II
Les 3 onv — b Si-, feront 5 fois — t. , 00 *^ — t.'
La réponse à la question est donc ^^\ ou 19* oP^ loP^ 7" j^ ,
129. Une garnison de 100 hommes a des vivres pour 9 jours 5 heures a5 minutes f . On demande pendant combien de temps Us mêmes vivres dureraient à y5 hommes. Le nombre corn-* pksze ai 3^ â? f étant exprimé par la fraction irréductible ^
de JQfiir , on peat dire que . . .
106 >"iT>f ont dci TiTfies ponr • . '^^ |Ott }
i5 • i5oo I fcif— — ^ aana donc des tîyics pour 100 fois — jonr^ ott. . . " joot i
4S kooi^KftaiirQnt donc dfes mics poor le 75^ de- jour , on — ionr.
Le y* de Qo jours donnera fif ao* Z^ j pour réponse à la ipiesiitnu
i3o. Vn paricutief a placé ti3S5^3^ 6^ 8* , & 1 1 juillet de Ab» 1800 , à 4 heures 5 minutes y après midi. On demandera se monte t intérêt simple de cette somme ,lei5 décembre tan 1801 , à 10 heures 56 minutes f après midi. Vintérét de XixT est 17^ a^ lo** *. Si le tempt éconlé d'une époqoe i Tastre était cçnxm , il serait ficile d'en déduire ritt-,
térêt du capital pendant ce temps. Mais , d'après la règle quv j*ai donnée dans mon Arithmétique (n^ 24^) > ^® temps écoulé..*
Au i5 décembre 180 1 , à 10^ 56^- après midi . est 1800" 11"* li/a^^SG'-*
Au II juiflet 1800 , à 4* 5' - après midi j est 1799» 6» 10/ 16* 5'-" Le temps écoulé entre ces deux époques est donc. . . i* 5*" 4^ iS* 5i'>«
Or les nombres complexes 233333*' S-^ 8**, 17*^2^ lO^'y* T*" 5™ 4^ G*" 5i' y , sont exprimés par les fractions irréductibles l9ooooit^ ijoif^ 10 ^j^g . l'énoncé du problème peut donc prendrt
cette forme plus simple :
L'intérêt annuel de 1 00''^ étant ^^^) quel doit être l'intérêt de ^—3°°°^, pendant ^ années? On découvrira cet intérêt au moyen du calcul suivant. . .
li^intéri^t d^ 100* en i an , é^nt — > ^
. Vii^térét d« 1"^ en I an ^ sera -=— « ou. »• fc ' ^
L'intérêt de 1'''' en 10 ans. sera 10 fois ^^ 9 ou. .. -—, 1 1
Lintérét de i"''" en — ans , sera le 7» de — 9 ou. . . 7- > i
l^ja^tétét de 5.. en — :ans, serai le ùfin 4* 7- ' ou.,, " S ' !
»3- .J A J 70oooo^^. 10 r • 4^ Aooooo'ft ■•
; la intérêt de ^ •■■>:■ en — an» , sera 700000 fois «r- 9 on . . • ^Urr-f- • ^
^ Le.y' de 400000*" donnera 6714^* 17^ i^^f ,pour'*Éj:7d?iiédiii t , çvfistion. ■ :i
i3i . r/71 marchand est entré dans le commerce avec SoSS^f^' j . -1$*^ 6^ 1; ses fonds qui se sont renouvables d^ mois en mpis^ bu k . ont rapporté chaque fois 1^ i^^ 4* f9W iço^^ On demantf^ ïétat de sa fortune après 2 mois iS jours. On substituera d^^bpigl aux nqmbres complexes , les fractions équiv^lenties ^V^i^f^Tf^-. 1^. Pour calculei: ensuite h v4eurde 1^ après 2 mois 18 JqIuVjh^ on dira. .. ■ ■ \''^
L^iii(iéi#c ^0 100*' pendant i mois ^uht * »
L^inlérét de 1^ pendint i môi« . e«t - — 9 oio » JL
" ooo • ' Oo •
• '1 ^ -x it" '
L'intérêt de i"^ pendant i jour est le So* de tt- > ou — — .
ho ;, .:><)viji
L'intérêt de i"^ pendant 18 jours ekt 18 fois —7— > ou J.. ,
' * 1 -ff" ' ' * r it
\*ytiut après i mois. i^ nlus^n im«rêt,rr- « ou ~ »
•Oo 60
1* mut donc après a mois , ^. - x ^- f n° 80 ) , ou .*.... i-^-î »
1^ Tant sprii :<8 joan. . ; . . 1^ plus' ton iiicrfrét -^- , ou^ . . . L21 •
îoo loo
^ Sfe: ^*^« 'lonc aprèft iS jours , les ^.— . de ^Ir ou. . * . •^^5lZL\
On voit uar ce jcalcul qu uq, capital 1^, qui vaut après ua »w)i« -ffè^i V#»ût ^rès 2 mois psi^j <?t après â mois 18 jours ^ {Jllli"^'. Puisque 1*^ vaut apr^s 9 mpis. i8 jours ^||^^, le
pital ZoSSiit S-^^.S'^ |, qui est les V?;""°.de i^ vaudra apr^s^ 3 m'ois 18. joui^'ïés ài^ili àe';5^j|^^, qui sont Ssa^iSa^ 5"^. 6^ f . Cettq..dçrf^i$,pe somioe expri^ie la fortune du marchand » après â mcji; li jp.urs ; mais sa fprtune primitive était SoSS?!** gj* g^ i Le. bénéfice du marchand e;ft donc i356o^ ii'^ i^ 5.
Si Ton n^iiyait pas égard aux intérêts des intérêts ; comme f mok 18 jours v/ilent les -U d*UB jpaois^ Tintérêt de 1'''' pendant à mois 18 iours, serait les ^ de l'intérêt -j^*, de 1^ .par mois^ ç'est4-ïiEe'y;^^; Tinter et du capital ^^^^^, serait donc lef r^r^ de â^%.o,u ?^~^, 9« 1537^* 8*^ 6* 5;. Mais quand oa 9l ëgaid ai^. intérêts des intérêts, le même capital, peifdîmt le m^e tie]ii|]i|ij apporte i356o^ 17*^ i^y-, l'avantage des intérêU def inpérét^ sur Us intérêts singles, est donc 189^ ^^ ^ r .
- liai. Unf iêtire dê'vhang^ de .sS^^ 6^ 8^, est fayàhte dans a ^M.S'inoAf.* On demande sa valeur ^KHUelle i f argent e^'étàc^ paBr'106 juai-joiy et l'on a égard' àmx> intèféts des îMéréts, It Ùf^t de trouver combien a3^ 6^ 8^^, payables dans a ans 6» Mis, Talent comptant. On trouvera, cotntne dails le u*'64/ qpa 1^ argent comptant vaut ^*^ aprèa» 2 ans 5 mois^ 4^ ptt)^ahi#-
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dans 2 ans 5 mois , vaut donc ^^ comptant; les sZ* G*^ 8^; j ou ^*^ pcyables dans a ans 5 mois, valent donc en argent b comptant, les ^ de ff^, ou V/ï^^, ou 8** 1 1^ 7^ ^. Si Y^xàrr^ cherche ce que cette dernière somme vaut, dans â ans 5 mois^ : on retrouvera les a3*" fi*^ 8*". j
i33. Deux personnes entrent dans le commerce avec la mém§ \^ somme 81000*". La i^' personne , qui renouvelle ses fonds ioûâ les trois mois, revend 1^ i5-^ /^ ce quelle a acheté i^^i la a*. personne, qui ne renouvelle ses fonds que tous les quatre moisf fait chaque fois le même bénéfice sur la vente de ses-^matckant» iUses, Il faut découvrir quel sera F état de la fortum de chaque^ marchand^ aptes un ah. Le nombre complexe i^ iZ-^ i^, est équivalent à la fraction irréductible 4*> qui exprime les •§ de 1^ ; le prix de vente est donc les | du prix d'achat. La solùtion du pro* blême se déduit immédiatement de cette remarque'. En effet , la 1 '•personne achète d'abord pour 8 ïooo^de marchandises^ qu'elle vend dans le cours du 1'' triniéstre, mo^jrençant leç | du prix" ' Siooo*' 'd'achat i c'est-à-dire pour i55oob*., La 1'*' personne replace à chaque vente , la totalité de ses fonds ; ainsi le prix des marchandises achetées au commencement dii a'' trimestre^ ^ est i35ocx)*-, le prix de vente, qui en est lès fi" est donc fia5ooo''^i Le prix des marchandises acheféies âû* commence- : ment du 3* trimestre, est ia5ooo^: on les vend à la £n d« ce trimestre , moyennant les f de 325000*" , qui sont 376000^;, Enfin , au commencement du 4' trimestre , on a âèlieté" pom^ 5j5ood^ de marchandises ; on les revend à ]à fin de çé tri^ meslré^pour les | de 375000^; qui sont 626006^ -/le î^mdri ' chtmd, après avoir renouvelé quatre fois ses fonds dans le couri ■ de l'année, aura donc 6a5ooo^. On trouvera dfe'Iâ' iinèmé'mjH ■ llière ^ue le a* marchand, qui, dans le'cows de tannée, a «-• ' nouvelé trois fois ses fondis , aura 576000^ /coaséquemment^ . ^près nn an , la fortune du 1^ marchand surpassera celle du a^j^ 4« aSopoo** La spéculation dui'^ marchand est donc la plup ' av(mtageuse. L'avantage de cette spéculation tient seulement, àce ^let fond^ du i^' marchand ont été plus souvent renoi0 ;
A L* A L G £ B R E. Sg
télés que ceux da a*. On voit, par. cet exemple , eomlHen il est
mporiaiU de renoui^eler ses fonds le plus souvent possible,
i34- Partager ^ , en cinq parties , dont la i"' soit à la 2' comme j est à i; dont la 3' soit à la q' comme ^ est à ^ ; dont la 5* soit à la 4* comme ^ est à ~ ; dont la 5' soit à la if comme ^ est à ^. Si Ton réduit ces rapports à leurs plut fimplef expressions^ on trouvera
ITtpièi
^ ao
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: ai
.aî5 7a
proportion! ^
la a« partie est les - de la ire- la 3« est les - de la an
I la 4^ partie est les -^ de la 3* ; la 5« est les - de la 4««
I Donc , si la !•'• partie était 1 , la a" serait î , la 3* serait le» I f de I ou H, la 4« serait les ir de -J^ ou ^ ou f , et la 5« se^ I rait les f de I ou f. Les parties demandées sont donc proportionnelles aux nombres i > !> ri» | , f • Pour exprimer les termes de ces rapports par des nombres entiers » on les multipliera par 38^ qui est le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs a, 4>7> ^4> les produits a8, 4^, 3o, si» a4» seront les nombres qui expriment les rapports des parties demandées; de sorte que la question est réduite à partager /# nombre ^j^ y en cinq parties proportionnelles aux nombres 98, 4^» 3o, âi , a4- ^OMV trouver ces parties, on dira, si k nombre à partager était la somme i4^ ^^^ parties pro— portionnelles a8, 4^, So, ai , a4, les cinq parties seraient A^ /fl, 3o, ai, a4; si le nombre à partager était la i45* partie de i45 , ou 1 , les parties devenant i45 fois plus petite* seraient^, ^, ^, ^, -^., mais le nombre à partager «t les ^ de 1 ^ les parties demandées sont donc les ^ de^
yo I N T R O d'u C T I 6 Pf
précédentes.' Effectuant les calculs, on trouve que les parties cherchées sont
■ ' là »-*6 AS' fi . ^»
£//e5 satisfont à toutes les conditions du problème, cf^^ leur somrae çst le norijbre ^^ à partager ; et il est facile' «'assurer qu'elles conservent leç rapports demandés ;
exemple ^.
la 1'* partie : la îà*:^.^:i^:: 64: laG :: 2: 3:: f :|: : f : J.
