a quoi tient cette absurdité , on remarquera que la somme des nombres x et y étant 2p > on peut supposer
[«rri^-H^ etjrssj» — *j d'oil xy =: p» — . «» = ^.
£r« procLuit q ç2e5 deuo; nombres njet y , ne peut donc jamais surpasser le quarré "p^^de la demirsomme des nombres x et y. Mais, lorsque x et^ sont imaginaires, p* — q est négatif; q est donc plus graad que/i*; ce qui est contraire 'à la nature
.^t6 ÉLÉMENT.
Vider le tonneau 8*ib buvaient eniiemble » on dira : phi5c(h*és
une heure , Bacchas et Sylène boivent ^ pintes et ^ pintes , *|
. -^ . I ils boivent enseinblè èni iino heure , f^, + ^ J {kintes , ou '
p f y j pintes i\ ils boiront donc ensemble p pintes eo u^ heures; Bncchus et Sylène buvant ensemble ^ videraient donc le tonneau ^^ ti I heures.
» "^ViT^' . .. •
Enfin y si les ivrognes eussent vidé ensemble lé tonneau ,
Bacchus , qui boit en une heure ^ pintes^ eût bu pendant les
• r heures, ^ Y ' foi» - pintes , ou v ^ pintes: i* qy-f-x 5y+a: x ^ ' ^+^
Ainu , Bacchûs et Sylène buvant. successivement , vidètoût te tonneau enSy *-^ — — heures. Sacchus et Sylène. buvant
ensemble ^ videraient le tonneau en ^ J^ heures , et Bçcchus
boirait , v^ pintes. Bacchus a laissé Tp ^ j pintes à
Sylène. Ces quatre quantités , substituées dans l'expression des I deux conditions du problème , donnent '
(8y,^ -S- ) heures — &^ heures == 1 ^^ heures.
• Divisant les deux membres de la première équation par l'unité d'heure ,, et ceux de la secondé par p pintes , chassant les dénominateurs , et passant tous les termes dans le premier
membre , on trouvera
(La capacité p pintes du tonneau ayant disparu ,■ ceb indique que les valeurs de x et y en sont indépendantes )•
La résolution de ces deux équations serait assez compliquée! ai Ton voulait obtenir toutes les valeurs des inconnues; mais, la nature de la question exigeant que x ety soient positifs ^ on rejettera les valeurs négatives de x et jf ; ce qui con-^ duira au calcul suivant. L'équatiiQn (9) résolue par ragport ày^ donnera
La substitution de cette valeur de^ dans l'équation (1) , donnera x = i5 ; d*où jr=:aêt5y=io. Ainsi ^ Bacchus buvant^ seul y eût vidé le tonneau en i5 heures y et Sy Une en 10 heures • Il est facile de reconn^tre que ces nombres satisfont à toutes les conditions du problème. En effet ; fiacchus boit pendant les f du temps employé par Sylèné pour vider le tonneau ) c'est-à-dire pendant les | de 10 heures^ ou 6 neures. Or en une heure Bacclius boit j^ du tonneau ; en 6 heures^ il boira donc les -^^du tonneau ; il laisse donc à Sylène les -^ du ton-- Deàu; mais celui-ci vid« Ia tonneau en 10 heures; il boira donc les -^ du tonneau dans les 7^ de 10 heures, ou en S heures. De sorte que Bacchus et Sylène buvant successive^ ment ^ ont ^idé le tonneau en la heures* Cherchons maintenant en combien de temps ils le videraient ensemble. En une heure , Bacchus boit ^ du tonneau , et Sylène -^^ ce qui fait en tout \ du tonneau ; ils boiront donc ensemble le tonneau en 6 heures. Mais ils ont mis la heures à le vider successivement ; cela fait six heures de plus , coinme l'exige la pre-, mière condition. Passons à la seconde ; Bacchus et Sylène buvant ensemble-, videraient le tonneau en six heures; mais le premier boit par heure -^ du tonneau; en 6 heures il boira donc les -^ du tonneau ; c'est en eSfet les | des -^ du tonneau qu'il avait laissés à Sylène \ la seconde condition est donc aussi
4l8 • ÉLÉMKNS
remplie>Le9 valeurs de x et jr satisfont dôlid i Muteéles cdn^ 'étions du problème. *•
73o . Nous terminerons ce premier volumei^n déinontrant qu'un produit ne change pas de valeur , lorsqvféh change P ordre des facteurs. Ce principe a été démontré quand les facteurs sont des nombres entiers ( A. 5* n® Z\j)\ il s'agit de prouver que la même propriété subsiste pour les facteurs fractionnaires et incommensurables.
1^, Lorsque les facteurs sont des frattions , le ^produit rie change pas, dans quelque ordre qu*on effectue les multipUca* lions, car, on est toujours conduit à diviser le produit des numérateurs des fractions proposées , par le produit des dénominateurs , et ces deux derniers produits ne changent pas dam quelque ordr^ qu'on effectué les' multiplications. Lepriticipt est donc démontré pour des facteurs commensurables,
â*. Le produit d'un nombre quelconque de. facteurs incon^ mensurables , a, b , c « etc. , ne changé pas dans quelque ordre qu*on effectue les multiplications. En effet; il existe toujours dei quantités commensurables, a^, V, c', etc. , qui approchent autant que Ton veut des vâlenf*» des quantités Jn^mmensurableii a,b , Cf etc. Fesantdonc
a=a'-f-«r5 ^ = 5'4-^'j c = ef-fir'?j etc.,
^> i^9 i^i etc. 9 seront des quantités incommensurables, qutf* l'on pourra supposer aussi petites que l'on voudra, et Ton sera le maître de prendre ces quantités avec le signe + ou avec le signe — . \ ^
Les produits ab , ba , sont égaux \ car si cela n'était pas ^ on aurait
Effectuant les multiplications , et observant que alV z=zb'a\ on aurait
Les quantités ^ , y, pouvant devenir aussi petites que Ton veut , il serait toujours possible de rendre le premier membre de l'équation (d) plus petit que le second; l'équation (i) us
peut donc- pas' subsister, quand r n'est pas nul; lés produits ab , ba, sont donc égaux. La même démonstration s'applique fà^n nombre quelconque de facteurs , en observant que le produit des facteurs commensurables a'^ b\ c\ etc. ^ ne cbange pas dans quelque ordre qu'on effectue les multiplications.. •
Note sur le n* 079.
La rëéiproqae du principe da nP 279 est fatisse ; lonqt^après apoir effectué les mêmes opérations' sur deux quantités ^ les résulta^ S0nt égaux ; on ne doit pas en conclure que ces deux quantités sont .égales. Par exemple, en élevant au quarré les quantités inégales -f-,3|. et *-*>3yleft résultais sont égaux. Cette remarque .est de la plus grande importance. .
Note sur le nf ^Sfl- .
On distingue deux sortes d'équations ; les équations numéritpieSy et les équations littérales* Les équations numériques sont celles dutis lesquelles les coefficiens des inconnues spnt des nomhres ;.et.,Pon;dit qiûune équation est littérale ^ lorsque les coefficiens des inconnues eonr tiennent des lettres. Ainsi, 5x4*7jr=:ia, est nne équation numérique, et ajr-f«6jr = c, est une équation littérale,
' ' Note, sur leh^ 4^6.
Les valeurs des inconnues qui satisfont à des équations , se nomment les RACINES de ces équations ( n* 708 X Une identité a donc une^infihité de racines arbitraires.
Note sur les n^^ pgS, 69S, Gqj.
Les principes de* n<" 698^ 696 c« ,69(7 , ne conviennent qu^a des pofy^ nomes de la forme a-|-b-f^c-f' etc. Lorsque plusieurs teroies' d'iid pbijpr nome contiennent la même lettre , les réductions qui s'effectuent sont teAetL, que le nombre des termes du quarré ^eut diminuer. Far exemple, le quarrtf du trinôme a + fc-f-c est fl»-|-^*H«c«-f»a«^H«aac-f-a(&c, tandis que 1« quarré du trinôme i-|-ax — ax^, est le quatrinome i -f-4^-^^3^^jp4. En général, le quarré du polynôme a+bx-Hcx* + . . . -f-Kx"-» , contient am — • I termes , car ce quarré est de la forme ^-f- J?x-f- Cr* -f». .-f*-^*'*"* jmais lorsqu'on donne des valeurs numériques aux coefBciens a, b, Cy etc. y plusieurs termes peuvent disparaître ^ de sorte que le quarré peut contenir un nombre quelconque de termes. D'après cette remarque on trouver» fpe la racine quarrée de 4**"-'ï3ix'-f-i3j:* — 6x-f-i,^est ax'— Sar-f-i,
FIN DU PREMIER TOtUMÉ.
tâltm
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Pautês essentielles à corriger gavant la lecture decekowTag**
IVigci
Tr
JOCVÎll
Lig^jM.
Q en rem* 3 €n ran.
idet noies.
Ji£iirem.l«n
Faates.
Sfi9 fidem.
3 en rem.
I7ea4^*
91 en desc.
6j a* case
' du tab.
96«iideic.
Sen rem.
3 en desc.
ii^en rem.
a en desc 9 en rem* même lig.
5 en rem.
4 en rem.
xt en desc.
1 1 en rem*
irt
7 en rem, 9 en rem.
i^«ende8c.
pamten I595.^* lo^rtliinMS en fftj6....
parut en x579»
logarithmes, en 1695.
len i75i.
le 8* de 8^ . . *,< •
paysanne;
ou X. > . .^
XSS.
(376c*— i8c') a* 4 en rem^'sabstituez celle-ci
( est égal au QUARRÉ du terme mojrenj) propriété , etc.
▼alenr dex.. *•.' de la formule. ..
^elie rangée...
Gontctioni.
le 8* de 3.
paysannes.
ou —X.
Ix es « r.
tSnbc'-h 18c») tf«.
e5t e^a/ au QUAaat du terme moyen; ( propriété , etc.
▼alenr enti^ de x.
des formula:
te
lelles rangées.
itez trois
■ I iXi
(^) Cet fiiu^s ne te soot glissée» ^e dans ^elqoti exfmplairca,
