OPÉRATIONS PE L'ALGÈBRE

P'ai4- li'ADUvriOfi de plusieurs monômes semblables y affs(^s même signe y s'effectue d'aprè§ Iç. règle du n^ aoi , il suffit regarder -f- x ou — x comme une certaine unité , qui se ive répétée le nombre de fois marqué par son coefficient ; fQerr, la somme contient l'unité, -(-x ou — x^ prise un non\fir^

Il6 fi L i M C jR 9

de fois marqué par la somme des coefficiens, G*e$t ainsi. m^ les monômes sx^ Zx^ considérés comme â miités âp et 3 «nit^ x^ forment par leur addition 5 unités x^ ou bx\ dé même^^ lés monômes négatifs -^ax ^ -r-3a;^ composés de 2 unités égales à —-a: et de 3 unités égales à — a?^ forment, par leur addition, ,j 5 unités égales à«— x, exprimées par — 5x. Ces propriété étant indépendantes de toute Valeur particulière de x, on aura' îes'identités. . . ^; : , - .

ax + 3jr=f=(aH-3)x=|s5jr;et(--ax)'4-('--3a:):;f=--(2-+-3)ar=fa--5jr. \

221 5. Ainsi, pour obtenir le coefficient de+xoù <&•*— z;. dans la somme de monômes affectés du même signe , il suffit de calculer la somme arithmétique des co^fficiens de x. D'aprèfk, ~ cette règle , la somme des monômes —70:, — ax,.-T-.3jt:, ser%: -— *xpris la fois,ou 122 fois-^x^ ou — lax.

2 16. L'addition des polynômes dont tous les termes sont affectés de signes semblables ,\ se déduit des principes précé-^ déns ; car chaque "polynôme indiquant une somme de monômes de mêmes signes , la somme des polynômes , qui doit contenir' toutes leurs parties , sera la sommé des monômes de signçs semblables qui composent les polynômes dont on cherche b^ somme. S'il s'agit des deux polynômes (ax + 3a:^ + 5x),* (jx + /pr) , on considérera le i*' polynôme comme exprimant la somme des monômes ax , Sx*^ 5x, et les parties du 2* polynôme seront 7X , 4^ ; la âomme de ces deux polynômes , qui' doit cWtefiirtou^fis leurs parties, sera donc composée dessMH nômes ax ,3x753^773^,-^4* ; elle -sera donc . . : .

( SX -+- 3x + 5x + 7-a? + 4^) > ou + aix , ou aix.' 5^

■ É On trouvera de même que la somme des polynômes ...

( — ax — 3x — 5x), ( — 7x — 4^), est — aix. ^

217. En général, pour obtenir le coefficient, de ^"x ôu^de -^ «— X, dans la somme de polynômes dont tous les termes ortl^ i le même signe , il suffît de calculer la somme ^des coefficiem des monômes. Ainsi, le coefficient d-e -|* x, dans la. somme. « 4es polynômes , (ax -f- 3x) , ( 4^ + ^^^ * ®st ( a + 3 +4+5J,-

s' À L C i B & K. ïij

tra i4 1 la somme de ces polynômes est donc i^^. La somme des polynômes ( — aa? — 3a?), ( — J^x — Sx), sera — (a-|-3+4+5) x, on .4—1^.

SI 8. Jusqu'ici ^ la définition de Y addition arithmétique a flofi pour mettre en état de calculer la somme de plusieurs qnantités > parce que ces quantités ayant les mêmes signes , on pouvait les regarder comme formées d'unités égales à -f- i » on— 1, + op , ou — x\ il ne s'agissait donc alors que d'obtenir la ^omme arithmétique des nombres abstraits qui indiquaient de combien d'unités chaque quantifl était composée ^ ce qui n'offrait aucune difficulté. Le mot ajouter , était pris dans l'acception arithmétique^ et la somme contenait toutes les parties des quantités ajoutées. Mais si Ton observe que les Agnes -(- et — , qui précèdent les quantités positives et négatives^ désignent déjà l'addition ou la soustraction de ces quantités y on reconnaîtra que la somme de plusieurs quantités , &*est réellement que la réunion des opérations indiquées par les figoes de ces quantités ; de sorte que par somme , on doit en^ tendre une somme d opérations ^ ouïe résultat de plusieurs opéraiions ; alors , si les quantités proposées ont des signes difféleas ^ les opérations qu'elles indiquent se détruisant en tout on en partie , le résultat , nommé somme , ne doit plus contenir tontes les parties des quantités ajoutées.

fiiq. Nonsdirons donc que, le but de ^addition ALGÉBR}QU£, est d'obtenir une quantité qui produise le même effet que plur sieiirs autres quantités. Les opérations indiquées par une sommer, doivent donc produire le même effet que f ensemble des opé . rations partielles exprimées par les diverses parues de cette somme. De sorte qu*il s'agit réellement d'une somme d'opé^ rations. Par exemple , •— 5 étant la (lomme des nombres négatifii — - a et — 3 , on voit que l'opération indiquée par cette somme » qui est une soustraction de 5 unités , produit le même eflEst que l'ensemble des soustractions partielles indiquées par — fl et — 3. De même , les quantités + 5^ — 3, indiquant TadffitbîTâe 5 unités et k souséaction dé 3 unités^ ces deux opé^

llS < L Ë M E N'S

ratixms se détrtnlMnit en partie , et leur effet total est TadâittoK . de a unités , indiquée par + ^ > Topération exprimée par -f- a < produisant le même effet que Fensemble des opération* âé»!-^;; gnées par -+-5 et — 3 ^ on dit que -f~- ^ est 1^ somme des qnalHâ tités 4-5,-5. Ën&n , comme les quantités + 5, t 5 , lat-^ priment que Ton doit ajouter 3 , pour soustraire ensuite ^ « ce qui revient à soustraire 2 ; ropéràtion indiquée pair -— a ^ produit le même effet que l'ensemble des opérations indiquées par ' -f- 3 et — 5 ; donc — a exprime là somme des c^antitiés -}- 3 , — 5. Observons que la||pmme + a Ses nombres -f- 5, —5, l est la différence a ,. entre 5 et 3 , affectée au signe 4" ^P P^^ i grand nombre , et que la somme — a , des nombres — Bj+^'i s est aussi la différence q, entre 5 et 3, affectée du signe -»Ai | plus grand nombre; on en déduit cette règle géAéralë (*)• \

aso. La somme de deux nombres affectés de signes différent'^ est égaie à lad^érencé entre ces téomères > H^^fkctée du signe db :: plus grand nombre. Ainsi. . .

àâi. L'addition des monôn^s qui contiennent a?, se déduit de ce qui précède ; il si»f&t de considérer x comme une certaine tmité. Ainëi. . .

(+ 5r) + (— 3a:) rfa + 5i — Si: 4= + (5 — 5 ) a:i^ +-àjp <— Sir) + (+ 5ir) rifi — 5 A: -f 3A: rtfi — (5 — 3) jcaffii — a*.

(*) Pbnt |et6r pItA de fôtir «ar 'cette (fëmonstrarioli , noti^ dVôns elft<MMf j la iiolisttacfCion hidiqtiëe pidr (5— 3); de sorte qfie 1% côiichoioli fiMtl j dépendre de la valeur pçirticulière de la différence a , entre 5 et 3. Aân dt >

«•«ttV«^]|fA 1^ ^AWin^«« «>«•«•«»■*«,#%«« «#«£w«^^a1a ^ J. f J^ 1 4 1 P

aens , en i

quantités ^ ^ ^ .,,__.__

i— 5 , ^ 3 , iprft —(5—3) ; fcc ^i A^onMre^à ^è fe riglfe dto u^ »b ^ ^ ^ne'raie. pim^ toute la suite du Cburs , lohque pour pliis de eùM^ ^ ^ nom effectuerons des, réckncUams. ^ ^Àes Ebèues devront généraliser la *" démonstration j en répétant Us mém»9 raièonnéniens , sans ^Mutt. itUùUWSs rédwbzi^t.

Four se convaincre, de l'exactitude de cea résultat», il suffit d'obaerver qu'ils expriment , qu'ajouter 5 fois x, pour ôter ensuite 3 fois X , revient i ajouter a fois x ; et que soustraire 5 fois jt » pour ajouter 3 fois x , revient à soustraire â fois x , ce qui est exact. On voit donc que le coefficient de %, dans la sommm de deux monômes affectés de signes différens , est la différence arithmétique entre les coefficiens de x^ affectée du signe du plus grand coefficient.

sas. Les quantités (Sx — Sx) et ( — Bx-^Zx) se réduisant â 4-^aa: et -r- fu: , il en résulte que , pour réduire une expression^ composée de deux monômes en x, affectés de signes dijférens, U suffit de calculer la différence arithmétique entre les coeffi'^ ciens de x ; cette différence , affectée du signe du plus grand coefficient ^ donne U coefficient de x dans l'expression réiuitC'

sa3. On prouverait de la même manière y que la tomme dca monômes 7X , — ax , + 5x , est indiquée par 7X — ao; + Sx , car ce trinôme indique l'ensemble des opérations exprimées par les monômes. Et en général , pour indiquer la somme de phi-^ sieurs monômes , il suffit de les écrire les uns à la suite des autres avec leurs signes,

aa^ La règle précédente s'applique aux polynômes. Pour indiquer la somme algébrique de plusieurs polynômes , il ifjrffit iécrire leurs termes à la suite les uns des autres et avec leurs signes, en :se rappelant que les termes qui ne sont précédés ^aucuns signes sont censés avoir le signe -4"* P^ exemple , la somme des polynômes (a:+5), {3x — 7), îndicpiéfe pat (x-t-5) •+• (3a: — 7), peut s'écrire ainsi, (x+5 + 5x — 7); en effet, si à (x + S), on ajoutait 3x, la somme serait (jp ^ 5 ^ 3x) ; or on ne devait pas «jouter Sx tout entier « nuris Sx diminué de 7 ; on a donc ajouté 7 unités de drop; la somme (x+5+3x) , contient donc 7 unitésde trop ; la somme des binômes (x+5) , (Sx— 7) , est donc x + 5 + 5x — 7 ; on a donc •

(X.+. 6) 4- (Sx— 7) 41 X + 5 + 3x — 7-

IflO £ L É M E N s

2225. La règle du n"* aa4> donnant la somme de planevis polynômes^ il ne reste plus qu'à faire connaître comment oot^ peut réduire cette somAie à sa plus simple expression. Lorsque tous les termes sont affectés du même signe y la réduction sef^, fectue d'après la règle du n^ ai4*

aa6. La réduction d'une quantité composée de phisienn^ j termes alFectés de signes difFérens ^ est fondée sur ce principe y que r ordre dans lequel on effectue les opérations indiquées par^ - f les signes + 6f — , est indifférent ; de sorte quon peut trans^ 1 poser les termes d'une quantité , sans en altérer la valeur. Cela «st évident, car, d'après les conventions établies en algèbre, ?. les positions relatives des monômes n'influant pas sur leurs var *'^ leurs ; dans quelque ordre qu'on effectue les opérations, le ■ résultat exprimera toujours la différence entre la somme des quantités positives et celle des quantités négatives. Vérifions l'exactitude de ce principe sur la quantité

la — 7 -h 4 •" ^*

£U< indiqae les opérations aritfamétifpies suivantes

De la 6tez 7; au reste 5, ajoutez 4; de-la somme 9, âtez 6;

le reste + 3 > est la Talear de la quantité proposée réduite à sa plus simple expression. De sorte qne, réduire une expression , c'est trouver le résultat des opérations indiquées par les termes qui la composent. Efièctaons les opérations précédentes dans un autre ordre , indiqué par l'expression

4 — 6+12—7, qui signifie

de 4 ^tez 6 ; ajoutez la ; retranchez 7.. .

Les deux premiers termes 4^ — 6, indiquent que de 4 on doit ôter 6; mais ' de 4 f on ne pent ôter plus de 4; il restera donc encore a unités à soustraire, ou — aj or le terme suivant^ qui cst + ia, indique l'addition de la unités j en ôtant les a unités à soustraire , exprimées par 4 — 6, ou — a, on aura -«- 10 pour la yalënr de la quantité (4 — 6-4-ia), réduite à sa plus simple expression. Enfin, si l'on 6te les 7 unités, dont la soustraction est indiquée par •— 7 j il restera <4- 3 , pour la valeur de^ la quantité proposée réduite à sa plus simple expression. Les résultats obtenus dans cette réduC'v lion , sont exprimés par les identités

(•4-4-~6)-f-ia=ja — a+iasfa-f- los^io

(-+•4 — 6+ la) — 7=*3-»- 10 — 7^ + 3.

D* A L G ie B R E. isl

On ▼nrm de la mime manière , que dans qnelqae ordre qn'on effectua Udition des monômes — 7, — 6, + 4>*^ '^> '^ somme réduite aura la WÊtbe Taleur -^ 3. Pour s^en rendre compte , il suffit d^obserrer que da^s fMique ordre qn^on effectue le 'calcul , on parvient toujours h ôter det 16 «nitifli positiTes, exprimées par -^ ^ et -^13, les i3 unités positivea dont la soustraction est indiquée par — 7 et — 6 ; le dernier résultat doit donc toujours dtre (16 — i3), ou -»- 3. On eût été conduit aux mêmes ^maltati , en considérant les signes + et — comme indiquant la nature des

nités dcf nombres , car alors les monômes +13, h-4>— '7»**^ eussent 'Uiquë la unités positives, 4 unités positives, 7 unités négatives, 6 unitéa L idl^itiTes j leur somme eût été composée de 16 unités positives et de 1 3 unités

Mpdves, ou de 16— 13, on de + 3.

Si Ton change les signes des monômes -»-ia, — 7>+4>"~'^' *^ ^

lioneQt •— ia,H-7, — 4>+6> «ï toutes les 0|>érations qn'ils indiquent

dagent également ; les additions deviennent des soustractions , et les sous-

liictioDs des additions j leur somme , qui est + 3 , doit donc aussi changer ôm

•lie et derenir — 3 ; on doit donc avoir

--la-f 7-^4-^Q4: — 44-6— 13+743 — 3.

£t en elFet, si Ton effectue les opérations indiquées^ on trouvera qoo iliqae expression se réduit ft — 3.