TVoû joueurs conviennent que celui qui perdra doublera
t argent des deux autres } de sorte que chaque gagnant reçoit
autant dC argent qu'il en a. Le \'^ joueur perd la i*"' partie ;
le Qf joueur la a-, ^t Je 5^ joueur la 3'; ils ont ahrs chacun ajf^^
On demande ce que ch^ife joueur avait en entrant au jeu, Cf
qui précède suffit ptur £aire voir que la niarche à suivre dana
la solution d*un problème ^ est toujours d^ chercher à décou*^
vrir les quantités. iMConnujB).! au. moyen des relations qu'elle^
ont avec les quantités connues. Ces relations sont plus ou moine
diffidies à apercevoir , c'est ce quif^ )a plus^ on moins grande
difficulté des qnestioq^. .Nous verrons que dans cerjijaifis pi^
hlèmes , ces relations sqnt tellem^l^it q^çppUquées , qail .est
impossible dé découvrir;> piar le raisonnement seul , la val«uf
des inconnues v on sentira alors la nécessité d'introduire da
nouveaux £^116^ ^ et^roh commencera ainsi Y Algèbre 9fc^%
aqoçne diflSculté. La- pl^is grande par^e* 4es problèmes se
léioLvent plus facilement par raIgèlH:e;que par ranthm4t;^(pe ;
ccidi qui nous ocçtrpe est du nombre de ceux qui font excep^
tion ; sa solution par l'arithmétique est trèsTsimple ^ tandis quf
par l'algèbre » on sera çipnduit à des calculs beaijeoup pl^p
• Revenons i nMrè'^bblème : Pour le rélMDudre antllméti- ^nemént^il faut ^ ;piarttfnt des quantités «^iinues, remonta: soèieéssivement ver»heé quantités Incônnnes , en exprimant avec tiSn • tontes ses côhditiofns. L'ar^nl^ de cfa)aque joueur èfaflt litamàtefiflidfliiS* pàrtia. et «adlIUft qM i^oi qui * pm4«
■ î" •. ■ . ' ■ • . ■ J •» li ».l^ ■ 1 '.
tfi I N T R O D V C T I\9 N
a doublé Taiigeiit Ses dèmc autres^ ob; etct certain que chactiiRr des deux joueurs .qui a gagné une pairtie > avait avant cette partie , la moitié de ce qu*il a après cette partie , et que le perdant avait ce- -qui lui reste, plus eè qu'il a perdu. te*aprèa cela , U eit trèsrfajcûle. de remonter de la 3® partie aux précédentes,. Voici le tableau de Targent de çl^aque joueur à la fia de chaque partie ; Texplication &uit , . . .
Fin de la 3« partie, i«i* joueur 24"^; a«... a4^j 3o... 24^.' .:* , .Fi» deJa ae. partie., i«r joueur la'Tj 2®... 12*: 3^,,. 43*^ Fin de la i*« phrue, i»' joueur 6^j 2«... 4^*j 3«... 24^. Entrée au jeu, i**". joueur 39*j2«. .". 2i*"i 3^. . . la^.
• ,A la fiii de Jii'3^ partie y (Aâquë- jpiiettr'â si4*: ht j^jôueûr liyant perdu Itf S^ 'paiîtle -, ôdouMé t*a*géiit des tSéuJc autres '; ttfr àvàieiit donc- ôhâcun la* à la Sn d#4a -ia" j^rtiè ; le 3* joueur avait 48**/ puisqu^aprèâ avoii^"perdti 's fols 1 a* ou a4**» Slïuî'iteste encote i^^/l^tt 8e^ûds|»uétii*'â^ perdu la st* ^Më^; a< doublé raïgen^ des deux autres»' îMafvaient donc k la péfrtie, précédente'; '1a ibêkié des lîal* •€* ^S'^qti'ils ont; l^argeiit tfù 1 "jbiiètir /«près 1« r '^ pftrtie , est d«nc 6*; et celui du 3% , J^I^'iW î2«î )ouë«'i;ii^s = avbîr 'pie'r«ii^1î4*'ët'€<^; ou 3o*i'«%fr-
V*-^ j^tteîàr âyatttî«*dù la 1** pafrtié ^^â^âoîAMPl argent des-dcuk Uiffreil r^etefcûn tffetix^n'avaft éoric ^ëti^enfrant an jeuvqttèlà - ![Àoffl6'de ce qû'Ô é^^ih 6n de la !l^ pytie', ië à» avâif «dUiic 'i
«^<t, M«"fel i^Wrte'>7rtë«aht 'myëiP.
-; ! I49I-1 SR-ois impurs 4;pi^i^nent. q^,ç^if4pêr4f^ dpiàiera £ raisonnemens du n* 14^1 on trouvera^ en remontant de j4'^
I S* partie à la i'*, que les joueurs avaient 3G*", flc^, et lo**^ en se mettant au j«u. Voici le calcul. .... . *
A 1& fin de la 3* partie, le !«»* fcruenr a ^4^, le a» a ^Sif", le 3« a t4"^. »•* partie, Je i«r joueur a la'''', lé a«a i4"*J;, le 3« » 4<>"'''» 1 repartie, k i" joueuir a G*, le a^ a 4o*, le 3« a ao*"».
Donc, sn se mettanttiu jeu, ...
le i*'' joueur avait SGff", /e »• iip«i« ao^'", /« 3* avait lof^. '
i5o. Quatre joueurs conviennent que le perdant doublerçÇ f argent des trois autres. Le i*' joueur perd la i^* partie ; lé a', la as- h Z% la 3'; e* lé if.iàéf. Ils' sorteni: dit jeu auec 4o*", ao*", loS et 5**. Combien chaque joueur avait^il dargenê en se mettant au jeu? Si Ton raisonne comme datts le n® 148 ; on trouvera , en remontant de la 4* partie à la i", cjue Targent de chaque joueur est, . . t ' *
Fin (te la 4e partie, ler joueur 40*"} a«... îm)*-} 3«... io*j 4«... 5^^,
ftn de la 3« i»artie, itr f6tféii*/«o^î î>^-.-- lo**? 3«... 5^; 4«.'.. 4o^. '
^ de la se paifie , i«r jotKïiit ib*-| a*?.'. '5^; 3«'. .-.• 4o*j 4«. . . aoî»'. •
Fin de la l'c partie , *« )ôuvpr £*vJ»... 4<>*^*âf;.i. 20^ 4^-<'« 'o^-'
Entrée au jeu, i»' joueur 40*"} a«... ao*"} 3«.., io#"; 4***« 5^»
/>«' #mrfe i/ufà ila^n d^ là é^ partie, chaque j^ueura autant d'argenlt^ qù!il en avait en se mettant au jeuj\ . . • .
i5i ; Deux caariers partent au même instant ; Tun de Parit
pour Zyon , Vautre de Lyon pour Paris. En une hèureylepr^
mid^ Courier parcourt ^yliegttee.i et. le second a /û;i«eJ::« On de^
mande dans combien de, temps ces càuriersse'fwmiontreron^
tf m qu^es distances Us. seront alors dé Pari3}\Ily\n"ioo.lieue§
de Paris à Lyon» En une keure , le ; *f coiiriBiyf ait 3. lieues , et
le second a lieues ; mais ces couriers viennentl*ui\ vert l'autre;
ils se rapprochent donc en une. heure de 3 lieues plus a li^er^
oa 5 tieuea. Puisque les couriers se rapprochent dç 3 lieues en
fiBie heure » pour se rappipekèr, d'une lieue y A M'ieor faudra
^we I d'heure ; pour se rapprochëo: de la distJBvcê irà lieue»^^
^RbII^ séparait à Tinstant de leiur départ /il leùrj'faudrafdonç
IjX^ feîfr 5"d*heure /ou sKiiyheuresu Or le courîf r, qnl part da
*-]llps^{ût3U^es.par beur«) en 09 heures^ ilferftâàn&Solieuet.
8a INTRODITCTIOW
ïjes deux couriers se joindront donc après 20 heures de rtUarchêl et la distance de Paris au point de rencontre est 60 lieues.
En voici la preuve. Comme le courier qui part de Paris ^ tel 5. lieues par heure; en ao heures , il parcourra 6a lieues ; mail le courier qui part de Lyon fait a lieues par heure; en 20 heures il parcourra donc 4o lieues. La somme des chemins parcoural en ao heures par les deux couriers , est donc 60 lieues plm '^o lieues ,.ou 100 lieues. C'est effectivement la distance da Paris à Lyon.
i5a. La' théorie des rifppotis tondoit an même -téaultat. & f ffet , les'.çh^ms parcourus par lés courijers devant être pnh portionnels ^^ux espaces 3 lieiies et ô lieues qujis parconreift dans le même tQlPps/Qt;!^ somme de ces chepins devarii| composer Ta distance totale 100 lieif^s^ de» Paris à Lyon; oii obtiendra les distances du point de rencontre aux points départ y en divisant 100 lieiies, en parties proportionnelles ' nombres 3 et a.C^s parties sont: Solieues: et- 40 lieues ; expriment les chemins parcourus par lés couriers. - - ^
^ i53. L* espace parcouru pendant Vunité de temps , a r$ji^ ie nom de VjTésse* Ainsi ^dans iè problème précédeaty w^ vitesses des couriers sont les: espaces S lieues et fl li^es qtttt parcoureA^.en u^e heure. La vîtes^e^.du. sççcuid jcourier ^ Jes |de.çeUe du premier. . . ,,.., J^J^ [/ [■ . ,, . . ^, ^
~ i54* Deta^'toutiers partent au -même instant ,fA vont dam . Je 7neme<nB»«>>«n une keum^ le.T*î* courier parcourt 3 lieuéM*. et le J[6(ri>ny2v5\£euiar. Ouidèmànde dans combien de temfi. les. eourikr:^ làeï/aândront , ni quelles seront les distances de poinJts detdeparï'au.point de^ rencontre, La distance enire là points de départ^iesl 90 ' lieues, \ Si les» couriers marchaient^ ]$ment vite , [iU resteraient toujours à la même -distaBee-; mfl le courier ^û est; en amère«/£ait>p«r heure 0 lieues de flfel quei£elnr;qmestenavaDt; il s'en i:approôhe donc de âKetfl par heure. Paisqhé^les courierfir se rapprochent <le'iaf tienê» J «ne. heure, pour se ra|>pr<>€her d^ë lieue , il noi leur fi^ qu'uné.demi-henre ; et par coitséqaônt^ pour se rapprodf
À 1' A L 6 Ë Ë ft Ë. ' 8i
éiB la distance 90 lieues , qui les séparait à l'instant de leur départ , il leur faudra go fois une demi-^heitre , ou 45 heures. Ainsi , le temps cherché est 45 heures,
n est facile d'en déduire les distances des points de départ in point de renconttç. En effet, comme le 1*'' courier fait 3 lieues par heure ^ en 45 heures il fera 45 fois 3 lieues , tu i35 lieues \ mais le second courier fait 5 lieues par heure | tn, 45 heures il fera donc aaS lieues \ Us distances cherchées sont donc ââ5 lieues et i35 lieues, £n voici la preuve ; comme la distance entre les points de départ est 90 lieues , le courier qui était en arrière , pour joindre celui qui était en avant ^ a dû faire 90 lieues de plus -, et en effet , la route, aiâS lieues , dn courier qui était en arrière ^ surpasse de 90 lieues celle du courier qui était en avant.
i55. Deux couriers vont dans te même sens ; le premief a une aisance de 60 lieues , fait 3 Ueuês en une heure , ei fart 10 heures avant le second , qui fait 5 lieues par heure* On demande dans combien de temps les couriers se joindront , et quelles seront les distances des points de départ au point de i&iconire. Lt 1*^ courier a une avance de 60 lietres ; il part 10 heures avant le a", et comme il fait 3 lieues par heure » 3 a parcouru 3o lieues , quand le second courier commence à Aiarcher ; de sorte qu'à cet instant , le 1*' courier a sur le 2% une avance de 60 lieues plus 3o lieues , ou 90 lieues. Par con-> léquent , pour que le a* courier rencontre le i*', il faut qu'il • en rapproche de 90 lieues. Raisonnant comme dans le n** i54> on trouvera que le second courier rencontrera le i"', après 45 heures de marche. Le 1*' courier, qui est parti 10 heures ifant le a*, aura donc marché pendant 55 heures. Le a* couy qui fait 5 lieues par heure , fera en 45 heures , 45 fois lieues, ou aa5 lieues ; et le 1*' courier , qui parcourt 3 lieues heure, parcourra en 55 heures, i65 lieues. Ainsi, d^ iutoHtoù les deux couriers se rencontreront; le second^ qui marché pendant 45 heures , aura fait âa5 lieues , et /a ier , qui aura marché pendant 55 heures , aura parcoum lieues. On ferait la preuve comme dans le n° i54«.
Sa INTRODVCTI O'ir
i5ff. Deux cmiriers vont dans le même sens; le premier une avance c2e i38 lieues » fait 3 lieues enJ^Jieures^ et part heures avant le second , qui parcourt 6 lieues en 7 heures, demande dans combien de temps les couriers se joindront-^ quelles seront les distances des. points de départ au point rencontre. Cette question serait semblable à la précédente-^' si l'on connaissait les vitesses des couriers (n* i53) ; ntaiB ea '{ 4 heures , le i**^ courier fait 3 lieues ; en une heure il fera donc f le quart de 3 lieues ou | de lieue ; le a* courier fera en nue F heure le septième ded 6 lieues qu'il fait en 7 heures ^ c*e8t-4*f ^ dire |-de lieue. Les vitesses du i**" et duâ* courier sont donc f 4CT^ f de lieue. Raisonnant comme dans le n* i55, on dita il^y î*^ courier avait une avance de i38 lieues, il part 4^ heure» t: avant le a% et fait | de lieue par heure, il parcourra donc^ 4^ pendant ces 40 heures ^ .40 fois | de lieue, ou 3o lieues ; de sorte [fei qit*à Tinstant où le a* courier commence à marcher , le 1*' a une avance de 1 38 lieues plus 3o Keues, ou 168 lieues. Ltti a^ courier ne pourra donc rencontrer le 1*% que lorsqu^il $*et^ sera rapproché de 168 lieues. Cela posé» dans une heurt la' distance qui sépare les deux couriers , est augmentée de | dffV lieue par le côùrier qui est en avant: et diminuée de f de hena^l par celui qui est en arrière; le rapprochement effectif nW. donc que de f moins 1> ou -^ de lieue. Les couriers se rapprochent donc
3 • Il
de -7 de lieao » en x heure , • '.%
de 3 lieoes, en a8 beare» ,
a8 de I lieae , en rr benrei ,
de 168 lieuet, en 168 foii -?- heores , oa i568 heuicii»
Ainsi ^ après i568 heures de marche, le a* courier rencoi»- '~* trerale i''. Le i*"^ courier, qui part ép heures avant le fl% aum donc marché pendant 1608 heures. Le 1*'^ courier parcourt ^ d« ' lieue par heure, et marche pendant 1608 heures; il parcourra . donc 1608 ibis | de lieue ^ ou iap6 lieues; le a* courier fait/*
A L* A. JL G è B R E.. 83
ne par htnre et marche pendant 1 568 heures ^ il par** donc i568 fois y de lieue, oa i344 Heues. Ainsi, à \ de ia rencontre des couriers , le i" courier, qui aura pendant 1608 heures , aura fait iao6 lieues; et le fait i544 lieues, en i568 heures.
Deux couriers vont dans le même sens ; le i*^ a une ie floo lieues, fait 3 lieues en 4 heures, et part 4o heures *. 21% qui fait 6 lieues en 7 heures. On demande après i d'heures de marche le a' courier sera éloigné du 1 " de !f • Ce problème est susceptible de deux solutions , car lenes. peuvent exprimer ce dont le si* courier sera en ou en ayant du i**".
trouver dans combien de temps le a' courier sera en du i'' ib fia lieues, on dira; le 1*' courier, qui a aoo l'arance , £era*en une heure , le quart des 3 lieues qu'il 4 hanres, c'est-à-dire, ^ de lieue; il part 4o heures e 9* ; il aura donc parcouru ^o fois | de lieue , ou 3o quand le a^ commencera à marcher; le 1*^ courier aura OIS une avance de aoo lieues plus 3o lieues, ou a3o lieues ; itte avance doit être réduite à 6a lieues ; le a* courier doit I rapprocher du 1*' de a3o lieues moins 6a lieues, ou uea. Si Ton répète les calculs du n° i56, on trouvera
rapprochement se fera en i568 heures. Ainsi, après \eures de marche, le a' courier ne sera plus en arrière que de 6a lieues.
r trouver dans combien de temps le a' courier sera de tes en avant du i^, on dira; le a* courier doit se rapir du i"'^ des a3o lieues dont il est en arrière, et déensuite le 1*' de 6a lieues, de sorte qu*il doit réellement (9a lieues de plus que le 1*'^. MjÙs pour faire une lieue ■ que le 1*', il lui faut ^ d'heure (n^ ï56) ; donc pour galieiiesde pins que le i*', il lui faudra aga fois ^ d'heure/ i5 heures ao minutes. Ainsi , te a' courier ^ après avoif ^pendanA ajaS heures ao minutes, sera en avant dèt 6a lieues.
94 I n f H tj D u c r 1 a jr .
i58. Deux courùsn vont dans le même sens ; le i^ nvant y fait 3 lieues en 4 heures, et part 4o heures avai {/uifait 6 lieues en 7 heures. Celui-ci, après avoir i pendant i568 heures, est en arrière du 1'' de 62 liem demande quelle était l'avance primitive du 1^ courier a*. Le 2* courier fera en une heure , le 7* des 6 lieu» fait en 7 heures , c'est-à-dire f- de lieue; il marche p 'l568 heures^ il fait donc i5G8 fois f de lieue, ou i344 Le I*' courier fait par heure, le quart des 3 lieues qi en 4 heures , c'est-^-dire \ de lieue ; comme il part 40 ayant le a*, il marche pendant 1&08 heures^ et fait p ce temps,' 1608 fois'| de lieue /ou iao6 lieues. Le a* \ ayant parcouru i344 lieues , et le 1®' iao6 lieues ; 1^ i" diement est donc de i344 heues moins iao6 lieues^, ou lieues. Mais après ce rapprochement, le 2* tonner est en arrière du i*''^ de 6a lieues; l'avance de celui-ci etai de i38 lieues plus 6a lieues , ou de aoo lieues. Ainsi, /' primitive du 1'' courier sur le a*, était de aca lieues , a'accorde avec le n** 167.
i5g. Veux couriers partent en thème temps des deua opposés étiine montagne , et atteignent le sommet au instant; les difficultés des chemins , sont comme 4 est 0 les espaces parcourus , sont comme q est à 10, On demc rapport des vitesses absolues des couriers i Ce rapport é même que celui des espaces que les couriers parcourraie marchaient pendant le même temps sur la même route, il si calculer ce dernier rapport: Les difficultés des chemin comme 4 est à 3 ; les espaces parcourus par un même couric en raison inverse , c'est-à-dire , comme 3 est à 4 > ou coi est à la. Gonséquenmient , si le i**^ courier met une mi parcourir 9 toises iBur le i**^ côté de la montagne, il pan rait de l'autre côté la toisés dans le même temps; n rapport dies espaces parcourus par les couriers sur let côtés de la montagne , étant celui de 9 à 10, pendant! 1^' courier parcourt 9 toises, sur le i*'^ côté de la mpntag a* parcourt 10 toises sur le a* côté; les yîtesses absolu
tOHt donc telles , qu*en une minute , et sur le a,* côté lia montagne ^ le i*' courier parcourrait la toises et le a* lO is. La "Vitesse du \*^ courier est donc à celle du a' comme crt li lo , ou comme 6 est à 5. '
ife. Deux couriers partent en même temps des deux pieds 'uM montagne, et atteignent le sommet au même instant, vitesses absolues sont comme G esta b ; et les difficultés ï chemins^ sont comme 4 ^t à 5. On demande le rapport espaces parcourus sur les deux côtés de la montagne. Les î8 des couriers étant comme 6 est à 5 ^ les espaces parais dans le même temps sur le même terrein , par les deux riersi sont comme 6 est à 5; conséquemment ^ si en un« te le i*"^ courier parcourt^ toises sur le i" côté de la !• ; lé a* courier^ sur le même côté ^ parcourrait 5 toiser lie même temps. Mais les difficultés des routes sur le i**^ et la' côté} sont conmie 4 esta 3, les facilités correspondantes donc comme 3 est à 4; or 4 est les | de 3; le a^ courier, en une minute parcourrait 5 toises sur le i*' côté de la itagne ^ ne parcourra donc pendant le même temps sur le 'côté, qbe les | de 5 toises ou ^ de toise. Or en une minute i" courier parcourt 6 toises sur le i" côté de la montagne ; espaces paf courus dans le même temps sur le i^ et le a* côté la montagne sont donc^ comme 6 esta -^^ ou comme i8 est 90 9 on comme 9 est à lo. Le rapport demandé , des espaces sur les deux côtés de la montagne , est donc celui de o lo. Ce qui s'accorde avec la question précédente.
i6i. Un lévrier poursuit un lièvre , qui a 8â sauts de lièçre
fatronce. Pendant que le lièvre fait i3 sauts, le lévrier n'en
it que g ; mais 3 sauts du lévrier en valent 5 du lièvre. On
en combien de sauts le lévrier attrapera le lièvre. Si
était exprimé en sauts de lièvre, il n*y aurait aucune dif-
i ; mais 3 sauts de lévrier en valâbt 5 de lièvre, 9 sauts
lévrier en valent i5 de lièvre ; donc , si en une minute le
fait i3 sauK , dans le même temps le lévrier fait 9 sauts ,
valent 1 5' saut» de lièvre. De sorte qu'en une minute, le
lévrier ae rapproche du lièyre de a sauta de lièvre ; pour rapprocher des 8a sauts de lièvre ^ dont il était en arrièieî lui faudra donc 4^ minutes ; pendant ce temps le lévrier fait 4^ fois 9 sauts , ou 369 sauts , et le lièvre aura fait 4^ i3 sauts, ou 533 sauts. Ainsi» le lévrier attrapera le Hè^t^ 369 sauts, ' n est aisé de s*en convaincre ^ car 3 sauts àià. Yrier en valant 5 de lièvre , 1 saut dé lévrier vaut ^ de de lièvre ; les 369 sauts de lévrier valent donc 369I foia f eaut de lièvre , ou 61 5 sauts de lièvre ; mais le lièvre n*a l dans le même temps que 533 sauts ^ c'est-'àrdire 8a aants. moins que le lévrier ; le lévrier a donc etFectivement gagné le lièvre les 8a sauts de lièvre^ dont il était en arrière; i donc attrapé le lièvre. ■
' 16a. Une montre marque midi. On demande combien if^ fois les aiguilles se rencontreront depuis nUdi jusqu'à minml^ et à quelle heure se fera chaque rencontre. En une heure, l'iM guille des minutes fait le tour du cadran et parcourt tes fif divisions ; Taiguille des heures parcourt les 5 divisions qui parent deux heures consécutives ; les aiguilles se rapproehi donc de 55 divisions gar heure , ou d'une division, on ^ d'h Cela posé; si Taiguille des heures restait sur midi, celle minutes ne 1^ joindrait qu'après avpir parcouru les 60 di du cadran ; l'aiguille des minutes, pour joindre celle des beumj doit donc parcourir 60 divisions de plus, c'est-à-dire s'en rap^ procher de 60 di>dsions ; mais pour s'en rapprocher d*une division , il lui faut ^ d'heyre ; pour s'en rapprocher des 60 iSt visions, il lui faudra donc ^^ ou ■^*, ou i'^ 5' fx-. Les époqnei des autres rencontres s'en déduisent avec facilité , car le moi» vement des aiguilles étant uniforme , le temps écoulé depuis b réparation des aiguilles jusqu'à leur rencontre , est toujours I même, c'est-à-dire i*5' -n*. L'instant d'une rencontre , auff mente cfe 1^ 5' -^ , donne donc l'heure de la rencontre sui vante. On trouve ainsi que la 1 1* rencontre a lieu à la heures c'est-à-dire sur le premier point de départ des aiguilles.
i63. A midi, l'aiguille des minutes et celle des heures s trouvent sur la dousième hmre. Dans combien de temps cm
mguittes se rencontreront-elles pour la première fois. On sup^
que la montre avance d'une minute par heure. Comme la
montre avance d'une minute par heure, l*aiguiUe àes minutes
parcourt 61 divisions en une heure » et par conséquent » l'ai-
(gîOe'des heures , qui va la fois moins vîte^ parcourt en une
la la* partie de 61 divisions, ou f^de division ; ce qui
^&it nne différence de 61 divisions moins — de di^dsion , ou de
■^ de division ; de sorte que pendant une heure , Taiguille des
amntes parcourt ^ de division de plus que Taiguille des
[res; mais la 1'* aiguille, pour joindre la a*, doit parcourir
to divisions de glus ; nous dirons donc :
Cwnw pour le rapprocher de -^ de division , il faut i li.
pour le rapprocher de G71 dÎTisions , il faudra il b.
. pou M rapprocher de i divisioo , il faudra p — h.
pitNir te rapprocher des 60 divisions, il faudra 60 fois rr^ h.
^ JLetemps demandé est donc So fois y^\ ou i^ 4' {77*
i64- Un particulier a acheté 96 aunes d'un drap de Louvîers
à\, pour GSaS*', payables dans un an. Il retourne chez le
'même marchand; le prix de l'aune de Louviers à f est diminué
de to* argent comptant ; et , à dimensions égales , le drap de
Sedan a éprouvé une diminution de prix proportionnelle û sa
qualité ; la qualité du drap de Louviers est les l de celle du
imp de Sedan, En vertu de la diminution du prix des draps ,
ao aunes de drap de Sedan à ^ ne coûtent que g6o^ argent
amptanU On demande quel était le taux de l'argent. Puis-
^ la qualité du drap ^e Louviers est les ^ de celle du drap
ie Sedan , tout étant d'ailleurs égal , le prix du drap de Loit*
bi «wrr ^ra les | du prix du drap de Sedart, Cela posé :
Après la dbniiinution du prix des draps ^
90 adnes de Sedah à |, coûteni eh arg^t comptant '. . . 960^.
X aune de Sedan à 5, coûte. . . le ao« de g6o"**, o« , . . , 4o**«
' ï aune de Loujiers à 2 les 2 d« 4^> ^^ '••• ^*''
g le ^«'de se*", ou W*.
. I aune de liOUTÏers r? coûte 5 fois 8^1 ou r^.. 4^*^*
Donc y at^aht ta diminution du prix des draps,,,,
I aune de Louvièrs à ^, coûtait comptant... ^Qlf''D\uBïO'^f on... 5o^.
96 aunes de Louviers à ^ , coûtaient comptant , 96 fois So*", ou , . , 4^^^**
Ainsi , ayant la diminution du prix des draps , les 9G aunes de LouviefTs à |, valaient 4800^ argent comptant ; mais, elles valent 5328*, payables dans un £61 ; l'intérêt annuel de 4800* est donc SaS*; Tintérêt annuel de 100* est donc ^^*'',ou 11*. L'argent était donc à 1 1 pour 100 par an.
i65. Trouver un nombre dont les l fassent i4* La règlfr • donnée pour résoudre les problèmes de cette espèce , était . connue sous le nom de règle de fausse position. On prenait ; un nombre au hasard, 18 par exemple^.et l'on disait:
- Si le noiâhre cherche était 18 ^ ses ^ seraient. . • ai.
Puisse 91 est les ~ de 18 ,
le ai« de ai on' i , sera' les ^du ai* de 18 . ou de --<> ou de. . . -«
'6 'ai' 7
• « • /s x4 fois. I ou 14 ). sera les Z de 14 fois - 9 on de. « , . ix.
Lé nombre demandé est donc 1 a. Et en effet ^ lés | de it 7^ font i4* Voici une solution plus ditecte* ...
Les l dn nombre inconnu sotit 14*
^ du nombre inconnu est donc a.^
l^es ^ du nombre inconnu valent donc 6 fois a^ on. . . . iak Ifi noi^bre inooona est donc. • .«...«.. t .*.. ^ • la
Âl'AlGiBRS. 89
On voit qne l'ayaiitage de la teconde solution sur la première 4 est d*être pluA claire et plus directe. Nous traiterons en conaécpience tontes les règles de fausse position par cette nouvelle méthode.
166. Trouver un nombre dont la moitié plus les deux tiers fassent i4« Comme \ plus ^ valent | » il s'agit de trouver un nombre dont les | soient i4* Ce nombre est donc la (n* i65)«
