PROBLÈMES
181. j^arto^-yoo 671 de^pajfie^ , amtla seconde soU égale à la première , plus 20. Si la i'* partie était connue , il suffirait de 'lui ajouter 220 pour- obtenir la s*. La i'^* partie est donc un certain nombre inconnu ; et la â^ est ce même nombre ihconiiu , plus '20 ;' la somme de ces deux parties est donc composée, du nombre inconnu (valeur de la 1'* partie) , et du npmbre inconnu plus 20 (valeur de la 2* partie) , c'est-àdire , de 2 fois le nauibreL jinc0I^la , plus 20 ; mais cette sommt doit former le noinbf e à partager 700 ; on a donc
{.A) IX fois le nombre inconnu , plus 20 égale 700.
' Puisqae 700 est composé de 30 et de a fois le nombre iaconnu ; si dt la somme 700 , on 6te 30 , le reste 680 sera égal h deux fois le noHobrf iaconnu j on a donc ....
: ( J^ ) ». 3 fois le nombre inconnu i^\e 68oi» '
^o exprimant le double du nombre inconnu , sa moitié 34o sera la raletur ^u noihbre inconnu. L'égalité (^) donne donc...
(a) le nombre inconnu é^le 34o>
La i'^* partie sera donc Z^o ; et la 2', composée de la i^^pbtê- 20 , sera 5/^ù plus 20, ou 36o. Ces deux parties satisfont à toutes les conditions du problème ; car leur somme ^ 54o plus 36p , est le nombre à partager 700 , et la 2* partie 36o , surpasse de 20 la !'• partie 34o.
182. Partager 700 en trois parties telles, que la seconde soif égale à la première plus 20^ et la troisième égale à la seconde plus 60. La 1^* partie est un certain nombre inconnu ; la 2* est f ce nombre inconnu plus 20 ; et la 3*, qui surpasse la 2* de 60 ^ ^ «st le nombre inconnu plus 80. Or la somme de ces trois parr \ ties doit former le nombre à partager 700 ; on a donc
le 'nombre inconnu ( ir« partie ) \ -
(C}ic^* \ plus le. npmbre inconnu plus 30 ( 3« partie) l é^c 70^ U
{le noml plus le.
plus le
nombre inc^nu plu$ 80 ( 3f pa^) J. L.
fïoliilne ecnft ekpreisîoii renfenne S fois le nombre inconna, et Co j!i:s ao ^[oi TaJent too, oo p^at écrire. . . .
(D) S fois le nombre inconnu, plu* loo cgale 700.
Sî àé 700 9 compote de 100 et de 3 fois le nombre inconnu , on dtc loo^ fe ictte 600 sera ëgal à 3 fois le nombre inconnu ^ donc ....
(E) 3 fois le nombre inconnu égale Goo.
Puisque 600 est le triple du nombre inconnu , le tiers de 600 , oa soo , sera la valeur du nombre inconnu. Ainsi , la i^* partie ut 300 ; ia a% qui la surpasse de ao ^ est sao ; et la 3', escale à la a* plus 60, est a8o. Ces parties satisfont à toutes les conétions du problème , car la a* est égale à la 1 '^* plus 20 , la 3* est égale à la 22^ plus 60 , et leur somme compose le nombre à partager.
i83. Si Ton compare les énoncés et les solutions des deux problèmes précédens , on reconnaîtra que les difficultés de ces solutions croissent avec le nombre des raisonnemens ; de sorte ^*en partant d'une question facile , si on y introd irisait des conditions nouvelles , on formerait des problèmes dont les solutions se compliqueraient de manière à finir par arrêter l'élève le plus intelligent; et cet effet ne serait pas du à la difficulté des raisonnemens , mais à la complication produite par leur nombre. ïl est donc nécessaire de chercher quelques moyens de simplification , applicables aux solutions de tou^ Us problèmes ; ce qui ne peut s'exécuter qu'en examinant si ces solutions ont des parties communes, susceptibles d'être traitées d'une manière plus abrégée. Cela posé ; la solution d'un problème exige des raisonnemens et des opérations ; comme la manière d'écrire les uns et les autres, leur difficulté •t leur nombre , sont les obstacles qu'on rencontre ; nous allons les attaquer séparément.
La difficulté et le nombre des raisonnemens et des opéra^* tioHS, tenant à la nature même de la question , en sont inséparables ; on ne peut donc espérer de ce côté aucune simplification. Mais il existe peut-être quelques moyens d'écrire ces raisonnemens et ces opérations d'une manière plus abrégée.
et c'est à quoi nous deyons tendre , c^r il serait avantagenj* d^ augmenter V intensité dont F attention est susceptible, en m la fixant que sur un petit nombre de SIGNES. Le seul moyen à!j parvenir est de simplifier récriture des raisonnemens et des opérations , en inventant des signes, La multitude des raisonnemens empêche de les représenter par des signes particuliers ; mais le petit nombre des opérations permet d'adopter un SIGNE pour chacune d* elles. En effet , pour résoudre un problème quelconque , il s* agit toujours d'eiFectuer certaines opérations sur des quantités connues et inconnues ; le résultat doit être égal à une certaine combinaison de ces quantités ; c'est cette égalité qui établit une relation immédiate entre les quantités connues et inconnues , relation sans laquelle il serait impossible de découvrir les valeurs des inconnues. Or Mous avons vu en Arithmétique , que toutes les opérations que l'on peup faire sur les quantités se réduisent à quatre, l'addition, la soustraction , la multiplication , et la division ; on ne peut donc être conduit quà indiquer ces quatre opérations , et la résultat^ qui est une égalité. Les signes à inventer étaient arbitraires ; on devait seulement les choisir tels qu'ils n'eussent aucune ressemblance avec des signes déjà adoptés pour d'autres usages y et qu'ils fussent les plus simples possibles , afin de ne pas les confonc^re et d'écrire les raisonnemens de la manièr# la plus abrégée.
184. Nous avons déjà fait connaître les signes adoptés pour la multiplication et la division. On a indiqué un produit , en séparant ses facteurs par des points , ou par le signe X ( fi. n** âo6 ) ; et un TRAIT , mis entre deux quantités placée^ tune <sur Foutre , a indiqué la division de la première par Im seconde ( A. n® io5 ). On a vu aussi (n® 94 ) > 9"^ deux points ainsi disposés : signifient DIVISÉ PAR. Les signes d'addition, de soustraction et d'égalité , sont -f- , — , et =. Pour plus d» clarté y nous réunirons ces signes dans le tableau suivant. . .
-f- iigiûfie plus ; — signifie moins ; == signifie égal ; M on • êi^jmûe ' multiplié par j
i «a «— placé «ntrc Its dwjt imuM d!iHi« fir«c(îoB , <tgnîfi« diyisé par,
D'ALGÈBRE. lOl
* Diaprés cet conventions ^ la somme des nombres 7 , 5 , est 7 plus S , ou 7 -j- 5 ; la différence de ces nombres , est 7 moins S, ou 7^-^5. Le produit de 3 par 4> est 3 multiplié par 4» on Sx 4> ou 3 . 4y ou la. Le quotient de is par 4> est la divisé for 4, ou —, ou la : 4 > ou 3. Végalité, . .
13— a£=a. • 3-1- xa 3» signifie q[n«...
la moiftf a Cj$«/e a multiplié par3 , plus 12 divisé par 3.
Et. en effet^ la — a, vaut 10 ; et a. 3 -|. la : 3 valent 6 plué 4 > 00 1 G. Ou pourra vérifier de la même manière ^ l'exactitude ^ régate...
a/ — np=a +^-3<4 — i8 : a ; car elle se réduit à 17=171.'
* Comme dans tout problème , le nombre inconnu doit con^tinuellement être écrit dans le cours dee opérations , on abrégera «I représentant l'inconnuei par un caractère ; celui qui a été adoptS est la lettre x. ^
t85. Les problèmes des n** 181^ 18a, ayant fait connaître tomnient oh a été conduit à inventer les signes algébriques ; 3 est naturel de commencer par résoudife les mêmes pro- Uèmes à Taide des signes adoptés. Ces nouveffes solutions ^ comparées aux précédentes^ donneront une idée de Futilité 4es signes algébriques.
186. Dans le problème du n* )8i, oà il s*a^ssait de par--' loger 700 en deux parties , dont la seconde fut égale à la pre-* ndère plus ao. On désignera la i*^* partie par x -^ la a* partie , iffle a la 1'* plus ao^ sera (^x + 20); la somme de ces parties sera donc, ap-|-(a;+2o), ou a fois a?, plus.ao, ou (a.a:+ao). Haïs pette somme doit êtr^ égale au nombre à partager 700 ; •Oft^donc^..
(-<#).-... a. x -♦- ao = 70«.
B fbn compare Vu ^galit^s (-^ ) > (^ ) > on ▼«t» V^^ ï* scconJe n'est
kpremièiCy ëcrite à l*aide des signes et abrériations adoptes; il suffis
ne d» rëpëter sar «Ue les raisonnemens et les calcols au moyen desqueia
E«i a dédiiti de TcgalilK (^} , la raiciu: de la première partie. On dira donc^
iCfi É L é M E N s
puisque 700 est compoié do ao et de a. or , ai de la somme 701 ao f le reste 680 sera cgal à 2.x ; donc. . . .
(JT) a.x = 68o,
()So dtant le double de x , sa moitié 34o sera la raleor de x. L'^
donne donc
La 1 ''* partie , qui est égale à x , sera^donc 3^0 • et la 2 composée de Ta 1'° plus 20 , sera 36o. Les mêmes partie déjà été obtenues dans le n* 181 , sans l'emploi des si§ comparant les solutions des n^' 181 , 186 , on verra qm diffère de la i*"**, qu'en ce que les opérations sont i d'une manière plus abrégée ; de sorte que les égalité (^'), (a'), sont les égalités (^), (i?), (a), écrite des abréviations adoptées.
• 1 87. Je dois prévenir, avant de passer à d'autres pn t^ue toute égalité ^écrite à faide des signes algébriques, Si ÉQUATION. Les deux parties séparées par le signe '=z^ les deux MEMBRES ; cçlle qui est à gauche forme /^ membre, celle qui est à droite est le second membre on déduit d'une équation la valeur de l'inconnue quN ferme , on dit qu'on résout cette équation. Par coni résoudre une équation, cest lui faire subir des transfo, qui ne troublent pas r égalité , et après lesquelles Vi se trouve seule dans un membre; alors t autre membre un nombre connu , représente la valeur de tinconnw quon dit qu'une égalité nest pas troublée , on entend connue ne change pas de valeur.
Les expressions q,x et 2 X a? , indiquent le produit X ; mais on supprime ordinairement le signe de mul et l'on écrit qx. Ainsi , 3x exprime 3 fois a?; le pr< X par 4 est 4 ^- Le multiplicateur 'de x a reçu- le coefficient de x^ dans ar, le coefficient Ae x est 2. néral, le COEFFICIENT est un nombre abstrait, qui combien de fois la lettre qu'il précède doit être répétée, I cient est donc le multiplicateur de la quantité devant il est placé* On est convenu de le supprimer quand il
d' À L G è B RE. lO^
à l'unité ; de sorte qne i x ou a: X i > est la même cfaose que x. Si l'incomiiie x était égale à 5 , alors 3a: vaudrait 3 fois 5 ^ ou i5 -, et 43: vaudrait 4 fois 5, où 20.
188. Ces conventions établies, revenons à la solution des problèmes. Dan» la question du n? iSa, où il s'agissait de partager. 700 en trois parties , dont la seconàe fût égale à la jfremière plus 20 ^ et la troisième égale à la seconde plus 60 ; nous désignerons par a? la i'^* partie ; ou le nombre inconnu ;
et nous dirons . . .
La i^rftptji^ie t= x ; ( rinoonniM est x)
La a* partie = la ir«-4- ao = ( x -4- ao) j
La 3* partie r^laao-^^o^r^x-f-aoj + Go^iCx-^So).
, La lOiiuiM de cet trois parties doit* coiôposèr le niHubra à {iartagcr 7>o ; donc ....
(C) X -4r {x -+■ ao) -^ (x + 80) = 700.
Pour rendre cette équation , nous observerons d'*abord que son- premier membre renferme 3 fois x , ou 3x ^ et ao -4- 80, qui Talent 160 ^ donc. . . .
(ZX) 3x -+- 100 = 700.
Les raisonnemeiis du n^ iSa , conduisent à là yalcur de x. En effet , si da 'jpOf compose de 100 et de 3x , on ^te loo , le reste 600 sera égal à 3x f c|pnc». . •
(/?')...: 3x = 6oo.
.Poisqne 600 est le triple de x , le tiers de 600 ou aoo sera la Talerar de X 3 aiiisi ....
La l'c partie x = aoo ( la valeur de x est Jtbo) \ Lin a« partie ( x -+- ao ) = a6o h- ao = aaoj La 3« partie ( x -4- 80 ) = aoo -f- 80 =s a8o.
Ces parties avaieht été obtenues dans le n^ iSflj On peut faire des remarques analogues à celles du n^ 186 ; les équations (C), (/>'),(£'), sont les égalités (C),(D),(£;), écrites à l'aide des signeà algébriques^
18g. Afin de familiariser avec les j^nej^nous allons en £aire usage pour résoudre quelques problèmes. ; Quel est le nombre dont le triple diminué de Bt^^est ^gal à iZ? Si X désigne ce nombre , son triple diminué de 5<, sera* 3jr— 5 i mais ce dernier résultat doit être égal à 10; donc...
S04 É L £ M £ vN 8
La différence entre Sx et 5^ étant i3 ; le plus grand nombre Sr, sera égal au plus petit plus la différence , c'est-à-dire à 13 + 5 ou i8. Donc 3x=: i8. Le triple de x étant i8 , la valeur de X sera le tiers de i8^ ou 6.^£t en effets le triple de 6 , diminua d^S, est i8— ^5 ou i3.
igo. Quel est le nombre dont les f plus les | , augmentés de 7, donnent une somme égale à a^? Pour éviter les fractions, nous désignerons le nombre inconnu par i2x ) ses I seront leis I "de 120? , ou 8x ; ses | seront les | de lax, ou qx ; ses f plus ses | , augmentés de 7 , seront donc 8 j? + 9^ + 7 i mais cette dernière somme doit être égale à'24 ; donc. . . .
Or 8^ + s^y valent 8 fpis x , plus 9 fois x, on 17 fois or , ou 17a:; donc. ...
Raisonnant comme dans le ix^ i86> on déduira de cette équation ....
Le nombre cherché est donc la. Ses f plus ses J, augmentée de 7 , donnent effectivement une somme ( 8 + 9 + 7 ) égale à â^j comme lexige l'énoncé.
191'. Le triple d'un nombre ^ augmenté de 7, est égal au double du même nombre^ augmenté deiz. Quel est ce nombre!^ Si Ton représente le nombre inconnu par a:, son triple augmenté de 7, sera 3x + 7 ; son double augmenté de 1 a , sera ao; + la - mais ces deux sommes doivent être égales ; donc . . •
3x+7=3fl£+ia.
Retrancbant ax de chaque membre , les restes seront égaux»
et Ton aura. ,..
a? + 7=c=ia.
Otant 7 de chaque membre^ lee restes^ x et 5 seront égaux; •e qui donnera'^ . . .
le nombre inconnu a:=5.
Le nombre demandé est effectivement égal i 5 ^ car le tripla
D* A L 6 È B B E. lo5
de 5 aiigoMBti de 7 est aa ; et le diable de S, tugmenté de la fit aussi égal â sa , comme Texige rénoDcé.
iga. Les problèmes précédens ont conduit i des équations
qû ejqpriiiiaîent des relations entre Tinconnue et les nombres
conm» ; ces relations ont donné la valeur de Tinconnue. Cette
f frapriété conTÎent i tous les problèmes. En général , hrsqu'on
: itprime les conéiùons étun problème qui établissent des re*
ktitms entre les quantités cémnues et inconnues , on doit étrm
eonduii à me équation ; car ces conditions indiquent » qu*a*
près avoir effectué certaines opérations sur des quantités con-
■oês et inconnues , le résultat doit être égal à une certaine
combinaison de ces quantités ; ce qui donne une équation.
193. Si l'on compare les solutions des problèmes précédens ^ données sans le secours des signes , à celles qui ont été fimmies par leur emploi , on verra que les sifçnes alorébriques frésenteat les avantages suivons. 1° Les conditions du pro^ hlènte sont plus faciles à exprimer, parce que les SIGNES don^ nant un moyen de les écrire avec brièveté ^ F esprit , certain que cetû écriture abrégée lui offrira en un instant le tableau exact des conditions déjà exprimées, peut ne s* occuper que de celles qid restent à exprimer, a** Quand les conditions du problème sont exprimées , l'équation qui en résulte, rapprochant dans un trés^tit espace , des objets qui sans le secours des signes seraient fort éloignés , on peut facilement en saisir l'ensemble fi les relations qxd lient l'inconnue aux quantités connues. fî Enfin , nous verrons dans le n' a^î , que lorsqu'à taide des signes algébriques , on est parvenu à exprimer les tonditions d'un problème dans une seule équation du PREMIER DEGRÉ (*) , la résolution de cette équation ne dépend que d'un
0 Les équations du premier degré sont celles dans lesquelles le* \ktonnues ne sont multipliées que par des quantités connues. Les natÎQDi Of /y, -C «ont de cette espèce. L^éqvation xxx -+• i = a6 , ne F%ut.pat da 1*' degr^. On Terra par la snite , comment on mesure le %^ d*ane ë^pation. Dans les denx premières parties de ces Eltmeus , Itoof ne pvicnnii qne des i^atioyis du premier drgnf.
principes ', nons désignerons les premières par opérations ctrUh* = metiques , et^nons donnerons aux secondes le nom à* opérations \ algébriques ; de sorte que le calcul algébrique ne sera qu'une généralisation du calcul arithmétique. C'est dans ce sens que les anciens ont dit que l'Algèbre était une arithmétique universelle,
198. Pour abréger le discours^ on a établi des conventions qu« nous alk)ns d'abord faire connaître. Nous passerons ensuite aux opérations arithmétiques. Les quantités composées de plusieurs termes , se nomment polynôihes ; et lorsqu'on veut désigner le nombre des termes , on dit que la quantité est monôme ^ binôme^ trinôme y etc., selon qu'elle contient 1 , û;^ 5 , etc. termes* Ainsi , (7 + 207 — 5 + g) étant un polynôme , dont les termes «ont + 7 , + 2JC, — 5, +q; chaque terme est un monôme; (2 -+■ 3x) est un binôme y (5 + x -f ax) est un trinôme. Le premier terme éPun polynôme , lorsqu'il na aucun signe , esf censé affecté du signe +. De sorte que (Sx + 2) est la même chose que (+ 5x + 2). Pour indiquer les opérations à effectuer sur des quantités quelconques , monômes ou polynômes , noua ' renfermerons chaque quantité entre deux parenthèses , et non» ferons précéder la parenthèse du signe de l'opération à eifegH tuer sur la quantité qu'elle renferme. Par ce moyen ^ les signes placés hors des parenthèses , indiqueront toujours des opéra" tions à effectuer y tandis que les signes placés dans les parenthèses y appartiendront aux quantités. Ainsi , pour indiquer la somme des quantités — 8, — 3, ou — 8 plus — 3 , on écrira ( — 8) + (—3) ; si de — 8 on veut ôter — 3, on écrira (—8) — ( — 3) -, l'expression. . •
(-}-5x— 2) — (+2X — 5) est équivalente à {Sx — 2)— (2a: — 5>^
Elle signifie que de la quantité (Sx — 2) , on doit ôter la quantité (20: — 5) ; si x représentait le nombre 6 , alors (5ar — 2) vaudrait 5 fois 6 , moins 2 , ou 3o — 2 , ou 28 ; et (j^x — 5) » deviendrait 2 fois 6, moins 5, ou (12 — 5) ou 75 il en résul^ terait. . .
(5* — 2) — (2x— 5) = + 28 — 7 = + 21 = ai;
