II
pour lo'''.,.
lo-'
fl. . ..
Sa.
0637*' 11-*" ii**| 17 I 8
Puisqu'une aune coôte 65' 17^ ii^, il est clair que 39 aones
^ doivent coûter Sq fois 65* i*^^ ii**, plus les ^ de ce même
nombre; c'est-à-dire qu'il faut multiplier d'^ftbord 65* 17*'' 11**
par 3g , et ensuite par ^.
La première multiplication n'offre aucune difficulté^ d'après ce qui a été dit ci-dessus; ainsi ^ nous ne nous y arrêterons pas » et l'on obtient les 8 premiers produits partiels comme précédemment.
Passons i la multiplication par 4. Or , cette fraction peut se
décomposer en ^ ou -, plus -=. qui est la moitié de S, plus jr
qui est la moitié de -'^donc, pour obtenir le produit par g , il
102 MULTIPUCÀTIO^' DES .NOAfBRE8^iCOMPI«isXJS6«
suffit dé prendre d*abord la moitié de Çff*', iS^^ &!*'>. puis la moitié de cette moitié» et tinfijoi U. XQoitié de <?^ttp. nouvaUe moitié, ; ., '
Prenant donc la moitié du multiplicande . on obtient. ...»
Sa'"' i8^ 1 1*^ -, que Ton écrit au-dessous des produits précédens*
Prenons maintenant la moitié de ce dernier produit; la moitié
de 3a est i6; la moitié de 1 8 sous est g ; la moitié de 1 1 est 5 >
et il reste i qui . réuni à - , donne - , ddnt la moitié est -;;; ainsi. ^ a a . 4
le nouveau produit est i6* g*^ 5*^ -t.
Prenant encore la moitié de celui-ci, on dit : la moitié de i6
est 8; la moitié de g est 4 # et il reste i sou qui vaut la deniers ;
la et 5 font ij, dont la moitié est 8, et il reste i qui, ajouté
à 71 donne ^ dont la moitié est h; ainsi, ce dernier produit
est égal à 8^ 4^ 8^ |.
Il reste à additionner les produits partiels , en commençant par les fractions.
Comme le dénominateur 8 est, par la nature mém^ des opérations, muft^/e des deux autres , on le place d*abord (n® 55)
k la droite et un peu au*dessus de la fraction -, et l'on souligne ; puis on écrit au-dessous de 8 et respectivement ^r la même ligne que les fraction^, les quotiens 4; ? et i résultant de la division de 8 par les trois dénominateurs (ce sont les nombres par lesquels il faut multiplier les deux termes de . chaque fraction , pour avoir le même dénominateur). Cela posé , on multiplie les numérateurs de ces fractions par ces quotiens ; ce qui donne 4> 6 et 7, dont en fait raddit3<yn^ et l'on obtient
pour soQ()ide 17; «insi , la somme des iBr^^tibn^ est rJ^» 9^ â plus v.« Alors , on pose -x au-dessous des trois fractions , et l'on
rètinit; s 'deniqrt ». {iç^v^ros r^otter à la colonne des 4eaiars ^ws iaqnaUeÀs opàne, aialiiqW} surles «utv^j jp^smie oa 1'^ indique précédemment.
On Qbti6bt{ 6n£a pomrje: produit 4€<>^n4é > .c'e^t-ràrdire pour
îe {>rix . àes ^g» | , ^7^ 11»^ i-i^'L ■ ' ^ '' ' ' : ■ -: . ':'•
On toit d'àprè)s-cet'eze;pi];>ré/ ^ué^'foriqiié'/e TnuMpliatHm contient des, parties ou subdivisions de t unité principale^ Tarti&ce'de' là méthode coiisistie encore ^ aèciinipôsèr ies' svhdïvl-' MM de ce^fadeur «i4 mrtibs AM9WVE5, mpdi^t^oi^ principale , 8oit les unes des, autres^ puis k prendre du muHi" plicande ctades produits qui en résultent \ des parties indiquées p^r.. ces parties aliquptes* . ,,; . , ,
a5* iq*^ 5** .^-'iiib".' go-'io:
powr 10*'^. ... 04 io^'
a 6 18 ; . . ., :î trr.
ip.i,. ^1 ^4 6.6 f...ia...6o
I o 7 a fj... i...4i -^^^^
'Vi. .. Ir*» 4!^
Nons supposerai» iciyfcaiàlne dani Ifelsexi^lftiipréoéd^ntj
Iû4 MtJLTlI^tlCATlON D£â NOMBRES COMPLEXBâ.
que l'on ait efF«etné le ppodttit ^e s5^ 19*^ 5^ par '69 ; et la
somktte de ces premiers produits pattiéls^ expsîiuerait le prix
des 69 toises.
" Maintenant, pour déterminer le prix de 4^ iiP du même
ouvrage , observons qu'une toise coûtant ^^ 19*^ 5^, 4 pi^ds on
9.pie43 plus. 1 .pi#d , «cfestr^i-dire , ^ plu6 7 ,de toise, dç^vent
coûter les g on la mokié, pins le g ou le ^iers, de la ^moitié de
aS^îQ^SK Demêiiie, li pouces se- décomposant en 6 pouces
plus 5 poucçs, plus ja pouces, bu bien, en — , j>tiis —, gtiis -^^
plus — de pied , doivent coûter la moitié du prix que Ton atira
obtenu pour le pied, plus la moitié de ceinte rnoitié^y pli^ enfin deux fois le tiers de cette nouvelle moitié. Il fa^ut doiic former tous ces produits.
D'abord, pour 3 pie;ds,.on prend la moitié de q5^ 19^ 5^, ce
qui donne la*" 19*^ 8** -; pour 1 pied, on prend le tiers de ce
produit, et Ton trouve 4*6'^G**^ (en, observant que, lorsqu'on est
parvenu aux deniers, il en reste a qui, joints à -, donnent -,
dont le ^ est g).
Pour 6 ponces, on prend la moitié du produit précédent, et il vient a^3*^3^ — ;.poRr Spoucea, on prend encore la moitié de
ce deniier produit, c^ qui donnei* ]^''*7** -^. Enfi^ , pour 1 pouce ,
. on prend le tiers de celui-ci , et l'on a o* 7»^ a^ — , qu'on écrit
deux fois.
Quant à l'addition ^^-pjjttdmtfi partiels, on la fait, comme dans le premier exetiipte, en observant toujours que le dénominateur ^3 est multiple de tous les autres , et qu'alors on peut appliquer ^ux'^actioils ies simpHfieations du^n^ 4^.
MULTIPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES. 'lo5
Jiisiin*à ipriaent, le multiplicande exprimait des livres , tous et deniers , et alors le produit représentait des unités et subdivisions de la même nature. Voici une nouvelle question dans laquelle le multiplicande et le produit expriment des toises ^ pieds f pouces..*.
On peut faire exécuter 69*^ 4^ 1 1^ pour \* ; on demande le nombre de toises qu'on fera exécuter pour a5^ igJ* 5^.
Il est évident que , pour obtenir le nombre de tobes demandé , il faut multiplier 69*^4^ iiP par a5 livres, et par les subdivisions de la livre , que comporte l'énoncé ; car, si pour une livre on a pu faire exécuter 69*^ 4/^ ^^9 ^^ s'ensuit que pour 19 sous
ou — de livre, on peyt faire exécuter les —de 69*^ 4^ iiP, • ao ao
c'est-à-dîre, les — ou la moitié, plus les — ou la moitié de ' ao '^ ao
la moitié , plus^tc
Nous noua bornerons à présenter le tableau des calculs de
pette nouvelle multiplication :
69*^ 4P IIP a5* 19*^ 5*»
pour 3' . . . .
la
Il À
iSiS»" iP 7» 4^U
ao
iT
ao
106 MIILTIFLICXTION DES NOMBRES <:OMPLfiX18.
•74, JV. B. Remaïquons que > dans ce dernier exemple » les dénximcteurB de la multiplication sont les mêmes que ceux de r«xeiiiple précédent; et cependant, ota a obtenu deux résultats qui dîiFèrent Tun de l'autre^ sinon par Fentier qui y entre, aii moins par la nature de 1 unité principale , et par les sabdiyisiob» de cette unité. D'où l'oÀ voit ^ne le principe dti n® iiS, qui consiste en àe que Conp^ut intervertir Votdre des facteurs éCun produit^ sans changer le produit^ n'est vrai rigovnreuseikient qnè pour lee nombres abstraies. Il résulté, en effet/ de la déShition de là multiplication » que^ toutes les fois que Ton considère des nombres conoifetB, le produit et le multiplicande doivent être de même jiature (^), tandis que le multiplioatei^r , quoique pouvant être d'abord exprimé par un nombre concret, doit toujours être considéré comme un nombre abstrait qui désigne combien de fois on doit répéter le multiplicande , ou quelle partie on en doit prendre. Il faut donc , lorsque Ton a une multiplication à «ffeetuer, avoir soin de détîerminer lequel des deux facteurs doit être pris pour multiplicande', c6')^i n'est pas difficile, puisqu'il qst de même nature que le produit, et que la nature de celui«ci est indiquée par Ténoncé de la question.
75. La preuve naturelle de la multiplication se fait par la division ; mais il est en général plus simple , à cause des fractions compliquées que renferme souvent le produit ^ de doubler le multiplicande f et de prendre la moitié du multiplicateur^ ou réciproquement. .Nous engageons les coxnmençans à re-*prendre les exemples ci-dessus , et à en faire les preuves d'après cette médiode. Voici d'ailleurs de nouveaux exemples sur lesquels ils peuvent s'exercer.
1°. Déterminer le prix de 351b i*" 5'* 4' /fif' dune certaine marchandise , en supposant que la livre poids coûte a3^ 17*^ 5K
Rép. 855*^ 8^ 10»' %
C^) Le tofté dea surfaces et des solides , en €rëomècrie, offre une exception ^ ce npuvean principe.
MULTIPLICATION P£S NOMBRES GOIiriEICES. ^OJ
2*». Multiplier iSq*^ 5^ o» ii* par ^5* 19*^ l'i*^. Rép. 3G35Tai*5*ioi ^.
3^ Multiplier Si^ 17»^ 9^ par iS* 1 i-^'.B**, le produit devant être de même nature que les deux facteurs. Il faut toutefois (n** 74) regarder, dans la multiplication, le multiplicateur comme un nombre abstrait.
Rép. 496^10^3^1^.
Nous aurons à traiter par la suite (CHAP. Vil), des questions susceptibles de donner lieu aux deux dernières opérations. Ce sont les questions d'intérêt.
Division des nombres complexes.
Nous distioguergns également deux cas principafix ;. ou le dividende et le diviseur sont de même nature, par rapport à leur unité principale ; ou bien, ils sont de nature dtff'érente.
76. Premier cas. Si le dividende et le divbeur sont ^e même nature, par rapport à leur unité principale, réduisez (n** 66) les nombres en unités de la. plus petite des subdivisions que ces nombres renferment, puis effectuez la division des deux résultats, en convertissant, suivant la réglé au n** 67, le quotient en un nombre complexe de la nature que comporte ténçncé de la question.
Ceci va s'éclaircir sur des exemples.
PREMIER EXEMPLE
La toise d^un certain ouvrage coûte 47* ^9'^ 5*"/ on demande le nombre de toises que Von peut faire exécuter pour 2728* i 7*^ I G*.
Si l'on connaissait le nombre de toises demandé > il est clair qu'en multipliant le prix d*une toise, ou ^j* 19*^5** par ce» nombre, on devrait reproduire 2728*" 17*^ 10**; donc il faut diviser celui-ci par 47^ ^^^ 5*.
io8
