OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES
T^g. Le but de L*ADDITlQif arithmétique étant d'obtenir un wombrm qui contienne toutes les parties de plusieurs autres nombres^ on ne doit ajouter que des nombres de même espèce; cest-à-Jm tous positifs ou tous négatifs , et la somme est de la naJtuft des nombres qui Vont fournie. Par exemple , de même que + 5 ^ exprime la somme des nombres positifs + ^ > + 3 ; de même — - 5 , exprime la somme des nombres négatifs -— a ^ — > 3 ; en effet , — a représente a unités négatives , et -* 3 , exprime 3 dé ces unités ; la sonune des nombres — - a , — - 3 ^ qui dmt se composer d^ toutes leurs unités» sera donc composée de a unités négatives et de 3 unités négatives » c'està-dire de 5 unités négatives » ou de — 5. On peut encore dire que — a ajouté a — - 3» donne pour somme , a fois — i , plus 3 f<ûs — 1 ; ou 5 fois-» 1 , ou — > 5. On parvient aux mêmes résoltate 9 en considénuit -f- et — * comme des signes d'opérations , car alors + a et -f- 3 expriment qu'on doit ajouter a unités d'une part et 3 unités de Tautre , ce qui revient à ajouter la somme 5 des unités de ces deux nombres. De même y — a ajouté à —-3, signifie qu'on doit soustraire successivement • unités positives et 3 unités positives» ce qui revient à sous- Indre la somme 5 de ces unités ; or cette dernière soustraction est indiquée par — - 5 ; conséquemmeat » •— a ajouté à — 3 » on («— n) plus (—3) » donne — 5 pour somme. Cela revient i&e que les deux opérations exprimées par — a et — 3 » proisamoX le même effet que l'opération exprimée par — S ; de
«^ +, celui de — par + est — . Ainsi; pour obtenir ] duit — 1 5 , de -T- 5 par + 3 , je multiplie 5 par 3 , et j' le produit i5 du signe — du multiplicande.
207. Dans la multiplication , on ne peut pas suppri parenthèses et le signe d'opération , car le résultat i d'exprimer le produit , expripierait la somme des £a Ainsi, (+4) X (+3), n est pas égal à + 4 + 3.
ao8. Le dividende étant le produit du diviseur par le qi les règles relatives à la division , seront fournies par la < position des produits formés dans la multiplication; 0 vu.(n* ao5),
que 4" 13 «*t le prodnit des facteurs + 4 > "^^ 3^ et qne — 12 est le produit des factears *— 4 > «4* 3*
Mais ^ quand on divise le produit de deux facteurs , f de ses facteurs , on obtient Pautre facteur pour quotie , quotiens de -f- la par -^ j!^ eX àe ^-^ la par — J^^ w)\ égaux à 4" 3 ; et celui de — • 1 a par +Z est — 4* ^ montre , que le quotient de deux quantités affectées dt signe est positif, et que celui d'une quantité négative f positive , est négatif
2209. Les règles précédentes suffisent pour mettre
d*eiFectuer les opérations de Tarithmétique snr les 0
positifs et négatifs ; passons aux quatre règles de Talgèbr
jeter plus de jour sur les démonstrations relatives au cale
I brique , nous distinguerons deux sortes d'égalités. On a
j (n"'i 86. . . 1 9 1 ) qu une équation en x servait à déterminer U
t numérique de rinooonao x. Mais il «xiste des égalité
D-À. L G È B R E. llS
-fendantes de totfte yalenr particulière de Tinconnue ; de sorte qu'en- mettant pour x , un nombre pris au hasard , chaque Tnembre prend la même valeur numérique. Par exemple , Tégalité suc -(- 1 =: ax + i ^ doit être vraie , quel que soit x , car elle exprime que le double d'un nombre^ augmenté d'un^ est égal au double du même nombre , augmenté d'un, ce qui convient â un nombre quelconque. Cela résulte aussi de ce que les deux membres sont composés des mômes termes affecté» des mêmes signes. Ainsi y dans l'égalité* *' ax+iz=z2x+i,
ar=3, donne 2,3+i==a.3-(-i , ou 6+t = 6+1 ,ou7 =7.
x=4» donne a. 4+1 =3*4+* > ^^ 8+1=8+1 , ou 9 = 9.
. Et un nombre quelconque mis au lieu de x y rend les deux membres numériquement égaux. Pour concevoir comment cette égalité est indépcndai^te de a; ^ il suiHt de soustraire ax de jchaqi^ membre ; le résultat 1 = 1 ^ est indépendant de x. Il ^, n'en est pas de même de l'égalité x + a = 5 , car elle exprime qu'un certain nombre x , augmenté de a , donne une somme égale à 5 ; ce qui ne ronvient qu'au nombre 3. On verrait da même que des deux égalités
x+5 = g, ax— ax = 5 — 5.
La. 1^* n'admet que la valeur x= 4» tandis que la seconde est vraie, quelque soit x, car chaque membre est zéro.
aïo. Ces exemples suilisent pour faire voir qu*z7 existe deux sortes d'égalités essentiellement différentes ; les unes n'admettent •fue des valeurs particulières de x, les autres sont vraies f quel .^«e soit 7L, Pour les distinguer , nous conserverons le nom ^'ÉQUATIONS aux ésçalités delaV espèce , et nous nommerons IDENTITÉS les égalités de la seconde espèce. Ainsi ^ une ÉQUA- TION est une égalité qui ne subsiste que pour des valeurs partie tôlières de l'inconnue ; une IDlNTITE est une égalité qui iubsîste indépendamment de toute valeur particulière de rin-^ \ionnue , de sorte qu'un nombre quelconque, mis dans chaque ttembre d'une identité, au lieu de l'inconnue , donne le mém Jésultat numérique. Il en résulte que dans une ÉQUATION^
Sl4 é L é M Ë N s
lincormuê esi un nombre déterminé , toiuK; i/tie dans unt IDENTITÉ , l'inconnue est susceptible d'une infinité de valeurs earbitraires. Nous ocMiserverons le signe = pour les équations » et le signe s=f& indiquera qu une quantité est identitfuement égale à une autre. Ainâi. ».
X plus a égale 5, ou a; + â = 5,
tst xme équation , qui indique qu<i (j?-f~ ^) ^^ ^g^ ^ S> ^11^ n'admet que la valeur j; = 3 ; toute antre valeur de x^ ne rendrait pas les deux membres égaux.
(pc + a) identiquement égal à (x + û) , où (x + a) =^ (x -f- a)
est une identité , qui exprime que (x -{- a) est identiquement égal à (a;-{- à) ; les deux membres sont égaux indépendamment de toute valeur particulière de a: ; de sorte que pp est susceptible d'une infinité de valeurs ; ce qu*on exprime en disant que X est indéterminé (n^iyÇ). Les Élèves doivent donc distinguer avec le plus grand soin les signes
Le 1*^, qui signifie égal, indique qu'une quantité n*est égale à une autre i^e pour des valeurs particulières de x ; le a*, qui signifie identiquement égal, indique qu'une quantité est égale à une autre , indépendamment de toute valeur particulière de X. ht signe 4=> °ûus sera de la plus grande utilité dans les opérations de l'Algèbre ; car ces opérations devant être indépendantes de toute valeur particulière de j? ^ on sera conduit à des identités. Par exemple , comme x étant quelconque , la quantité (5x + Zx) est toujours égale à x pris 5 fois- plus 3 foîs^ ou à 8 fois x, ou à 8x; on dit que (5x -f- 5x) est identique» ment égal à Sx ; et Ton écrit
di 1 . // existe deux sortes d'identités , lès unes sont évijeniei, les autres ne deviennent manifestes qu'après avoir effectué des ^ calculs. Par exemple , l'identité ax^ax est manifeste ; tandis ^ue l'identité 5* + 3x afs 8x n'est devenue manifeste qu'à'
D* A L G É B R E. llS
Pddé d*iiii raBonnemeqt. Les opérations algébriques condui-* root 3l des identités de la seconde espèce.
91a. Une égaUté entre des nombres y est une identité ^ car ne contenant pas x , elle est vraie indépendamment de toute Talenr de x. Les égalités obtenues dans les opérations arithipétigiiçSy étaient donc des identités. Ainsi...
la — 5=^7; 7 — 54=11 — 9; a.34=6;. .6 : 3s4=a.
fii5. On Toit^ par ce qui précède^ que les définitions des quatre ij^es de l'arithmétique » imposent des^condition^ particulières 'lix ndùbres sur lesquels on opère. Il en résidte : que les nmbres- de signes différens ne doivent se combiner ni par voia tmâditJQny ni par voie de soustraction , qu'on ne saurait mul^ tiplier par une quantité négative , et qu'on ne, peut diviser une ftta^tili^ 'pqsitive par un^e quantité négativç. Ces exceptions Oettraient aouvent dans l'impossibilité de soumettre au calcul , j^ qu^UiUités qui renferment rinconnue x , c^ sa valeur nunériqii^ n'ét^ pas connue , on ignore le signe effectif des If^uitité; qiû l||i renferme]:it. Il devient donc indispensable de jffnéxalisêr les définitions de cha^jue règle , afin quelles puissent ^piement s'aj^liquer qujç quantités connues et inconnues ; ce Wf ^4C^ qu'elles conviennent indifféremment aux signçs -f* «t^*-. ï\ était facile de prévoir que l'introduction des signes :|r ^ -rr, et de la lettre :jc , exiger^t des définitions pluç génépin, car dè9 raritbaiétique , nous avons faif obaeryer qu» iJkmtes les fois, qu'on introduit 4^s nouvelles quantités danfi Iç k-caico/y il faut généraliser le sens attacha aujç définitions^ ''^' mots et aux opérations ( B, n** aSa ).
