PROBLÈMES

12 . On demande le chemin total fait pendant deux jours ,' ' par un voyageur qui a parcouru 5 lieues le premier jour et'f la lieues le second? On Yoit immédiatement qne le chemins' total 86 compote des chemins parcourua le premier et le m-^Jk cond jour; c'est- à«»dire de 5 lieues plus is lieues^ ou ijyh lieues. ^tss

3. Un voyageur a fait 17 lieues en deux jours , le premier ^^ jour il a parcouru 5 lieues; combien a^t^il fait de lieues UX^ second jour? La route totale^ 17 lieues^ étant composée deevi^ rontM parcourues tranche la route 5 •era le chemin du second jour. Ce résultat vérifie rexactitadl^i de la solution du problème précédent. Cette remarque s'cp«i^ pUq[iie Mx proUèmes que nous allons résoudre ; les uns sei de preùre àiât entrés.

4* En général , pour s*ûssurer dé t exactitude dfim résvJkiÈ\ ilfkut le supposer connu dans la question qui tafound, régarder commè intonnne , nhe des quantités connues. I deura trOuSfbr pour su, valeur ^ celle qu'elle avait dans la éjue^tion primitive,

5. Dans les questions précédentes , les nombres à sqi ou à soustraire étaient donnés , et une seule opération a duit au résultat. Nous allons passer à des problèmes de niâl espèce , dans lesquels les nombres à ajouter on à soi ne seront pas immédiatement fournis par Ténoncé^ il ^rxi?a qne nous ne parviendrons au résultat qu'après plulîeurs rations; mais elles seront dirigées par un raisonnement «impie.

6. Un voyageur fait trois lieues le premier jowr, et ^our, deux lieues de plus que le jour précédent, U s*wgii- 'découvrir le nombre de lieues qu*il parcourra le qi jQun Avec un peu d'attention, on voit que ce problème

» résoudre par des additions sncceisiyes. En eiFet , la ronte du premier jour étant de 3 lieues, les chemins parcourus les jours Kiivans seront , le deuxième jour , de 3 lieues plus a lieues ou f Slieues ; le troisième jour , de 5 lieues plus a lieues ou 7 lieues ; et le quatrième jour, de 7 lieues plus a lieues ou 9 lieues. Le fo^ageur a donc parcouru g lieues le quatrième jour. Si l'on voulait obtenir la route totale', il suffirait de faire la somme des chemins parcourus pendant les quatre jours ; on trouverait que cette somme est égale à a4 lieues.

7. Un voyageur marche pendant quatre jours ; il fait chaque jour fl lieues de plus que le jour précèdent, et parcourt g lieues h quatrième jour; combien en a^t^il parcouru le premier jour? Nous avons résolu la question précédente , par des ad^ fitions auccessiyes ; celle-ci , qu» en est Tinyerse , se résoudra pv des opérations inverses ^ c'est-à-dire par des soustractions iBCcessîyes. En effet; il suit de l'énoncé du problème^ que le voyageur qui a parcouru g lieues le quatrième jour, aura fait le troisième jour a lieues de moins, c'est-à-dire 9 lieues moins % Keues ou 7 lieues ; le deuxième jour a lieues de moins que h traaième , c'est-à-dire 5 lieues ; le premier jour a lieues k moine que le deuxième , c'est-à-dire 3 lieues.

8. On voudrait connaître la route totale parcourue en quatre \f>urSi pttr un voyageur .qui ^ après avoir fait chaque jour M lieues de. plus que le jour précédent , a parcouru g Ijfues le quatrième jour. On t^>uv^ra, comme dans le problème pré- ! eédeat, que les chemins parcourus sont respectivement, g lieues, 7 fieues , 5 lieues et 3 lieues; la somme de ces chemins donnera 94 lieues pour la route totale.

Tontes les questions qui peuvent ainsi se résoudre , par âét

ms d'additions et de soustractious étant très-faciles ,

ne nous y arrêterons pas davantage. Nous allons nous

de problèmes, dont les solutions exif^ent les opéra-

phis composées de la multiplication et de* la division.

\ On demande la route totale parcourue en huit jours, par voyageur qui fait la lieues par jour. On voit immédiate^

ment que lé voyagfeur, qui parcourt 13 lieues pâf jour, fera^ en huit jours, huit fois le chemin d'un jour , c'est-à-dirè hui^ fois 12 lieues, ou 96 lieues.

10. Un voyageur a parcouru qG lieues en huit jours. Oit demande combien il en a fait par jour, La route d*un jouM est la huitième partie des 9B lieues pai-courues en huit jours J c'est-à-dire 12 lieues.

11. On propose de découvrir la route faite le quatrième jour, par un voyageur qui a parcouru 3 lieues le premi^i jour) et a fait chacun des jours suivans le doublé du chendn\ de la veille. Le voyageur ayant parcouru 3 lieues le premier, jour, féx'à-le second jour deux fois le dhemin 3 lieues Aik\ premier jour, ou G lieues; le troisième jour deux fois 6 lieues^ ou 12 lieues ; le quatrième jtHir, deux fois lâ lieues ou a/^^ lieues.

12/ Un voyageur a marché pendant quatre jours , eapar^'x-. courant chaque jour le double du chemin de la veille,. LeJ quatrième jour il a fait 24 lieues. Quelle a été la route cfiij premier jour ? D'après cet énoncé , le chemin du troisièmdj jour est la moitié de celui du quatrième jour, c'est'à-dir<3 12 lieues ; le chemin du deuxième jour est la moitié de celuîu du troisième, c*est'-à-dire G lieues; et le chemin du premier^ jour est la moitié de celui du deuxième^ c'est-à-dire 3 lieues. /

i3. ¥n Père laisse à ses trois enfans P héritage suiucuit deux billets y F un de 12599*, ^^^^^^ ^ ^^i^i^ ; et doi billets de Gyz^ chacun. Il doit \bj/^ à un particulier 127* à un autre. On demande la part de chaque enfaiiltl Cette question paraît d'abord fort compliquée , mais en Yexi minant avec soin , on aperçoit que tout se réduit à faire d< sommes, l'une des biens, l'autre des dettes. L'excès (de Vvaii sur l'autre , donnera la valeur effective de la succession, tiers de cette dernière somme exprimera la part de chaqnrf enfant. Cela posé , la somme des biens est 12599* plus 45724** plus douze fois G724*, ou 139011*. -La somme des dettes «tj 1574* plu» 127*, ou 1701 *• La valeur effective de la.8u<H

t|Ksuon est donc iSgoii* moins 1701^, ou i373iû*. La part chaque enfant sera donc le tiers de lîySio*, ou 45770^.

i4' On demande quel est le prix de in aunes d*un drap, iont laune coûte 4^. Le prix des la aunes est égal à douze Ins le prix /^ de Taune , ou à 48^-

i5. Le prix de iQ aunes de drap étant 48* , quel est le prix ^ Faune ? Une aune est la douzième partie de la aunes i le jm d'une aune est donc la douaûème partie du prix 48^^^ de la aunes , c'est-à-dire 4^*

iS. Combien , pour 48*, aura-t-on d aunes dun drap dont tauae coûte 4*. Puisque Taune coûte 4^J pour 1*, qui ef>t h qnart de 4^> on aura le quart d'une aune^ ou ^\ pour 48 foii i*ou.-48*, on aura donc 48 fois i*, ou la aunes.

17. Dans les questions précédentes^ les opérations à faire éUdent indiquées par l'énoncé même, de sorte qu'on pouvait les exécuter avec la certitude de parvenir directement au ré- [inltàt; Biais lorsqu'elles deviennent plus compliquées , si l'on

l'examine pas l'ensemble des opérations avant de les eifectuer , 'bqtqnc d'être arrêté par des difficultés , de n'arriver au restât que- par de longs détours y et quelquefois même de no. |is aTriyer.

18. Ces observations conduisent à ce principe général : tour résoudre une question quelconque , on doit , avant

jieffèctuer les opérations , en saisir V ensemble , examiner avec

in si sa solution ne dépend que des combinaisons do

iorîes déjà connues , et tracer ensuite la marche la plus%

e à suivre. Cela fait , on exécute les calculs avec.

certitude quils fourniront le résultat de la manière la:

directe. Appliquons ce principe.

t INTRODUCTION

RÉGLESDETROIS

PIRECTE8 ET INVERSES.

ij. Douze aunes de drap coûtent 48^; on demande le prix de 5 aunes du même . drap. En examinant cet énoncé , oc voit que tont dépend du prix de l'aune ; car é*il était conna en le répétant 5 fois y on Aurait le prix des 5 aunes. Mai * le prix de Taune se déduit immédiatement de celui de la aunes. La marche à , suivre est donc de déduire du prix dC lA aunes y le prix de faune y et de le répéter S fois y pom avoir le prix des 5 aunes» Actuellement que nous sommé assurés que ces calculs conduiront au résultat , effectuons-lei.

ja annes coûtant 4^

z aune coûtera le ia« de 4^; 0° 4^

$ |i«nct coûteront 5 fois i"^, ou ao*^

ao. La règle donnée pour résoudre les problèmes de cette et pèce y était connue sous le nom de Règle de Trois , parce qn'i s* agit de calculer une quantité inconnue y à Faide de troi choses coTtnues. La manière de résoudre ces problèmes y exi? geait la connaissance de la théorie des proportions,

ai. Comme il serait extrêmetnent long de &ire ainsi pré céder la solution de chaque problème y du plan des opérations à effectuer ; nous ne le ferons plus désormais , qn* dans les questions où cela pourrait offrir quelques difficultés Mais nous engageons les commençans à ne jamais s^en dispenser.

22. Douze aunes de drap ont coûté 4^^/ combien aura-t-^, d aunes du même drap , pour ad^ ?

Pour 4^ on a • la annet.

Pour itf* on aura le 4^* de 13 aunes , on -» aunes , ou 7 aune.

Pour 20^ on aura; 30 fois j aonc; on.... -j- aune; ou 5 aunes.

â3. Trente aunes de drap à | , coûtent jao* ; quel est le frix de 20 aunes à | ?

3o aoncs à 9 coûiaBC.. ^aot'

fi X «une à c coAien le 3o* 69 730^, oa 14^

X «fuie à - coètera le 6* de si''^» ^^ ''• 4^

X «mie à « coûtera 5 fois 4^, on 90^

ao aimes à - coAieront ao fois 90^, oa •••...... 400^

I' 9^ On demande combien il faut prendre d'aunes de toile i II pour doubler Zo aunes de drap à |.

fi S'ia toik arait g de large ^ il en Ciiadniic 3o aunes.

Si Li toile i^'arait que x ^ il en faudrait 6 fois plus, ou 180 aunes.

fjk toQe ayant x, il n'en faqt ^e le 5* de 180 a. ^ ou 36 anpes.

n faut donc 36 annes de toile à f ^ pour doubler 3o amiea da àresp i f . De sorte que 36 aunes à | couvrent la même sur^ face que 3o aunes à |. Et en effet ^ 36 aunes à | et 3o aune» â |y aoBt équivalentes à 180 aunes à ^.

a5. Trente aunes de toile à f ont coûté iSo**. On demande le prix de 36 ftunes de toile de même qualité à f .

io aunes à » ayant coûté iSof^

t aime k g coûterait ^

X aune à « coûterait i**^

X aune à g coûte donc 5''^

Uea 96 muMs h, « coûtent donc ipo*^

On voit donc que 3o aunes de toile à % et "SS aunes à | coûtent le même prir 180*. Ce qui devait nécessairement ar*-