m termes
Je passe eilsuite à Vanaljse des Formules gêné" raies (fui expriment Içs valeurs des inconnues (i).
â iQon second yolume d'Algèbre*. Je rectifierai des erreurs qui se sont glissées à «ce sujet, dans tous les ouvrages (sans en excepter mes Fragmens). Je présenterai cette théorie sous un point-de-vue absolument nouveau. J'engage les Professeurs à prendre garde à ces erreurs. L'interprétation des valeurs in-* finies des inconnues , me paraît également fauss^
(i) Cette analyse a paru pour la première fois dans mea
1 DISCOURS
(Cette analyse est absolument nouvelle). Je de-* '. montre rigoureusement ^ que suivant que des équa-* tiens du premier degré entre plusieurs inconnues sont possibles ^ impossibles ^ ou indéterminées^ les for^ mules générales donnent pour les inconnues des valeurs finies ) infinies^ ou indéterminées de laforme\.^La réciproque est Vraie. Je prouve que suii^ant que le nombre des inconnues est égal à celui des équations j ou plus grand j ou moindre ^ ces équations sont dé-^ terminées j, indéterminées ^ ou impossibles ; je donne les équations de condition nécessaires pour qu'un problènie soit possible , lorscpie k nombre des équa-' tiCns surpaisfsè celui des il^eonnues. J'examine Ie3 relations qui doivent exister entre les coejfficièns de^ inconnues et lés-termes '■ toUt - connus ^ pour que des équatiôfis proposées admeUent des valeurs données des inconnues ; il en résulte qu'il existe une infinité d'équations qui admettent les mêmçs valeurs des inconnues.' Je termine cette Théorie générale des équations du premier degré , en démontrant que lorsqu après avoir tiré d'une équation la valeur d'une des inconnues quelle renfeime ^ on substitue cette, valeur dans la même équation ^ le résultat est toujours une identité. Ces principes , qui servent de fondement à la Théorie générale des équations , n'avaient pas encore été démontrés d'une manière rigoiu'euse ;
Fragmens y publiés en 1801. Mais renseignement m'a con- Vaijicu de la nécessité dç la présenter sous un poirit-de-vue plus général. J'ai Ane fait des changemens importans , et j*ai étendu cette analysé à un nombre quelconque d'équations.
PRÉLIMINAIRE. Ij
plusieurs même n'ëtaieut pas connus. Je termine l'Analyse déterminée du premier degré , par une Théorie complète des rapports et des proportions. Je fixe l'attention des Élèves sur les propriétés qui seront utiles dans la Géométrie, hes Progressions et lesLogor rithmes exigeant la connaissance de la théorie générale des Equations^ j'ai cru devMr les renvoyer à la fin de cette Théorie. J'ai suivi , à cet égard , Fordre adopté par M. Lacroix ; mais j'ai cru devoir donner la Théorie des Proportions à la fin de l'Analyse déterminée du premier degré , parce que cette Théorie devient nécessaire aux Elèves qui veulent apprendre là Géométrie avant de s'occuper des Equations des degrés supérieurs. Ce plan, conforme à Topinion de M. Legendrb , est celui que j'ai adopté . Je crois nécessaire de placer l'étude de la Géométrie, entre l'Analyse du premier degré et celle des degrés supérieurs. Avec cette attention ', TElève , fortifié par Tétude de la Géométrie , devient capable de surmonter les difficultés attachées aux Equations des degrés supérieurs ; la Géométrie lui ofire une peinture fidèle des résultats analytiques , et explique clairement la nature des quaiitités incommensurables.
Pour jEsicîliter Tétude de V Analyse indéterminée ^ je résous d^abord des Problèmes indéterminés très- £aiciles , dans lesquels les quantités connues sont des nombres. Je donne différentes Méthodes pour trouver les valeurs entières positives des inconriues ; et je fais observer que les formules différentes qui eu
lij ^ DISCOURS
résultent y donnent cependant les mêmes solution^J' On reconnaît que les Problèmes qui conduisent à. des Équations indéterminées , peuvent être indéterminés y déterminés y ou impossibles. Je donne le moyen de déterminer le nombre des solutions de cts Problèmes. Je passe ensuite à la recherche des Solutions entières positives de FÉquation littérale indéterminée du premier degré entre deux incon- • nues ; cette recherche conduit à des Théories nou- '; velles. Je démontre que les formules ^ déduite's de ; la Théorie du plus grxind corrwmn dwiseur numé^ \ rique ^ donnent toutes les solutions entières positives , de V équation proposée ; de sorte qu'en donnant aux inconnues , des valeurs qui ne seraient pas comprises dans ces formules y on ne satisferait pas à . l'équation. Je donne une règle générale pour déduire toutes les solutions d'une seule , et déterminer le nombre de ces solutions. Je prouvé que dans le cas où lequation proposée n'admet aucunes solution^ entières positives , les formules indiquent* cette imr possibilité. Je discute les Équations littérales indéterminées du premier degré entre plusieurs inconnues , et je donne le moyen de les résoudre; Je ' termine l'Analyse indéterminée par des Problèmes .. ^ qui donnent des notions sur les variables y les Jono- ". lions y les maxima et les miniina. (Ces notions ne .2 sont nécessaires qu'aux personnes qui veulent se'? prépara k l'étude du Calcul différentiel. ) ;C
La Théorie des Inégalités étant indispensable daos * toutes les parties des Mathématiques y j'ai cru méces*. -
PRÉLIMINAIRE. liij
tuôre de la donner d'une manière complète. Après avoir démontre les principales propriétés des Inégth Utés^ j'en déduis le moyen de les résoudre ; et je £âs Toir qu'on ne peut pas les traiter comme les Equations; de sorte que des démonstrations que l'on donnait dans les Elémens ^ ne sont pas rigoureuses. J'en déduis le moyen de résoudre des problèmes d'une nouvelle espèce. Ce qui prépare à la démonstration à V absurde ^ si souvent employée
* dans l'excellente Géométrie de M. Legendre.
Je donne la Théorie du plus grand commun divi--
. seur algébrique. Cette Théorie , qui sert de fondement à J'Ëlîmination dans les équations de tous les degrés^ n'ayant été traitée que dune manière peu exacte , j'ai cru devoir la présenter sous un point de vue nouveau. Elle parut pour la première fois dans mes fragmens sur FAlgèbre et la Trigonométrie^, imprimés en l'an 1801 ; et M. Garniery i'nn de mes anciens professeurs^ voulut bien la publier^ sous mon nom^ dans son excellent ouvrage sur l'Algèbre. Depuis cette époque , j'ai fait tous mes efforts pour simplifier et perfectionner cette démonstration ; j'ose espérer que celle que je publie est complète et rigoureuse. J'avoue qu elle présente d'assez grandes difficultés, mais je pense
. que ces difficultés tiennent à la nature même de la question. Les Elèves qui ne seraient pas en état
: de comprendre cette théorie, pourront la passer, pour y revenir lorsqu'ils en seront à la Théorie générale des Equations. Je ternjjple le premier vo-
Uv DISCOURS
lume par la résolution des Equations du seco
degré.
Le second volume de ces élémens ^d'Algèbre contient : la Formation des Puissances et V Extra tion des racines de tous les degrés ; les Fractio continues j la Théorie générale des Equations , l Progressions , les Logarithmes ^ les Propriétés d Polynômes et des Equations , la Transformation fonctions , les Fonctions symétriques ^ la Deçà position des Poljrnomes en facteurs réels du seco degré ^ les Equations à deux termes , la Résolution générale des Equations j la Démonstration de U Formule du Binôme ^ lorsque l'exposant est quel* conque ; les Séries j et le» Préliminaires du CalcidS différentiel. \
Les autres parties du Cours complet de Mathé^i matiques , dont je m'occupe , paraîtront successî- \ vement dans cet ordre : Application de V Algèbre à \ la Géométrie y Statique ^ Calcul différentiel y Calctdi intégral , Calcul des différences , Calcul des J^ariati^nSy Mécanique, Calcul des Probabilités,
Telle est l'analyse complète de cet Ouvrage. Combiné avec l'Arithmétique , il présente les bases des Mathématiques , et renferme tout ce qui peut être . utile aux personnes qui ne veulent pas approfondit l'étude de cette science. Le désir d'aplanir les , difficultés aux commençans , m'a déterminé à suivre cet ordre, qui semble indiqué par la nature mémc^ de la science. Des obstacles distribués avec art , et croissant danp le l(|[>port des forces de l'Élève, sont
PRÉLOnNAmE: Iv
stîmulans qui exercent utilement son esprit sans rebuter; encouragé par des premiers succès ^ il livre avec plaisir a de nouvelles recherches y et ient a surmonter successivement tous les obsles. J'ai prolongé l'usage des nombres le plus temps possible y parCe que leur emploi éclaire it assure la marche du raisonnement y en vérifiant i chaque instant l'exactitude des résultats. Ces considérations me font espérer que ce Traité sera utile mu Elèves ; mais comme l'enseignement est la pierre k touche du mérite £un oui^rage y je réclame les lonseils des Professeurs y pour me mettre k même ie perfectionner mon travail ; je m'empresserai de l^fîter des avis d'une critique juste et éclairée. Si te Traité contient quelques idées nouvelles et utiles^ fen Êds hommage aux Professeurs qui formèrent ifiOQ jugement.
-^m important. ^
Dans cette nouvelle édition , les signes ( n* ); {A. n** ) , ( B. n* ), indiquent respectivement des renvois à des articles de l'ouvrage , à mon Traité d'Arithmétique, et à mes notes sur F Arithmétique deBezout (^^ édition). Le signe (A. 5* n* ) renverra à la 5* édition de mes notes sur TArithmétique de Bez^ut. Ce dernier ouvrage suffit pour l'intelligence de mes Elémens d'Algèbre. Dans cette première section, on a fait usage des lettres grecques ^y ^9 y^ ^y que l'on prononce. Alpha y Bêta y Gamma, Delta.
DISCOURS
Les Elèves (jcà voudront se borner à ce qui est exigé pour entrer à TEcole Polytechnique ^ pourront étudier ; i*" les trois premières parties de mes notes sur V Arithmétique de Bezout ^ ( 5* édition ) ; ' 2* quelques. Problêmes de Y Introduction ; 5* mes ' Ëlémens di Algèbre (i«" section) ; 4* les articles indiqués dans la seconde section de ces Elémens ; &" la Géométrie de M. Legendre ou celle de M. La^ croix ^ avec la troisième partie de mes notes sur la Géométrie de Bezout; & ma Trigonométrie Anst^ lytique ; 7* V Application de l'Algèbre à la Géo^* métrie ; 8* la Statique de M. FrancœuTj pu celle de M. Poinçot.
Cette nonveUe édition ne renfeime aucuns changemens> J'ai substitue feulement les équations du second degré aux problèmes amusans qui terminaient le premier volume. Pour la commodité du public, on dâtvrera avec le second volume d'Algèbre , les Additions faites au premier.
> On peut remplacer les démonstrations des no* 433» . . . , 4^» P^^^ celles des no* 658, . . . , 66t.
Les misonnemçns des n»* 583, . . . , 589, offrant des difficulté, on pourra passer ces articles^ pour y revenir lorsqu'on en sera- à la Théorie des Équations*
TABLE DES MATIÈRES
INTRODUCTION A L'ALGEBRE.
Nos des art. Fo* des pag.
