TROISIEME PARTIE

PLAN DE l'ouvrage.

Les symboles nécessaires aux calculs les plus composes y sont les signes d'opérations et les caractères qui représentent les quantités connues et inconnues. Si l'on çonibine ces Elémens^ dans l'ordre le plus naturel, on formera successivement VArith" métiquej V Introduction à l'Algèbre et V Algèbre. En effet, le calcul des quantités connues , particularisées

ftons. Cet Ouvrage est particulièrement destiné aux Ingénieurs ia Cadastre. On y trouve , la Trigonométrie rectiligne , la Trigonométrie sphérique , tous les détails relatifs aux instru^ me/M qui servent à lever les plans , et la Géodésie.

xxxiv DISCOURS

par des nombres^ compose TArithmétique j les cotn* binaisons variées des quatre règles de V Arithmétique , qui complètent' cette Science en préparant à P Algèbre j forment mon Introduction a l'Alojebre; les signes ijt opérations et les nombres qui expriment les données^ combinés aij£c tes lettres qui représentent, les inconr» nues, composent la première partie de mes Êlémens <^Alc£bre* Enfin y la seconde partie de des Elémèhs est le résultat de la combinaison de èous tes signes de V Algèbre, savoir, les signes d^ opérations, et les lettres qui représentent les quantités connues et inconnues ; cette partie ojfre V Algèbre sous, s on point^^de-^çtte le plus général. Cet orcbre m^ par^t très-naturel; car de cette manière^ dans tArithinétique et P Introduit , tion à V Algèbre, on n opère que sur des nombres} dans la première partie de V Algèbre, on combine les lettres qui représentent les ineônnues avec les signes ^opérations et les nombres connus. Enfin, dans la seconde partie de V Algèbre on généralise ^ en substi'^ tuant des lettres aux nombres connus.

Cet apperç)! jvà, doonant qu'une idée de Tenseinblç de l'Ouvrage ^entrons dans les détails^ et pour re^ monter au premier anneau' de ht chaîne y commen-' çons par l'Arithmétique^ .

Analjse du Traité d^ Arithmétique (i).

L'Élève, déjà exercé au mécanisme du calcul, '

(i) Les personnes qui désireront de plus grands détaib, L

pourront consulter le Discours préliminaire de mon Tram § tT Arithmétique. -g

Ï>RÈLIM1NAIRE. xxx^

ttaomètïce Tetude des Mathématiques pai" VJrith^ métique raisonnée, qui précède ces Élémens. Lé premier volume de mon Traîté d* Arithmétique coii« tient tonte la Théorie du calcul nianéHçue. Après ayoir demeiltré ce qui est relatif à la numération et au calcul des nombres entiers^ je passe aux fractions ordinaires et décimales. Une fraction ne changeant pas de valeur lorsqu'on en divise les deux termes par Txn même nombre ^ on la simplifie en supprimatit les facteurs commuîis au- numérateur et au dénominateur ; ce qui conduit à la recherche du plus grand comnuin diviseur. J'ai présenté cette théorie sous un point-de**vue nouveau^ qui me parait propre à dis-* poser au ùonùnun dii^iseiir algébrique^ La règle que je donné (A;:'n'' 14^) s pour réduire une fraction à sa plus simple! .e;8:presâon;est' exacte; mais en adoptant une d^Bnitîoa qui' a été dpnnée par tous les Auteurs^ j'ai' commis: une '«erreiir qiie je dois -réparer. En efi'èt y lorsqu'on veut parler d'une manière rigoureuse ^ on doit dire qiïu^Jitiction irréductible est celle qui ne peut pas^éijre exprimée exactement par une fractièh dont les termes seraient moindt^s. Et par conséquent^ pour qu'une fraction soit irréduc*tiblcy il faut qu'elle jouisse de cçtte propriété caractéristique. Or après avoir divisé les deux termes d une fraction par leur plué^^rand commun diviseur^ on dit que la fraction qui en réisûlte est irréductible^ cela n'est pas rigbureux y cat' rien ne démontre qtik x^ette dernière fraction ne puisse plus être simplifiée. Par exemple, lafi^ction -^.n'ayant aucuns facteurs conununs à ses deux.teniiçs, on n'est pas en droit

xxxvj DISCOURS

d'en conclure qu'elle est irréductible ; car rien ne^ prouve qu'une fraction ayant des termes moindres ne puisse lui être égale. J'ai réparé cette inexactitude d'expression^ dans la seconde partie de ces Élémens d'Algèbre; je prouve (n''4^7), K^uwfmciiondont les deux termes nont aucuns facteurs communs, ne peut pas être égale à une fraction dont les termes cor* respondans seraient moindres; ce i/ui démontre que cette fraction est irréductible. Le calcul des nombres abstraits forme la première: partie de mon. Arithmétique ; la deuxième partie est le calcul des nombres concrets.

Le second volume de mon Arithmétique (ayant pour titre: Notes sur l'Arithmétique de Bezout) est un Complément destiné aux personnes qui veulent se préparer à l'Algèbre ^ elles pourront l'étudier en même temps que l'Introduction k L'Algèbre. Ce Complément est divisé en deux- parties ; là première est une analyse du premier volume^, destinée ^ux •Elèves qui. veulent repasser les choses» les plus importantes ^ pour subir tm. examen. La seconde partie contient des théories nouvelles ^ des méthodes abré- ^[ées, et les principe^ qui servent de base à V Algèbre.

Anafyrse de Vlnf^roduction a V Algèbre.

Les Elèves qui posséderont les théories démon-trées dans mon Aridimétiquç ^ seront en état d'étU'- ^erV Introductions r Algèbre. Cet Ouvrage renferme une méthode absolument jiouifelle pour résoudre les problèmes , à VaidedéSiSei^les combinaisons des quatre pègles de P Arithmétique i I9. siuiplicité et la clarté de

préliminaire; xxxtîj

^tte^mëthode j la mettent a la portée des personnes les moins intelligentes ; elle remplace les procédés connus sons les noms de règles de trois , simples et composées j directes et inverses , règles de compagnie,^ Jt escompte, ^intérêt , de change , de troc j d alliage, de fcujLsse position, de double fausse position, etc. ^ etc.; j'ai cm rendre un double service aux Commençans^ en soulageant leur mémoire et fortifiant leur esprit ; cet énorme échafaudage de noms et de règles n'était propre qu'à obscurcir les idées ^ et à perdre le ]ug^ ment , en conduisant au résultat par de longs détours^ et d'une manière purement mécanique. Par exemple^ pour résoudre ce problème:

4 ouvriers ont fait ao toises d^ ouvrage ; combien ^ ouvriers en feront^ils ? On nonunait or, Fouvrags inconnu; et l'on posait la proportion. . .

4 ouvriers ! 9 ouvriers ! ! 20 toises ! x.

Le dernierterme étant égal au produit àes moyens, divisé par V extrême connu ; l'Elève , qui appliquait machinalement cette règle y multipliait 9 ouvriers par 20 toises^ et divisait le produit par 4 ouvriers; ce qui est absurde (i). Le raisonnement que je substitue est très-simple ; on dit :

Si 4 ouvriers font ao toises ,

un ouvrier ferait le quart de âo toises , ou 5 toises ; les g ouvriers feront donc g fois 5 toises , ou éfi toises.

(i) Je citerai à ce sujet un fait, intéressant. Dans des exa« mens publics^ un Elève voulant expliquer cette opération, dit...

ao toises X'Q ouvriers 4 ouvriers fi supprimant le facteur un ouvrier ^ commun aux deux teiaiea

dtxxviij DISCOURS

Toutes mes solutions sont fondées sur ces prin«^ cipes rigoureux..

Il ë^t sansv doigte impossible à ceux qui ne pratiquaient pas continuellement ces nombreuses règles^ de les retenir; ejt d'ailleurs 9. comme ils -ne se ren^ dolent pas çorïipte des opérations qu'ils exécutaient^ ils commettaient quelquefois des erreurs grossières. Le calcul, dirigé par le raisonnement, nest sujet à aucuns de ces inconvéniens ; la pratique y sans la théo^ rie y riest qjuuné routine aveugle, qui perd V esprit et induit souvent en erreur. On oublie facilement les règles que Von ne comprend pas; mais les méthodes confiées au jugement, ne s^ effacent jamais de la mé-^ moire.

Ayant fait Fessai de ma méthode dans différentes maisons d'JÉducation ^ je me suis convaincu qu'elle avait le double avantage d'aplanir les obstacles eu exerçant l'esprit. Les Élémens offrent assez de dif-* ficultés réelles, pour ne pas en créer de fac^ tices. Encouragé par l'indulgence du Public , pour les deux Editions précédentes de l'Introduction à l'Algèbre ; éclairé par les avis de Professeurs dis-* tînguës, et par ma propre expérience, je mfe suis convaincu de la nécessité de présenter les Elémens sous un point-de-V]ue nouveau. Dans cette Edition,

» de cette fraction , il vient, . .

'- ao toises Xo • 180 toises ,n xr=L ' = — \ — r = 4D toises, w

Cette manière d'interpréter le calcul, toute défectueuse qu'elle était y prouvait rintelligence de TElèYe^ et le vice d^ la méthode.

PRÉLIMINAIRE, j^ai £iit mes efforts pour perfectionner TOuvragé^ en sapprimant les parties inutiles ^ et complétant ce ^pouvait manquer. J'ai cherché à faciliter l'étude en présentant les questions^ dans Tordre des difficultés; cependant^ oomme la tournure de l'esprit de certains Élèyes peut exiger un enchaînement dif- £n^nt; Gehû qui étudie doit passer les questions qui lui paraissent trop difficiles^ pour y revenir ensuite; les lumières que Von acquiert en avançant j se réfléchissent sur les théories précédentes^ et dissipent tous les nuages qui pouvaient obscurcir les idées.

Je m'occupe d'abord des questions dont les énoncés indiquent clairement les opérations à faire sur les quantités connues ^ pour découvrir les valeurs des inconnues. Je passe ensuite à des questions de plus en plus difficiles ^ mais liées entre elles de manière que leurs solutions se déduisent fisicilement les unes des autres. On voit ainsi successivement les problèmes que l'on résolvait au moyen des règles ^ trois j de compagnie y conjointes ^ d'alliage, dfin-^ térêt, d'escompte, d'annuités; je résous cette question : déterminer entre un nombre quelconque de spéculations ^ celle qui est la plus avantageuse. Je démontre rigoureusement la théorie des rapports directs et inverses. Je donne une idée des proportions ; j'applique cette théorie à la solution d'un grand nombre de problèmes.

Pour ne pas affaiblir l'attention de l'Elève^ en la disséminant sur un trop grand nombre d'objets, j'ai commencé par des questions qui conduisent à des calculs très-simples sur des nond)re9 entiers. L'Elève

xl DISCOURS

devant alors cormaitre la théorie, je l'exeîrce sur la pratique, en lui proposant des problèmes analogues ^ sur les nombres complexes; les calculs se compliquent, mais les raisonnemens sont les mêmes. ^

Ici se terminent les problèmes d'Arithmétique. Je' passe alors à des problèmes amusans dont les solutions préparent à l'Algèbre ; les premiers n'exigent aucuns tàtonnemens ; les seconds conduisent à la méthode des deux hypothèses^ à l'aide de laquelle on peut résoudre la plupart des problèmes algébriques. Je fais voir que cette méthode est quelquefois en .défaut; l'Arithmétique devient alors insuffisante; et Ton sent la nécessite d'inventer une nouvelle Science ; ce qui conduit à l'Algèbre. Je termine l'Introduction par le Problème indéterminé des Muses et des Grâces. L'Élève qui aura bien compris tout ce qui précède, n'éprouvera aucune difficulté pour saisir les commencemeiis de l'Algèbre. Passons à cette Science.

Analyse de V Algèbre (i).

l)ans mes Fragmens sur V Algèbre et la Trigono-^ métriej j'avais publié des remarques sur ces deux sciences; ces remarques, combinées avec les Ouvrages deMM. Lacroix etGARNiER, formaient le texte des Leçons que je donAe aux Elèves qui se destinent à . ÏÉcole Polytechnique. Pendant dix ans , j'ai fait de nombreux essais ; les examens dont je suis chargé dans l'intérieur de l'École Polytechnique , m'ont fait

(i) Le mot Algèbre Vient du mot arabe Gebr ^ avec Tarticlô AL Cela sîgpiEe , ce qui est difficile à comprendre.

PIU^IMINAIRE. • rij

'Oippercevoir les parties faibles des Élemens. Tai conn mimique mes idées à des Mathématiciens distingués^* et profitant de leurs avis , j'ai cherché à présenter rAlgèbre sous le point-de-vue qui parait le plus propre à disposer les Élèues aux Leçons tfi^ils rece^ vront à t École Polytechnique.

Le premier volume de ces Élemens d Algèbre est composé de deux parties; il contient toute V Analyse déterminée et indéterminée du premier degré. Dans la première partie^ les inconnues sont seules représen^tées par des lettres ; les quantités connues sont des nombres. Dans la seconde partie^ on généralise ce qu'on a tu dans la première partie; les quantités connues et inconnues sont représentées par des lettres.

Plan de la première partie de V Algèbre.

Dans la première partie y je propose des problèmes qui conduisent naturellement à Finvention des signes algébriques; je résous les mêmes problèmes^ à l'aide des signes adoptés ; la comparaison de ces solutions avec les précédentes , donne une première idée de l'utilité de l'Algèbre ; oh voit qu'elle a le grand avantage de rapprocher y dans un très-petit espace , des objets qui, sans son secours, seraient fort éloignés; résprit en saisit plus facilement l'ensemble, et les relations qtd lient les inconnues aux quantités conr j^nues ; ce qui facilite la recherche des valeurs des inconnues. Afin de familiariser avec les signes algébriques, j'en fais usage pour résoudre plusieurs prohlèines du premier degré. Je fais remarquer que la résor

xiij Discoims

lution des équations exige la connaissance parfaite i 4a calcul algébrique, ce qui me conduit à ce calcul, à Icâ se présente la grande difficulté de savoir conunent i\ €fit doit donner je calcul algébrique ; de nombreux é .ç$sais m'ont convaincu qu'il ne fallait en présenter t d'abord que la partie nécessaire à la résolution des . s équations numériques du premier degré; cela offi*e.'i l'inconvénient de revenir ensuite sur ce calcul; mais a s\ l'on voulait le présenter dans toute son étendue^ i la masse de difficultés qu'il renferme^ accablerait Tes- i prit peu exercé des Élèves. Les nombres négai^s , ^ pris dans leur véritable acception^ se présentant \ dès les premiers pas^ je donne des notions simples des nombres positifs et négatifs; ces notions ne peuvent offrir aucunes difficultés ; car les nombres négatifs ne sont réellement que des nombres positifs à soustraire. Pour graduer les difficultés^ je sou-* mets d'abord les nombres positifs et négatifs aux quatre opérations fondamentales y en ne considérant que les cas particuliers compris dans les définitions arithmétiques de chaque règle. C'est à ce calcul que j'ai donné le nom d^ opérations arithmétiques. D'après la nature de ces opérations y on ne peut ajouter et soustraire que des nombres affectés du même signe ; il serait absurde d'ajouter un nombre positif avec un nombre négatif; et le multiplicateur ne peut être négatif.

L'Algèbre , conduisant à opérer sur des quantités dont le signe est souvent inconnu, on sent la néces» site de généraliser les définitions de chaque règle y 9fîn de les renjdre applicables aux inconnues ^ ce qui

PRÉLIMINAIRE. xlii|

eiùge qu'elles conyieiment mdîffërenimeiit atix quantités positive et négatives. On est ainsi conduit aux qpénuions algébriques» Pour jeter plus de jour sur la tfaéqjrie de çes-ppérationSy j-ai cru devoir distinguer d^nx-sortes d'égalités;, les équations, qui ne uxol vraies que pour* des valeurs particulières des lettres <pi'e11es renferment; et les identités, quisub^ estent pour des valeurs arbitraires données aux lettres. Ces égalités jouissant de propriétés essentiellement différentes y j'ai dû inventer un ^/^/le particulier pour distinguer les identités des équations. J'engage les Professeurs k insister fortement sur cette distinction ; sans eUe> les JÉlèves prennent des idées absolument ûusses; et les difficultés que présentent les diverses pardes des Mathématiques^ tiennent^ la plupart ^ k ce qu'on n'avait pas encore £sdt usage de signes differeqs pour les équations et les identités. On doit sans doute éviter de multiplier inutilement les signes algébriques; niais il est très-dangereux d'indiquer des manières d'être essentiellement différentes, par le même signe. C'est, ce motif qui m'a déterminé à introduire le signe if identité. Après avoir fortement insisté sur la natujre des identités , je £sds observer que les opérations algébriques y devant être indépendantes des valeurs particulières des quantités y conr doiseifit à des identités. Je passe alors aux opénar tiqns de l'Algèbre. Je démontre rigourensemènt les quatre règles, ^p dpnnant des définitions exactes. Le choiiç des définitions est de la plus grande impor** tance; il faut prendre celles qui expliquent le plus naturellement; poçsjbl^^ les cas particuliers compris

adiv DISCOURS

dans les règles générales cpii doivent s'en On doit éviter les définitions qui ne frappent qne sur le mécanisme du calcul; celles que j'^ adoptéet ; .lèveront toutes les difficultés relatives à Fadditioa^ ^ à la multiplication^ aux exposans-et aux scJutioM s négatives. J'ai soigneusement distingué ce qu'on fs .peut démontrer et ce qui n'est du qu'à des €on?-vlï Tentions. La règle des signes^ dans la multiplia i cation des monômes^ présente des difficultés réelles j n je n'en connaissais aucune démonstration rigoureuse; i car tous les Auteurs la déduisent de la multiplie»- 9 tion des polynômes. J'en ai donné une démons-- j tration dans mes Fragmens; mais^ d'après les avis i qu'on a bien voulu me donner y j'ai cherché à la . rendre plus rigoureuse. Je crois que la démonstra*tion- que je publie y n'est sujette à aucune objection^ et fixe le véritable sens de la règle des signes* La di« vision se déduit de la multiplication avec la plus grande facilité. Le calcul des fractions littérales termine les opérations de l'Algèbre.

Je déduis de ces principes, le moyen de résoudre les équations du premier degré à une seule inconnue^ qui ne renferment que des nombres abstraits; j'examine les difficultés qui peuvent s'offirir ; et je termine par une règle générale pour résoudre ces équations. Je passe à la résolution des équations qui renferment des nombres concrets ; je prouve que pour conserver à V Algèbre toute sa généralité j il est indispensable que les lettres représentent des nombres abstraits. Les Èlémens offiraient des erreurs sérieuses à cet égard; pour les éviter ^ j'ai cru nécessaire de distinguer deux

PRÉLIMINAmE. xlv

aortes à-'^^alités ^ les équations abstraites et les équa* tions concrètes. La véritable nature des signes al-* gébriqaes étant ainsi fixée ^ je traite un grand nombre de problèmes à une seule inconnue ; j'insiste sur la nécessité de choisir adroitement les inconnues; les Gommençans doivent surtout s'attacher à l'esprit de ces solutions ; car le seul moyen de se préparer à faire des décom^ertes ^ est de s'exercer sur un grand nombre de questions. Uétude des tliéories forme le pigement ; la solution des problèmes ^ qui exerce et fortifie tespritj est la véritable route qui conduit aux découvertes. Les Élèves ne sauraient trop se pénétrer de cette maxime ; il ne suffit pas de savoir ; on doit chercher à contribuer aux progrès de la Science. Je termine la . première partie y en résolvant les équations et les problèmes à plusieurs inconnues ^ dans lesquels les quantités connues sont des nombres^

Plan de la seconde partie de V Algèbre.

La seconde partie contient des théories nouvelles^ En comparant les solutions des problèmes de même espèce y on est conduit à substituer des lettres aux nombres connus. Je £siis remarquer que les règles données dans la première partie y pour opérer sur, les inconnues^ s'appliquent aux quantités connues^ car les unes et les autres représentent desL nombres abstraits. Pour donner une première idée des avantages qui résultent de la substitution des. lettres aux nonÂres connus y j'effectue cette substir^ tutïon dans les énoncés de plusieurs problèmes de.

XlnUrQ^wtiçf^l il râ («suite dç^ formules généraJes^

ilvj DISCOURS

qui indiquent les opérations à faire sur les données i ^ pour en déduire les înconnue.s. Je donne une ' règle pour déduire de TlBxpressIîoti générale d'une \ mconnue, les valeurs des autres inconnues. Je '' prouve que les quantités qtd prennent des accep-' '^ tiôns opposées , dans l'énoncé d^une question , ? changent de signe dans les fonhtJfes* générales; el •! que la réciproque est vraie. Je fais remarqueip que ' les équations qui expriment les condition^ des pro- * blêmes^ donnent les solutions de toutes lés questions qui résultent de cellte qu'on a résolue , en prenant pour inconnue l'une quelconque dés quantités qui • entrent dans l'énoncé. L'utilité de remploi àei lettres, ■ pour représenter les quantités cotiriiies, étant suffi-' samment constatée , je fais connaître les conventions qu'on- a établies pour simplifier les Calculs sUi* les lettres ; ce quî^ conduit à généraliser les opérations.' Le produit de facteurs égailx, donné naissance aux exposansy aux puissances et aux racines^ La théorie des exposans négatifs , et àeV exposant ieVo , n'étant pas é&blîé sttt Aéé foiidemëhs solides y dans les Our vragés, j'ai dû changer la définition de l'exposait; = celle que j'é donne à le grand avantage dé démon*frer rigoureusèmfeiit les propriétés dés exposans. Après avoir généralisé l'addition et la soustraction ^ fe passe à l'a ihtdtiplication; cette opération conduit âo/rfo>^7^è^ lès polynômes. Je prouvé que /'ea:/?ojf«/il Au produit est égaî à la sommé dés éxposaris desfac\ teurs; combinant cette propriété avec celle des signes -f- et —, d'indiquer les manières d'être opposées des quantités, j'en déduis que dàiU'lâ division de deiijc

PRÉLIMINAIRE. xl^l

puissances et une même lettre ^ la règte des exposans

est toiqours de retrancher texposant du dhiseur de

cebd du dividende; le reste ^ positif, négatif ou zéro,

exprime If exposant du quotient. De sorte que Vex-*

posant positif indiquant des multiplications j Fexpo^

sont négatif indique des divisions. J'insiste fortement

sur ces propriétés des exposans. Je démontre rigoa«

reusement j que p eXq désignant des nombres en^

tiers quelconques^ positifs ou négatife, on a

àFO» = aP-^^ et ^ = a^-^.

La décomposition du produit de deux facteurs pdynôines^ conduit à la division complexe. Je dé^ montre cette règle avec le plus grand soin; et je fappliipie à des exemples qui présentent toutes les difficultés que l'on peut rencontrer. Je fixe le vé-^ ritable sens cru'on doit attacher aux grandeurs des quantités algébriques^ et* je prouve qu'on peut toujours parvenir à un reste moindre que le diviseur. La division conduit aux fractions littérales; je donne des méthodes abrégées pour simplifier les calculs. La réduction d'une fraction littérale à sa plus simple expression , conduisant à la recherche du plus grand commun diviseur entre ses deux: termes y ilparaitrait naturel de donner le plus grand commun diviseui* algébrique. Mais cette théorie y qui ofire des dîffiçidtés réelles^ n'étant nécessaire que dans4a théorie générale des équations , j'ai cru devoit la renvoyer. à la fin de ce volume ; les Elèves seront alors asse». exercés pour la comprendre. Je complété le calcul ^el>riqu,e^ ei^ démojatji'2iftt avec soin les propriétée*

rivîij DISCOURS '^

des nombres premiers entre eux. Ge& propriétëtf . î^tl serviront à établir rigoureusement les principes re^.. 2!^ latifs à Yanalfse indéterminée et aux quantités incom* t mensurables. J'en déduis ijpi une fraction qui n'a plus ^^ de facteurs communs entre ses deux termes est irré^. -^ ductible; ce qui démon ti*e la règle donnée en Arith-. ^ métique pour réduire une fraction à sa plus simple .^ expression. Il en résulte qu'im nombre premier^ qui ^ dii^ise un produit, divise nécessairement Vundesfao» ^ ^teurs; et qu'e/i élevant les deux termes d'une fraction ^ irréductible a des puissances quelconques , lafraction -^ qui en résulte est irréductible. Je passe ensuite à , l'examen des relations qui existent entre les signes , des facteurs et le signe du produit; ce qui prépare à la théorie des imaginaires. Ënfin^ j'applique les méthodes précédentes aux solutions de plusieurs {mtoblèmes. ^

Pour lever toutes les difficultés^ j'examine avec soin les circonstances particulières que peut offrir la solution des problèmes ; j'insiste particulièreitient 'Stir l'interprétation des. solutions négatives ; et je prouve que les signes + e^ -— indiquent toujours les ma^ nières d'être opposées d^s quantités. Je donne' iiiie règle générale pour interpréter les valeurs des inconnues ; j'applique les diverses parties de cette règle à V Analyse complète du problème, des Couriers y présenté sous le point de vue. le plus général. Je fixé le

sens qu'on doit attacher aux expressions -,-, S^O)f

• (1) La tiiéorie complète des fractioïis qui se réduisent à | , oiTrant d'assez grandes dii&cultés , .j'ai cru deyoir la renvoyer

PRÉLIMENTAIRË. xlîx

tl )e prouve que les^ conséquences déduites des for^ nrales algébriques y s'accordent toujours avec la nature de la question. Je déduis d'une formule générale y les solutions de tous les problèmes des cou-* liers, traités dans l'Introduction.

La substitution des lettres aux nombres connus conduisant à des équations compliquées ^ je fais re« marquer qu'on peut simplifier les calculs , et rendre les résultats plus symétriques ^ en représentant les CQefEciens d'une même inconnue par la niéme lettre, affectée d'un ou de plusieurs açceiis y suivant le nom* bre des équations. On en déduit des formules générales pour résoudre toutes les équations déterminées du premier degré. La comparaison de ces équations avec les formules qui donnent les valeurs des inconnues, conduit à )me règle générale pour former ces valexirs à l'inspection des équations proposées. U en résulte que le numérateur et le dénomi-^ nateur des valeurs des inconnues ^ dans m équations du premier degré entre m inconnues y contiennent