D ' A L G È B II E

car le dénominateur indiquant en combien de parties égaleg Tomté est divisée , le uumérateur marque le nombre de ces parties^; mais en considérant une fraction comme exprimant k quotient du numérateur par le dénominateur y chaque terme peut être entier ou fractionnaire, positif ou négatif. Ce dernier aspect étant celui qui convient à la généralité de l'Ambre, wms considérerons toujours une fraction algébrique, commm uidiquimt le quotient de son numérateur par son dénominct^ *teur. Or nous ayons yu ( n^ âSi ) que le quotient de deux signes Mmblables était +, et que celui de deux signes dilFérens "était—. Donc. ...

âya. Une fraction ' est positive quand ses deux termes ont signes semblables , et elle est négative quand ses deux *s ont des signes différens. Ainsi. . . .

^3. Le signe.de la valeur numérique S une frai^ion algé^ ^ dépend de la valeur numérique de x. Par eifemple^

k fraction fMzi^ Y Vax — 7 J

^ , ai— 3jr a4— 3.6 24—18 ,6

« = 6 . donne -ï = -^^ =a —^ = -r ê

'... ar»^^ - 2.0 — 7 la — 7 5

^' ^ par — 7 a. 9— 7 18 — 7 H- II II

^ , Zkk—^x 24—3.8 34 — 24 o

* = 8 , donne -2 = ■ v = ^-^ ' =: * = a

' ajt-*-7 a. 8 — 7 10 — 7 9

^74- La valeur d'une fraction ne change pas de signe , quand deux termes en changent ; car si le signe du numérateur et dénominateur étaient semblables, ils le seront encore après avoir changés , la fraction restera donc positivl ( n® 272 ) ; ■ les signes étaient différens , ils le seront encore après les changés y la fraction restera donc négative (n® ^72). On lioac avoir

t44 É L É M E tî s

En effet, les deux memBres de la i'* identité se réduisânj à 3x, et ceux de la 2* se réduisent à — 5x.

27 5. Une fraction ne change pas de signe quand ses deux termes en changent ( n" 2^4 ) > ^^^^ lorsqu'on change les signel des monômes qui composent un polynôme , la valeur numérique de ce polynôme reste la même /elle change seulement de signe (n® aSS) ; conséquemment , lorsqu'on change les signi$ des monômes qui composent les deux termes d*une fracûoni on n'en change ni le signe ni la valeur numérique. Par exempld lorsqu'on change les signes des monômes qui composent Ml deux termes de la fraction

,• elle devient

— iGo: ^j

Il est facile de s^assurer que c^s deux fractions ont le mêi signe et la même valeur numérique ; en effet, on peut de la 1'^ à la seconde par cette suite de transformations. . .' ''

Pour vcrifier directement rexactitode de cette identité, on pourra d des valeurs arbitraires à j:; on trouvera que chaque membre de l'id prend la même valeur numc'rique. Par exemple , a: = a donne . . * . •

— i5-4-5ar — i5-h5.2 — i5-+-ïo — 5

zz + 5.

27G. Une fraction change de signe quand on change le si de l'un de ses deux termes. En effet; si les signes des di termes étaifnt semblables , ils deviennent différens , lafr* qui avait le signe -f- prend donc le signe — ( n** 27a ) ; les signés étaient différens, ils deviennent semblables, la tion qui avait le signe — prend donc le signe + ( n** aja). exemple^ la fraction

D* À L G è Q RE. 145

thiH^ àe signe , qnxad on change le signe de Tua de ses deax termes ,

Quand on change les signes des monômes qui composent mi polynôme , ce poljmôme consenre la même valeur numérique , JL diange seulement de signe. Par conséquent^ lorsqiûon dumge les signes des monômes qui composent le numérateur, ea le dénominateur d'une fraction , la valeur numérique de liptl» fraction reste la même ^ elle change seulement de signe. rar exemple^ si Ton change les signes des monômes qui com-, posent le numérateur de la fraction. . .

' iBx — 7 „ , . — i6jr H- 7

, ■ y ^ , elle devient — = =-= •

i5 — Sx i5 — ox

Rerdénx fractions ne diffèrent qne par le signe de leurs valeurs numériques.' fOik peut d'ailleurs s'en convaincre en donnant à x une valeur arbitraire ; -«Bsa donne

iSx — 7 16. a — ' 7 __^ 3a— 7 -f-aS ^

f i5— Sx"^ i5-.5.a "" ï5 — lo"" H-5 """*"

277. Pour soustraire une fraction , il suffît de changer les signes des monômes qui composent son numérateur ou son [dénominateurn En effet, lorsqu'on change les signes des moxiômes qui composent l'un des deux termes d'une fraction , on le fut que changer le signe de sa valeur numérique (n^ 276) ', en effectue donc la soustraction ( u? a33 ). Ainsi. . .

( — 3ar-4-a)^^ 3cr — a , a — 3x

a^dc ^ a— jc X — a

Nous allons appliquer les règles précédentes , à la résolution équations du premier degré.

Résolution des Equations du premier degré à

seule inconnue.

978. Lorsque lea conditions d'un problème sont exprimé une équation du premier degré à une seule inconnue ^ cette: nue ne peut être combinée avec les quantités connues ^ qi voie d addition, de soustraction^ de multiplicationetde du il est donc naturel ^ pour graduer les difficultés , de comn par les équations les plus simples , celles où Fincon m combinée avec les quantités connues^ que d'une seule ma il sera ensuite facile d*en déduire la résolution des équ plus composées > car cela se réduira a leur appliquer si fiivement les règles données pour chacune des quatre me dont les quantités connues peuvent être combinées ave connue. Im. résolution des équations du premier degré seule inconnue^ peut immédiatement se déduire des seuls cipes établis dans les quatre règles de l'arithmétique, £n X désignant un nombre abstrait . . .

i". Soit l'équation, . .

où une quantité connue 3 , est combinée par voie cTadd ai>ec l'inconnue x ; cette équation peut être considérée c l'expression algébrique des conditions de ce problème ; ti un nombre x tel qu'en lui ajoutant 3 , la somme x'^égale à 5. L'équation (a) exprime que 5 est la somn nombres 3 et x; par conséquent^ d'après le principe dans la soustraction arithmétique , si de 5 , somme des noi 3 et se, on ôte 3, l'un de ces deux nombres, le reste î égal à l'autre nombre x\ on aura donc a: = 3. Cette "^ de X satisfait à l'équation ( a) , car. . .

cr = 3 donne a74-3 = a + 35:f3 5.

s^. Soit l'équation. , ,

(ft).., X — 3 = 5,

#ù iin# ifiumtité tonnue 3 est combinée par voie de sousf ftACTIOBi avec l'inconnue x. // s'agit de découvrir un nombre z, gtd diminué de 3, donne 5 pour reste. L'équation (&) » exprime qae 5 est la différence entre x et 3 ; par conséquent , d'q^ris le principe établi en arithmétique , pour faire la preuve de la foustractioa par V addition , si au plus petit nombre 3 oiw^oute la diSerence 5 ^ la somme 8 sera égale au plus grand ]UUIi1h:q a: ; on a donc x = S. £t en elTet. . .

XZS.8 domie a? — 3 = 8 — 3=1=5, ' !i yalenr de x satisfait donc à l'équation ( & ). 3^. Soit V équation, . .

fAune quantité connue^ st, est combinée par voie de MULTImCATlON avec P inconnue x. On demande un nombre x^ ^ dont le double sx soit égal à 6. Comme le produit de a par x eit 6 , pour obtenir x il faut , connaissant le produit 6 , et Tun de ses facteurs a , trouver Fantre facteur x, La solution de ce problème ne dépend que d'une division ^ car , si Ton divise le produit 6 , par son facteur 2 , le quotient 3 sera égal à l'autre fréteur x\ donc a: =3. Pour vérifier cette valeur de x^ il suffit de remarquer qu'elle donne 2x= a X 3=^ 6.

4^. Soit Inéquation. . .

où une quantité connue 3 , est combinée par voie de DïVl- ^ *ION avec l'inconnue x. // faut trouver un nombre x, qui divisé par 3 , donne un quotient x l 3 égal à 4- On connaît le ^otient 4> le diviseur 3, et il s*agit d'en déduire le dividende x. multiplication fournit le résultat , car le dividende x doit lire égal au produit la , du diviseur 3 , par le quotient 4 ; on a donc X = la. Cette valeur donnant x : 3=: ifl : 3 =1= 4> satisfait à l'équation (c?).

A l'aide des raisonnemens précédens, on pourra résoudre toutes les équations dans lesquelles les quantités connues ne feront combinées ayeg les ijuconnues, que par voie d'addition^

l48 ÉLÉMENT --^

de soustraction , de multiplication et de division. Mais, éomnïif il est de la plus grande importance de bien se persuader de^ l'exactitude des résultats que nous venons d'obtenir ^ nous allons les déduire de considérations différentes.

279. Les transformations qu'exige la résolution des éqna«' ., tions^ sont fondées sur ce principe évident. Lorsqu'on fait la' mêmes opérations sur deux quantités égales , les résultats sont ' égaux. On en déduit; 1° que si à deux quantités égales on ; ajoute une même quantité , les sommes sont égales ; a® que à^ de deux quantités égales on retranche une même quantité , . les restes sont égaux; 3° qu'en multipliant deux quantitée égales par une même quantité, les produits sont égaux; 4^ qu'en divisant deux quantités égales par une même qua»^^ tité , les quotiens sont égaux. Comme les deux membres d'un^ équation sont deux quantités égales, les principes précédmiss'y appliquent, et les transformations qui en résultent n'altèrent' pas la valeur de l'inconnue. Ces principes suffisent pour ré-r' «oudre les équations ; nous commencerons par le» équationail (^)>(^)> (c)> (^)> et nous passerons ensuite à des équation»^ plus composées.

1*. Soit r équation. . .

Si des deux quantités égales ( x -f- 3 ) et 5 , on ôte le mêma , nombre 3 /les restes^ x et (5 — 3) seront égaux ; on aura J donc . . . • . ^ /

(û') a;=5 — 3joua: = a.

Les équations (a) , ( a' ) démontrent que , pour faire passerle terme +3 , c?a premier membre ( équation a) , dans le conçl ( équation a' ) , il faut effacer ce terme dans le membr»J où il se trouve , et l'écrire dans l'autre avec le signe con-* ' traire — . ^

a". Soit l'équation. .. .

d'algèbre. i4s

Si Ton ajoute 3 à chaque membre , il viendra ....

X— '3 + 3 = 5 -f- 3 ; mais — 3 + 3 4= o i donc . . . (&').... x:^5 + 3, oua; = 8.

Les équations ( i ) , ( i' ) , démontrent que , pour faire passer le terme -^5, du premier membre ( équation b ) dans le second (équation y) , il faut t effacer dans le membre où il se trouve, et l'écrire dans t autre avec le signe contraire +.

âSo. Donc en général, pour faire passer un terme d^un membre d^une équation dans un autre y il suffit d'effacer ce terme dans le membre où il se trouve , et de l'écrire dans l'autre avec un signe contraire ;cest'à-dire avec le signe^^s'il avait le »pie + , «i avec le signe + s'il avait le signe — . Voici un© démonstration directe de ce principe; pour faire disparaître im terme d'un membre d*une équation ^ il suffit d'ajouter à chaque membre, ce terme pris avec un signe contraire; l'égdité n'est pas troublée ( n** 279 ) , le terme qu'on veut faire diqNuraître , se trouvant en -(~ et en — dans le membre où il était d'abord , en disparaît et se trouve dans l'autre membre me un signe contraire à celui qu'il avait. Cette démonstration pouvant s'appliquer à chaque terme , pour faire passer fksieurs termes d'un membre dans un autre , il suffit den danger les signes.

3*. Soit l équation, . .

En divisant les deux quantités égales 2x et 6 , par un même taibre s , les quotiens a: et | , seront égaux. Donc ....

( c' ) . . . . a' = J , ou a: = 3.

98 !• Les équations ^), (c') démontrent que^ T inconnue ^éUmi seule dans un membre , le premier , par exemple ( * ) j

(*) Les deux membres d'une équation étant des quantités égales^ on ptÊii prendre Vun pour Vautre ^ et considérer comme premier membra Bdni qui renferme x. Cela est pins naturel, car dans Pëqnation x=a, on mît que Finconane jr fi a pour ralenr ; tandis qu'en potant a ssor , il Ife 2 ciC un nombre incoana x, c« qui est ridicult.

pour la dégager du coefficient gui la multiplie, il faut lesuf^ primer dans le premier membre^ et diviser l'autre membre par ce coefficient. Il en résulte que l'inconnue z est égale os; second membre de l'équation primitive ^ divisé par le co^Jif^ cient de x dans cette équation. En yoici la démonstratioii g4«^ nérale. L'inconnire x affectée d'un coeilicient^ étant seclb d^ns le premier membre^ si on divise les deux membres pas ce coefHcient^ les quotiens seront égaux; le i^ quotient seii X , multiplié et divisé par son coefficient, c'dst-à-dire x\ la â* quotient sera le second membre de Féqnation primitive divisé par le coefficient de x\ Tégalité de ces deux quotieai donnera donc , l'inconnue égale le second membre de Péquo^ iion primitive divisé par le coefficient de l'inconnue dans cette équation,

4®. Soit ^équation, . . ( rf) . . . a; : 3== 4-

En multipliant par 3 les deux quantités égales -^ et 4> les pro*;

duits 3X^>oiia;^et3X4 seront égaux (n^ 979 ) ; on xaXH^

donc... \

282. De la comparaison des équations (c?), (^)i il ré-fj. suite que l'inconnue x étant seule dans un membre, le premier, l par exemple , pour la dégager de son diviseur, il faut le *wp*L primer dans le premier membre , et multiplier le second membrêl par ce diviseur. L'inconnue x est donc égale au second memim de C équation primitive , multiplié par le diviseur de x cette équation. Et en elFet , l'inconnue x affectée d'un diviseur, étant dans le premier membre , si Ton multiplie les d( membres par le diviseur de x, le i*"^ produit sera Tincoi multipliée et divisée par la quantité qui la divisait , c*est-à-dirii ce ; le 2* produit sera le second membre de Téquation prinri*^ tive , multiplié par le diviseur de x dans cette équation ; BKÎI^^ ces produits sont égaux ; l'inconnue x est donc égale au seconi^ membre de Ç équation primitive, multiplié p^r le divi^eufiê^ K dc^ns cette équation^

a83. Les règles précédentes donnent le moyen de dégager l'ixiconnue des quantités avec lesquelles elle est combinée par roie d'addition , de soustraction , de multiplication et de division. Il est facile d'en déduire la résolution d'une équation ^Iconque. En voici des exemples. . .

i^ earemple. Résoudre réquation .... -^

Je fut passer 3jr du a* membre dans ]e i^^, et 4 ^^ '*' ^^^^"^ '^ ^*> ^^ Rangeant les signes de ces termes (u* a8o) , ce qui donne

3x — ajr = 7 -4-4) oujr:=ii.

PonrTérifier cette valeur de x , il faut voir si elle satisfait h IVqnation frapotce. Cette condition sera remplie , si la substitution de la valeur de x , faoà les deux membres identiques. Par cette substitution, le i" membre

dnicnt

3a: — 4 = 3.11 — 44a33 — 4 r^sag ;

le a* membre devient. . . .

ax-4-7 = 2.n-+-7=^a2-i-74=^*

La valeur jr= ii est donc bonne , puisqu'elle rend le i*' membre identqoement c'gal au second.

284. En général , pour reco^naitre si une valeur de l'inconme satisfait à une équation, il faut voir si cette valeur mise i la place de l'inconnue y rend le premier membre identique-^ Ment égal au second. Lorsque cette condition est remplie , on «t certain que la valeur de l'inconnue satisfait à l'équation froposee ; et elle ne peut y satisfaire que dans ce cas. Cela est trident, car une équation étant l'expression algébrique de certaines conditions auxquelles le nombre représenté par x doit itdsfaire; si ce nombre était connu , en effectuant sur lui toutes lei opérations indiquées sur x, chaque membre devrait prendre Il même valeur numérique; et si cette condition n'était pas nmplie , le nombre mis pour a:, ne serait pas admissible. Lors donc que la valeur de x est obtenue , en la substituant dans téquation dont elle est tirée , et effectuant sur elle touli opérations indiquées , chaque membre doit se réduire au nojnbre ; et quand cela n'a pas lieu , le nombre substi^é s n'est pas la valeur de x; dans ce dm

mencér les calculs pour découvrir l'erreur, car les raisonné-'^ mens étant rigoureux , t inexactitude du résultat ne peut venir que dune faute de calcul.

L*équation (3a: — 4=2x + 7) peut être considérée comme, la traduction algébrique dé ce problème , trouver un nombre x/ tel que son' triple 5x, diminué de 4 > soit égal à son double flXy augmenté de 7; car ce problème , mis en équation , donne.. *4

Sx — 4 = 2x + 7 i d'où a; = 1 1 .

Le nombre demandé est donc 11. Et en effet , le triple de 1 1 1 , diminué de 4 > donne isg , qui est égal au double de u 1 ^ augmenté de 7.

a85. En général , toute équation algébrique peut être con*^ sidérée comme l'expression des conditions d*un problème.. Pour trouver V énoncé de ce problème , il suffit de traduire P équation proposée en langage ordinaire. Les deux membres d'une équa* tion étant égaux , on peut prendre l'un pour l'autre. Les équa^ lions

Sx — 4 = ^*"^7î aa:-+-7 = 3j: — 4

doivent donc conduire à la même valeur de x. Or /la i^* a donne 0::= 11 ; la :t« doit donc conduite au même résultat ; et en e£Pet , elle donne sacce»^ «ivement. . . . •

ajrH-7=:3x — 4) ^^ "" 3x =— 4—- 7i — * = — ï'-

Multipliant chaqiie membre de cette dernière équation par — i, on tronTt] a:zz II.

a86. En général , on peut changer les signes de tous les termes d^n équation , sans troubler l'égalité des deux membres ; car cela revient à multiplier les deux membres par — i . Ayant Téquation ....

3a:" — 4 = ^* "*" 7 * q"* donne a: = 1 1 ,

on n^altère pas la valeur de a: , en changeant les signes de tous les termes^ et posant ....

— 3« H- 4 = — 3-îc — 7 5 car cette nouvelle équation donne. ...

— 3r-h aa:=: — 7— 45 — a: = — Ii5a: = ii.

■fe' Cette transformation , fondée sur la multiplication des deux membres ptt

iF* X , revient è faire passer les termes du i«r membre dans k a*, «t eev

D' À L G È B R E. iSS

dl 9^ dam k i». En efièt, le caknl donne. . . .

Sx — is=ax'¥- 7;— ax — 7= — 3jp-*-4> — 3*-+"4 = ""*<^ — 7"

907* On aUèn la valeur de l'inconnue x, en ne changeant les signes 911 d'une partie ée* termes. Par exemple , ayant réqoation ....

3cr— 4=^"'^ 7> V^ donne a: =: ii ,

A M diMige lef signes des termes — 4 et ax , Tineonnae x doit changer defaleor; car le i*' membre augmentant, et le a* membre dinÛMuant, la mhus valenr de x ne peut plus rendre les deux membres égaux. Et eu tièt y relation. . . .

3x-f-4=~ 9X-4-7, donne 5ix=:3; x=:3 : 5.

If* exemple' Rëioadxe l'équation

fmÊtmi tons les termes en x dans le i«r membre , et les nombres dans 1^ Piêeuhn, on tronre (n® a8o)

de chaque membre donne

Il Talenr a de x est exacte , car elle réduit l'équation propotée à l'identîié

Uh exemple. Résoudre l'équation...

5a — 5 (ax — i ) = 27.

ht i*r membre exprime que de 5a on doit soustraire 5 fois la quantité (*r-i);or

5 fois (ax — 1 ) s^ lox — 5.

l/éqnatîon proposée derient donc. . . .

5a — ( lox — 5 ) = 27.

Mais pour soustraire (lox — 5) , il faut changer les signes des termef :f loz , — 5 j on a donc ....

5a — lox H- 5 = a7 ; ou 57 — lox ■= 27 ; d'oii — lox = 27 — 57 j — lox = — 3o ;

lia substitution de cette valeur de x dans l'équation proposée , rend les membres identiquement égaux j car il en résulte

Sa— 5(2x--j}=:5a-T5(a.3-:i)4=52<«'5.5#3 5a— ^4327.

<l54 É L É M E ir s

On peut effectuer le calcnl de cette antie manière. . . •'

5a — 5 (ax — i)=:a7^ donne a7=5a — 5(ar^i;; dtant 37 de ehaqne membre , il vient. • . .

o=:a5— 5 (ax — i);

passant 5 ( ax — t ) dans le i^r membre , et diviiant ensaîte par i trouve... .

5 (ax— i)=:a5y ax— I =5^.ax=6jxz=3.

If^" exemple. Résoudre Téquation. . . .

aox — 5o (3x — 4) = î*oo — ao{4x — 5) — 5o(3x — 4)î on en déduit successÎTement. . . .

aox — ( i5ox — aoo) = aoo — (8ox — 100) — ( i5ox ^ ao aox — i5ox -4- aoo =: aoo — 8ox H- 100 — i5ox H- ao aox •— i5ox -♦- 80X -♦- i5ox := aoo -4- rao + aoo — ao xoox = 3oo ; X = 3.

En examinant la forme de Fégoation proposée , on peut abrège calculs. En effet , si Ton ôte de chaque membre la quantité — 5o (3x • les restes seront égaux ^ £t Ton aura. . . •'

aox = aoo — ao(4jf — 5).

Divisant les deux membres par ao , et obserrant que pour diviser un duit, il suffit de diviser un de ses facteurs (B. b9 i58), on trouvera. .

x = io — (4x — 5)î0U x:= 10 — 4* -*- 5.

On en déduit....