DO O

Les 36o t. da a* ouv. seront faîtes en 36o fois ^ h. , on en. . . 60 h. Le temps demandé est donc 60 heures,

118. Un premier ouvrier , qui travaille dans un premier ter-* rein , fait en 3S heures, 288 toises d'ouvrage; un second ouvrier, qui travaille dans un second terrein,faU en a4 heures, 9 G toises d^ ouvrage. La direté du i" terrein est à celle du second , commet 3 est à 4. On demande le rapport des forces des deux ouvriers,. Si les deux ouvriers travaillaient dans le même terrein , le rap^

À L* ALGÈBRE. 69

port de lenrs forces serait évidemment égal au rapport des ouvrages faits par eux dans le même temps. Cherchons donc ces ouvrages. Les dilHcultés étant comme 3 e8tà49 les ouvrages correspondanssoqt dans le rapport inverse , c'est-à-dire comme 4 est à 3 ; l'ouvrage fait dans le a* terrein y est donc les | de l'ouvrage fait dans le i*'. Cela posé. . . .

Le !«' ouTrier , en 36 h. , dans le i«»" terrein , fait a88 U

!«' oav I h 1er terrein , fait le 36« de a88 I. , on 8 1.

X «>' ouv I b a* terrein y fait les 7 de 8 t. , ou 6 t.

leroay a4h a» terrein , fait 34 ^<^^^ , 6 t. ,oai44t

3* OUT • . 24 h 2« terrein , fait g6 t.

Puisque dans les mêmes circonstances , le 1*' ouvrier fait 244 toises^ et le second 96 toises, la force du V^ ouvrier est à celle du a', comme i44 ^^^ à 96, ou comm^ Z est à a.

ng. Un premier ouvrier , qui travaille dans un premier ter* rein y fait en 36 heures y 288 toises d'ouvrage; un second ouvrier , qui travaille dans un second terrein y fait en a4 heures ^ 96 toises d^ ouvrage* La force du \'^ ouvrier est à celle du second y comme Z esta ï^. On demande le rapport des duretés des deux terreins. Les duretés sont^ en raison inverse des ouvrages faits par un même ouvrier, travaillant le^ même temps dans les deux terreins. Cherchons donc ces ouvrages. Les forces des ouvriers étant comme 3 est à 2 , lorsque tout est d'ailleurs égal , l'ouvrage fait par le a' ouvrier est les f de F ouvrage fait par le i"". Cela posé. . , .

Le i^r onvrier, en 36 h. , dans le i^r terrein , fait a8B t.

ler ouv ifa i«r terrein, fait]e36e dea88t., on 8 t.

i^r OUT !k4 h I*'' terrein , fait ^4 ^^^* 8 1. , ou 193 t.

a« ouv 94 h '*' terruin, fait les ^ de 19a t. , ou ia8 t.

a* ouv a4 ^ ^* terrein , fait g6 t.

. Lçs ouvrages faits dans les deux terreins , et dans les même» circonstances , étant comme ia8 est à 96 , ou comme 4 est à 3 ; les duretés des terreins sont comme 3 est d 4.

Co INTRODUCTION

lâo.. Les forcés de deux ouvriers sont comme Z est à filles duretés de deux terreins sont comii^e 3està4} ^^ i*' ouvrier^ travaillant dans le i"" terrein , fait en 36 heures , «88 toises du t^ ouvrage, Combieh le second ouvrier ^ travaillant dans le a* terrein , fera-t-il de toises du second ouvrage en a4 heures ? Les forces des ouvriers étant comme 3 est a a , / ouvrage jait par le 2' ouvrier est les f de t ouvrage fait par le 1" ; les difficultés étant comme 3 est à 4 , les ouvrages faits sont comme 4 est à 3 ; l'ouvrage faiû dans le a' terrein , est donc les f de T ouvrage fait dans le 1^'. On dira donc. . . .

Le i«» ouvrifr, en 36 h. , dans le i«f terrein , fait si88 t.

i«r ouv I h i*r terrein , fait le 36« de a88 t. , ou 8 1.

!•' onv I h. ...... . 2« lerrein , fait les 7 de 8 1. , on 6 t.

a* ouT. I h a* terrein , fait les s de 6 1, ^ ou 4 ^*

Le a* ouvrier, en a4 h') dans le a® terrein ^ fait ^4 ibis 4^-9^'^ 9^^* Vouvrage demandé est donc 96 toises,

lai. Un premier copiste qui travaille le jour , et écrit en

ronde sur du papier de première qualité , a fait en a4 heures ,

34^000 lettres d'un premier ouvrage. On demande combien un

second copiste qui travaille la nuit et écrit en voulée sur du

papier de seconde qualité , fera^ de lettres d!un second ou^

vrage en 480 heures. On suppose , que les vitesses , du \" et

du 2' copiste stfnt comme 5 est à 2 ; que les difficultés de

travailler le jour et la nuit sont comme 3 est à 4 / q^^ ^^ ^if"

Jicultés de la ronde et de la coulée sont comme 5 est à 6 ; que

les facilités d'écrire sur les papiers de 1^' et 2* qualités sont

comme 5 est à3; et que les difficultés de lire le i'^ et le a*

ouvrage sont comme 4 esta i5. Les vitesses des copistes étant

comme 5 est à a ; quand tout est d'ailleurs égal , l'ouvrage

fait par le 2' copiste est les | de P ouvrage fait par le 1^. Les

difficultés de travailler le jour et la nuit étant comme 3 est

i 4 > les ouvrages correspondans sont comme 4 est à 3 ; /*om-

^rage fait pendant la nuit est donc les \ de t ouvrage fait pen^

dant le jour, Les^dUScultés d« la ronde et de la coulée étax^^

eomme 5 est i 6 , les ouvrages correspondans sont comme 6 est à 5 ; F ouvrage fait en coulée est donc les \ de l'ouvrage fait en ronde. Les facilités d*écrire sur les papiers de 1'* et s* quaEtés étant comme 5 est i 3 ; l'ouvrage fait sur le papier de a' qualité est les ^ de l'ouvrage fait sur le papier de i^* qua* lité. Enfin y les difficultés de lire les deux manuscrits étant comme 4 est à 1 5 , les ouvrages correspondans sont comme 1 5 est i 4 > ^ouvrage fait en lisant le sf manuscrit est donc les •^ de Fouvrage fait en lisant /t 1'". La solution du problème se déduit de ces remarques. En effet. . . •

hê I** copiste f travaillant le jour, en ronde , rar du papier ^e i'* qualité, et lisant le i*' ow/rage , fait en a4 heures a4oooo 1.

I*' c. le î» ^ CD r. 9 i^*q., i*r oav. fait en ih.,lea4*de a4ooool. ^ ou looool. ,

2« j r.» i>'«....itr ib.,let ede ioo<k>L^ on '4<)<>o^**

a*c.laii r. y !'•.... itr ih. ylea jde 4<><'o'-; <>^ 3oooL^

a* n c, ti^ i«r ih.^letgde Sootfl.yOU aSooL»

2* a e.| a* i«r ih.,let^de a5ool.;Oa i5ooL,

3* n c, 9« a* ih.,les-^de iSool. ^oa 4<^l.y

£e a* copiste, trai^aillant la nuit , en coulée ^ sur du papier d» a* qua^^ llté , et lisant le a* out^rage , fait donc en 480 heures y Ifiofois 400 lettres^ 9M igaooo lettres,

laa. L'examen attentif des diverses parties de la solution précédente^ conduit à une méthode abrégée. En effet, pour passer de la 3* ligne du tableau à la 8*, on a pris successivement les I de i(X)oo lettres , les | de ces f de 10000 lettres , les | des 5 des 5 de 1 0000 lettres , les f des f des | des f de 1 0000 lettres ; enfin les ^ des | des | des | des f de 10000 lettres Mais la^ao tion de fraction exprimée par les ^ des f des -| des ^ de f , a poto Tale«r le produit des fractions simples qui la composent (A. n? 128) , c'est-à-dire ^X | X i XjX f , ou^, ou^ij; il suffisait donc de prendre la 25' partie de 10000 lettres , qui tôt 400 lettres. Ainsi , ayant trouvé que le i*' copiste, tra-

Ka I NT R O D U C t I O N

vaillant le jour , en ronde, sur du papier de i'* qualité, et lisant le i*^ ouvragé , fait en i heure loooo lettre» , on pouvait, en déduire , par une seule opération , que le a* copiste , travaillant la nuit, en coulée , sur du papier de a^ qualité , et lisant le a* ouvrage , fait en i heure le aS* de loooo lettres , ou 4oo lettres. On peut profiter de cette simplification dans tous les problèmes relatifs aux rapports directs et inverses.

1 aS. Un 1 "" copU te qui travaille le jour, et écrit en ronde, sur dtL papier de i*"' qualité, a fait en a4 heures, a4oooo lettres iun i" ouvrapçe. Un second copiste qui travaille la nuit, et écrit en cqu^ lée, sur du papier de a* qualité, a fait en 480 heures, iqaooo let^ très d'un second ouvrage. On suppose, que les vitesses du l'f et du Q* copiste sont comme 5 est à 2 ; que les difficultés de travcdller le jour et la nuit sont comme 3 est à 4; qtie les facilités d'écrire sur les papiers de 1^' et a' qualités sont comme 5 est à 3; que les difficultés de lire le 1" et le a' ouvrage sont comme 4 ^^ à 1 5 On demande quel est le rapport deù difficultés de ta ronde et delà coulée. Si, tout étant d'ailleurs égal, on connaissait les ouvrages faits en ronde et en coulée , les difficultés correspondantes seraient connues , car elles seraient dans le rapport inverse. Calculons donc ces ouvrages. . .

Le I*' copiste f trayaillant le ;our, en ronde , sur du papier de i'^ qualité , et lisant le i^^ ombrage , fait en si4 heures **.p* a4<>(><^ '•

i«ï'c. lcj.,enr.,ii"« q. , i«rouv. faitcn i h., le 34® de 340000 1., ou looool^

9* j.. ..r. , ire... .lerouv ib.^les ^ de iooool.,oa ^ooo\,

a^.. Jan.. . .r. y ire. .. .ler onv ih. ,le8 -rde 4000I. ,oa 3oool,

.ji« n... .r.,a« le'ouv ih.,le8 ^de 3oool.,oa 1800 1,

^«.i. ..n....r. , a«... .2« ouv ifa. ,]es-^de 1800 L, on 4^^

a* n....r.,3e a* ouv 4^0 b. , 4^0 fois.. 4^ '• » ou a3o4oo 1,

a n... .€.,3^ 3C ouv 4^^ .* 193000 I.

Puisque, tout étant d^ailleurs égal, les ouvrages faits en ronde et en coulé* tom comme a3o4oo est à 193000 , ou comme 6 est à 5. Les dificultés dm £t ^ r9nd9 et de la coulée sont comme 5 est à 6$ "^

Jk L' À L G £ B R B; 63

ijBê exemples précédens suffisent pour mettre en état de résoudre tous les problèmes relatifs aux rapports directs et iiiTirses.

mOBLÉMES SUR LES NOMBRES COMPLEXES:

iik^^ l^ojarne pas afiTaiblir Tattention de l'élève , en la fixant inr mi trop grand nombre d'objets , nous n'avons con:iidéré que des nombres incomplexes ; mais les raîsonnemens seraient les mêmes , s* il s* agissait de nombres complexes; on les convertirait tabofd en fractions irréductibles (A. ,n® aaa ) , et la question semil ramenée^ opérer sur des nombres incomplexes , ce qu'on exécuterait sans peine , au moyen des raisonnemens déjà em- ]lioyés dans cette Introduction, Quelques exemples suffiront pour leyer tontes les difficultés.

laS. Deux aunes ^ de drap coûtent 6^ â^ 6^. On demandé h prix de a aunes f du même drap. Après avoir substitué aux sombres complexes a ^ , a f , 6^ a*^ 6^ /les fractions irréductibles'équivalentes \y ^, ^^; on dira. . .

une aune coûtant.

s d'annc coûte le 7« de ^ f

on.

f anne coûte 3 foif 8 ' ^^

1 <• Al m 'i**

• d ame coûte le 7* de -rr » on<

— d'anne coûtent i8 fois. ... ;v » on.

Lu A aunes f de drap coûtent donc ^*, ou 6^ i5<^.

is6. Deux aunes f d'une toile de i'' qualité à -^ , coûtent II* l5^ 8»^ f- Çi*e/ «fou étr^f le prix de 5 a n.es J d^une toile ïiêtf qualité àrs^ Lau' qualité est les ^ de la i^'.

64 INTkODUCTIOir

3«. oa-7- dei^'onalité à — coûtant ii*^ i5^ 8^^» ou....— r 4 4 ^ la 7 14

1 1* de i'» q — coûteront 4 ">»» — r » ou. • .

^ la '4 7

i« de f* q. ...«• -^ coûtera le is* ae«... '-^ » oa... •«-

i«de ir<'q....t. — le 5* de — $

^ la 7

I* de i'« a -*- 7 fois - > ou. . . 6*

I* de a« a -*• Ict - de 6"^, ou . . . —

* la ^ 7

- dea^q -^ le tiers de... — » ou... —

3 ^ la 7 7

-r^ , on 5^ ^ de a^ q -^ coûteront donc 17 foU — y ott. . • . -22^.

3 o * la ^ 7 "^ 7

Les 5 aunes | <& toile de â' qualité à ^, coûtent donc ^^,

1 27. Zre prû: cie s aunes | <2'uii0 to£/e Je 1'' quaUté â ^^ cfi 11*" iS-^ 8** f . Combien aura-t-on d[ aunes dune toile de a' qua^ lité à -ï^, pour suf 5^ 8^f ? ia a' qualiié est les ^ de la T'. Si Ton répète une partie du calcul précédent , on trouvera que le prix d'une aune de toile de a® qualité à ^, eal ^^ ; on dira alors ; comme pour ^^, on a 1 aune , pour 3o^ on aura 7 aunes^ pour 1^ on aura le 3o* de 7 aunes y ou ■^'^ , pour ^^ on aura le 7' de ^''j ou j5^ d aune ; pour 24^ S*'* 8*^1, ou ^% on aura ^ donc 170 fois ^ d'aune , ou -^ d'aune. La réponse à la question

est donc -Ç d'aune^ où 5 aunes |.

ia8. Huit ouvriers qui travaillent 56 minutes par jour y ont -

3 ouvriers f^ qui travailleraient 3 heures 38 minutes rrpoT jour, ■

Jferaient^iU du même ouvrage en h jours ? Après avoif subsMbé r-

aux nombres complexes lès fractions écpiivalentes f*», ^/f?î *

on effectuera \p cdcnl de la ittanière suivante « • «

6 DUT. traTftillant ? b. par j. , pendant a j. ; font ^ t*

& ODT sb 2 j., fera Je Se de --^t.,oa - u

I OQT ».. 7 h ai., fera s de -t., ou -u

I ouT ih 3]., fera 5 fois - 1. , on - 1.

tour |h ii.,fera ~ dt -t.. on —7 1.

3onv.., ib ,.... I ]., feront 3 fois -7t. ,ou -7C«'

3 ouT — h I j. , feront — de -^r t. , ou — t.

Lo . » r . / r • '5 ^ 3oO

3 OUT -^ b II., fcrontio fois -77 1. , ou — e*