Le quarré é£uh trinôme contient donc six termes
694. Lorsque p, q ,r, exprimant des monômes quelconques, la racine et le quarré seront ordonnés par rapport aux puis* eances décroissantes d'une même lettre a , contenue dans ces monômes ; les exposans de a dans p , q t t, diminuercHit^p* sera donc le terme du quarré qui contiendra le plus fort expo^ eant de a , et apç sera celui des autres termes du quarré qnt contiendra le plus fort exposant de a. Par conséquent ; lorsque la racine et le quarré sont ordonnés ; le premier temte du quarré est le quarré du premier terme de la racûÉfV et le second terme du quarré est le double du premier terme de la racine.
D*A L G È B R E. ^ 8gy
multiplié par le second» La racine qiutrrée du preiïlit^ terme du quarré, sera donc le premier terme p de la racine; et en divisant le second terme di^quarré., par le double du premier terme de la racine ^ le quotient sera le second terme q de la racine. Connaissant les deux premiers termes p et q de la m*cine , si l'on retranche le quarré de ( p-(-q) ^ du polynôme proposé , le RESTE sera apr -f- aqr-f- r*; dans ce reste , le terme affecté du plus fort exposant de ^, sera âpr ; divisant donc le premier terme spr du reste » par le double ap du premiet terme de la racine; le quotient r ^ sera le troisième terme de la racine; (goûtant ce troisième terme au double de la somme des deux premiers termes de la racine , et multipliant le résultat ( ap + aq -{- r ) par r, le produit apr + aqr ■+- r*, retranché du dernier reste , devra donner zéro. Selon que cette condition sera ou ne sera pas remplie , le polynôme proposé sera ou ne sera pas le quarré dun trinôme. Ainsi ^ pour extraire la racin» du polynôme
on ordonnera ce pblynome par rapport aux puissances décroissantes de a ^ et Ton disposera le calcul comme il suit :
— 4gfi^» I (4aîè4-+.7a-ô*)
i«r reste. .a8a<^7-Hi9<i466^i2a^6^H-4aa*6SH-964
»• reste .-+-iaa^^^+4î"«"^*-i-9**
3« reiie o
(4aî6H-i4a»i3+36«)
La racine quarrée du premier terme /l^b^ du quarré^ a T^ \ donné le premier terme ao^M de la racine cherchée. Le po- « >%• f lynome proposé ^ diminué da quarré de aa^M, a donné le ,
premier reste. Le premier terme aMf^i^ de ce reste > étant le
second terme du polynôme proposé ^ on a divisé aSo^fr^, par le double J^H^ du premier terme de la racid»; cefloi a douii la second terme 7af&' de cett» racim. A|9a4ii^ ^ ^wiièiM
S98 ÉLEMENS
tmna^lll^ double é^b^ du premier terme ^de U racine , tt moItipUant la somme par ja^V^ le produit ionstrait du pnmier reste, a donné le second rsrte. Or on a succesdTement retranché du polynôme proposé » les trois parties qui composent le quarré des deux premiers termes de la racine ; le seccni reste , qui est résulté de cette opération , est donc la quantité représentée par fàpr+ùqr + r^\ c*est-i-dire » le double de la somme des deux premiers termes de la racine multiplié pir le troisième terme g plus le quarré du troisième terme. Le premier terme i2a^b^ du second reste ^ divisé par le double dn premier terme de la racine , a donné le troisième terme 3S^ de la racine. Ajoutant ce dernier terme , an double de la somme des deux premiers termes de la racine , multipliant le résultat 4(^b^ + iJ^V -|- 36*, par Zb?, et retranchant le produit du second reste ^ on a trouvé zéro pour troisième teste i ce qui indique que aa^b^ -f- ja^b^ -|* ^^ ^^ ^ racine exacte du polynôme proposé. On peut le vérifier en formant le qnarri de ce trinôme.
6g5. Il est facile d'étendre ce procédé à la recherche de la racine quarrëe éPun polynôme quelconque. On voit que Textraction de la racine quarrée des polynômes , est entièrement semblable .à celle qui a été indiquée pour «les nombres; la recherche des diiFérens termes de la racine d'un polynôme , correspond à la recherche des dilTérens chiffres de la racine d'un nombre.
Mf^A^* 6g6. Le qnarrë d'an monôme n'ajant qu*an seal terme, et les q[aarréi
^^ A > «les polynômes de a, 3, 4» ^f ^^^-i termes, contenants, 6, lo, i5, etc*,
, ''*v termes; on Toit que les polynômes composés de a, 4» ^> 7> ^f 9> "»
'f ^4M^ek ' '^' '^' '4» ^^^' * termes, ne sont pas des quarrés. De sorte qae Pextrac-
^ 'j^i *io^ ^^ 'a racine quarree de ces polynômes , se prolonge indéfiniment. Par
A ^ênf^\^ exemple , si Ton cherche la racine quarrëe du binôme h^ — ^c, en regap-
. ^. A . dant b* comme le quarré du premier terme de la racine, on trouTera
697. Les polynômes de 3, 6, 10 , i5, etc., termes, ponyant avoir dei racines exactes composées de %, 3, 4> ^; c^^., termes, lorsqu^après woir
D* A L G è B R E. Sgj
Èl^Utfé autant de terme» gin la radne doit en contenir, le dernier rmtte n'est ]uu aéro , il faut en conclure que le polynôme proposé n'a pa* de racine exacte. Le trinôme a* -f* %ab -f- a^> est de cette espèce.
6g8. Ce qni précède donne le moyen de résoudre toutes les Aliiiations du second degré i une seule inconnue , qui ne v nnCerment que le quarré de llnconnue; car on peut toujours
ramener* ces équations à la forme x = V^a , et nous sayonj «ztraire la racine quarrée d'une quantité quelconque a.
€gg. Les propriétés des signes 4-6^"^ conduisent à dés remarques importantes. En effet; le quarré de -f c et celui de ;—*- c, étant -4"^/ lorsqu'on donne le quarré c*^ la racine est BUBceptible des deux valeurs + c et — c. De sorte que Téqua*tion of = c' , est également satisfaite , en substituant -|- c ou «^ c f pour X. La racine quarréé d'une quantité doit donc toujours être affectée du double signe -f" ^^ *""• Ainsi, l'équation af^pzc^, donne xz=l+ cet x =s^^ c; ce qu^on indique d'une manière abrégée , en posant x =dz c.
Lia racine quarrée de o^ étant dtx ', on pourrait écrire dba?=±:c. Mais le double signe donné à x ne conduirait à aucune nouvelle valeur de x, car— xt=:±iCy donne — jp= ^ c, et —X = — c; ce qui revient à jp=— . c, et i a?=:-f-c. '
700. Aiusi , pour obtenir toutes les solutions d'une équation dû second degré, il suffit, lorsqu'on extrait la racine quarrée de chaque membre , de mettre -f- et — devant la racine de tun des membres.
