CHAPITRE IV

Des Fractiqns décimales^ et dd fiow^eâu Système

des poids et mesures.

§ V*. Des fractions décimalesé

8o« jL/£ toutes les manières de subdiviser Tunîté principale , la plus simple et la plus commode pour les. calculs ^ est, sans contredit, la subdivision en parties de dix en dix fois plue petites que l'unité; ces parties sont ce qu'on appelle deâ fractions décimales. Ce mode de subdivision oiTre de grand <) avantages, en ce qu'il ramène immédiatement, ou du moins ,. à Taide de transformations extrêmement faciles,* les op^ation^ sur les nombres fractionnaires à de simples opérations sur de» nombres entiers. Cestce que nous développerons, après avoir fait connaître la numération des fractions décimales, c'est- à-* dire , leur nomenclature et la manière de les écrire en chiffres , De même quen décuplant continuellement l'unité, ob forme de nouvelles unités auxquelles on a donné le nom de dixaines, centaines t mille ^ dizaines de milles etc.; de même aussi, l'on a^CQnçu l'unité divisée en lo parties que l'on a appeléei dixièmes; chaque dixième divisé en lo parties que I*on a appelées-centièmes, parce que. Funité principale contient lofois to ou loo de ces nouvelles parties; ensuite le centième divisai en't lo parties appelées vnitlièmes; chaque millième, en lo par^ ties- nommées dix-millièmes ^ et ainsi de suite v ce qui« a* donne* des^cent^mUlièmeSf millionièmes , dix-millionièmes , eW.*. : • ^ second'lieu, il résjulte (n** 5)^u priacip» fQn()amental de' lu noiDérationécrit» des nombres ^tiers, que les ch|ifres:; en.

«i4 H0119M rB4l4MltfMMt

Temontant de droite à gauche, ont des valeurs relatives de dix en dix fois plus grandes , ou bien , en descendant de gauche à droite > ont des valeurs de dix en dix fois plus petites. D*où î! suit que si , à la droite d*un nombre entier déjà écrit en chiiFres, ^ on place de nouveaux thiffres ^ tn ajaat soin toutefois de distinguer par un signe quelconque» une virgule» par exemple» le nombre entier, de ces nouveaux chiffres, on aura par cela même, ^présenté de« parties 4e dix en dix fois plus petites que Tunité^ c'est-à-dire des dixièmes i des centièmes ^ des millièmes, etc. Ainsi» Fensemble des chiffres n4i7S exprimera ù4 unités» 7 dixièmes et 5 centièmes ; 5,4?^ exprimera 5 unités» 4 dixièmes, 7 centièmes et 8 millièmes^

8i. Soit proposé dénoncer en langage ordinaire le nombre écrit en chiffres.,.. 56,i5oS.

Ce nombre peut d'abord s'énoncer ainsi : 56 unités, 3 dixième»; 5 centièmes, o millièmes et 6 dix^millièmes ; mais observons que 5 dixièrikes valent 3(d centièmes ou 3oo miliièmes, oa 5ooo dix-millièmes; de même, 5 centièmes valent 5o mî/lièmes ou 6oo dix^millièmes ; donc , le nombre total revient à 66 unités ZSo6 dix^mïtlièmes ; c'est-à-dire que, pour énoncer en langage ordinaire un nombre fractionnaire décimal écrit en chiffres» il faut énoncer séparément la partie entière, ou la -partie à la gauche de la virgule , énoncer ensuite la partie qui est à ta droite, comme si elle exprimait un nombre entier, ei placer à la fin de l'énoncé, le nom de Punité de la dernière suUimion décimale.

Ainsi, 7»49^o5 représente 7 unités, plus 495o5 cent-millièmes* De même » »4Si^^^^^ représente ajfy unités , plus 7068 miU Uoniknesi

On peut encore» si Ton veat» eomprendre dans on seul Anoacé la partie entière et la partie décimale. En efïlet , z«pr** nons pour exemple» ta nombre 66»35o6 ; comme une miité vaut 10 dixièmes cm 100 centièmes» 1000 millièmes» loooo dix-millièmes» il s'ensuit que B6 unités équivalent è S60000 dise^ milKèmêS ; et par eo^aséqueiit 56»35o6 représente 56S5o9 dise^ millièmes; de rnAme 7 unités vmlant 700000 cent-mUHèm^ t

80R XJ^ FR^CtlOllf DECIMALES. i|$

Je nombre 7,^5qS revient à 7493^5 çemt^nyUi^es ; ç^eit-à-- .(]il>e qu'il si0it , çprès avoir pnoncé h nombre comme s'il ny avait pas cfe ^irg^iie» déplacer q la fin de l'énoncé le nom de ladernièr^ subdivision. AfaU il est d*U8?ge fl*éao9cer la partie entière séparément.

Réciproquement, on propose d'écrire en chijfres unefraotion décimale énoncée en langage ordinaire.

^oit à écrire le nombre vingt^neuf unités , trois cent cin-^ quanfe-^uatre milUèmea. Écrivez d'abord la partie entière ag ; ensuite , comme 3oo millièmes reviennsilt à 5 dixièmes , que 5o millièmes forment 5 centièmes, placez une virgule i la droite de hq, et écrivez ensuite successivement les chiJFres 5, 5 et 4; il viendra ag,354 pour le nombre énoncé. Pareillement^ cent neuf unités deux mille trois dix- millièmes s'écriront ipSiSocB.

Soit encore à écrire le nombre 8 unités Zj millièmes*

Comme 3o millièmes font 3 centièmes, et qu*il n*y a pas da dixièmes dans l'énoncé , on écrit S,d3y; c'est-à-dire que l'on met à la droite de la virgule un o, pour tenir lieu des dixièmes qui manquent, et donneur ainsi aux chiffres qui suivent leur véritable valeur.

RiGLE GÉNÉRALE. PooT écrire an chiffres un nombre dédmal énoncé en langage ordinaire , commencez par écrire ta partie entière et placez une virgule; puis écrivez successivement à la droite de cette virgule, les f?hiff^es xfid représentât Us dixièmes, centièmes, etc., que renferme l'énoncé, en qjrant soin de remplacer par des zéros les différens ordres qui peuvent manquer.

S'il n'y a pas de partie entière, c'est*i«dira^ ii la iiombre proposé est une fraction proprement dite, écrives un o pofir tenir lieu de la partie entière, et opérez ensuite ivmme tm Pfeut de I0 dire, JUi^i» dix-sept centièmes ce remrésentent par A«I7* 9^^ vingt-cinq diiç-mUfi^mes ^ par 0,0 1^5^ douze milla deux cent quatre millionièmes , pa^ o,pi^o4-

Ç^fiiiy d^ Yéopï^ du QpmWe^ la partie çintii&re^peiit ut S^àfrp ^if^uftii^ d^ li^PfiTttf décimale j a^lors le nombre n'e»

1X6 NOTfONS PRéLIMINAfRES

est qut plus facile à écrire en cbiffres II faut écrire le nombre comme s*il exprimait des unités entières f et ensuite placer une virgule , dé manière que le dernier chiffre à droite exprime des unités de la dernière subdivision que comporte V énoncé.

Par exemple , pour écrire le nombre Iquatre mille deux cent qxxdiXone centièmes ^ écrivez d'abord 4a i4> ^^ comme le dernier chiffre doit exprimer des centièmes , placez la virgule entre a et 1 , ce qui donne 4^114-

De! mêmei deux cent cinquante-trois mille vingt-neuf dïx-^ millièmes se représentera par a5,3oa9; et ainsi des autres.

8a. On sent déjà tout l'avantage que présente cette maniera d'écrire les fractions décimales. Une fraction se compose ordinairement de deux nombres placés l'un au-dessus de l'autre , savoir: le numérateur et le dénominateur. Ici, la virgule tient lieu du dénominateur, qui est censé égal à [unité suivie d'autant de zéros quily ade chiffres décimaux, c'est-àrdîre de chiffres à 'la droite de la virgule. Quant au numérateur , il se compose de [ensemble des chiffres qui sont à la droite de la virgule^ ^ou bien , si l'on considère l'entier comme réduit en fraction , c'est le nombre proposé f abstraction faite de la virgule»

Ainsi I le nombre 2Zy5d5y mis sous la forme ordinaire d'une

-fraction , revient a ao — ou ^ ; le nombre 9.oo4oa

' loooo loooo 'Ta

, , , Aoq 200409 p K y . .

i«»t égal a a ■ » on ^\ enfin, o,oooai54 équivaut a

® lOOOOO 100000 -r ^ ,

ai54

' 53 Réciproquement, a**-— ou ^IX:^ se changent en a,o53;

loooo /»?"^a.. .

Ces transformations de fractions décimales en fi-aôtions ordi« naire^ , et de fractions ordinaires en fractions décimales , sont ^ d*u.n usage, continuel dans le calcul.

83. Il résulte d'abord de là , que si y dans une fraction déci^ mate, on avance la k^irgufe d'un ou -de plusieurs ranffs vers la

SUR LES FaACTXpNS DÉCIMALES. I17

'droite , on multiplie le noifibre, par 10, 100^ 1 000 y etc. ; et quW contraire y en. l'avançant ^un ou de plusieurs rangs vers la gauche f on le. divise par 10, lOQ, 1000... \ k

Soit, par exemple^ le nombre /i53|07a95y et supposons qu'on avance Icf. virgul&de 3 rangs versila jdroita, ce, qui donne iBSoys^g^i? j^ dis que le nombre est rendu looq fois

phis grand. En effet , 'le nombre prîïnîtîf revient à - — S-3^ r o 9 r ^ loôpoo ^

et lorsque la virgule est déplacée > il devient ^-^', fraction dont le dénominateur est 1000 fois plus petit que. celui de Tautre fraction; donc (n® 4^), la> seconde fraction est 1000 fois plus grande que la proposésé -'• ' Au contuaiie, ur Ton avance la virgule de -a rangs vers Va

gaucbe, il vient i,53o7aq5 ou ^-^, fraction dontledér

Dominateur est 100 fois plus grai|d que celui de la fraction

iSSotsqS • " '

proposée. L.JL.' donc, la nouvelle fraction est 100 fois.

^ ^ loooqo ^ î . î

plus petite. ^

On peut encore s'en rendre compte , en observant que.>^per fe

déplacement de la virgule^ la valeur relative de chaque chiffre

devient 10, 100, 1000, etc., fpîs plus grande où plus pétïte.

Ainsi ^ en comparant 153072,96, à 153,07395» on voit que 1»

chiffre 3, qui exprimait dans celui-ci des unités simples, exr-

prime maintenant des mille; le chiffre 5 à la gauche du S, qui

exprimait des dixaines , représente maintenant des dixaines Je

mille; et ainsi des autres chiffre3.

84* V addition êCun nombre quelconque de zéros, à la droite

dune frcLction décimale^ y! en change point la valejir.

Ainsi, 3,4i5 équivaut.à,3,4t5o ou 3^i5oo ou S^iSopo...;

en effet, ces noiâbr^s peuvent (n® 8a} sô mettre sous la forme

: 1 , . . • ; or , les deux dernières fractions ns

1000 10000 looooo ; .

sont autre chose que la première,. dont oa a multiplié les deux

termes par 1 o ^ 1 00 ^ ce qui ifen change paa la valeur (a^ 4^).

Ou bUh , on jpeuf obsërter (faé \é» zitoè t/fàtM$ i h^ dxtnItÈ àét chitheB défi écrits n^en changetft pas îâ vakur teîûtiyé ; et, comme ces zéros n'ont aucune yalenr par eux-mêmes, là fraction reste toujours la même.

Cette dernière transformation serf à réduire âés fraeïionà déeimalès^ùu Triêfnè dënominàieuh.Vàr exemple, les firacdoni i^i4c7 I o^aS I 7,o4S6 | a!5,4» revienn^t à 19,4^0 | o,a5oo| 7,0456 I &3;4ooo; et, sous cette forme , elles ont 10000 pour dénomidàtiilr commun.

Ces notions établies , nous ponyons passer aux opiêrations sur tés fractions décimales.

85. AdéUiion et Somtraction. On effSsotne Fadditida te tractions déoimales dii la même manière que celle des nombres entiers , après les avoir toutefois réduites au même dénomina^' teur, et en ayant soin de séparer par une virgule, au résultat , autant de chiffrei dédmaux quily en avait dans cdui ito nombres qui en renfermait le plus.

tTn seul exemple suiG^a pour éclaircir cette règle.

On propose Rajouter les nombres 5a^oS6 \ 945^379 [ 1 9>b47é| 9iSS et 459,92(75.

J*aionte d*abord un o à la droite clu second nombre, et deux ft la droite du quatrième; puis j*écris les nombres ainsi préparés, les uns au-dessbus dés autres, de manière que les unités d*tta même ordre se correspondent, et je fais l'addition comme à Tordinaire. 39,4o56

ie trouvé podr résultat 7684497 > ou sé« 94^ > ^73^ parant 4 chiffres décimaux vers la droite , 19,0476^ 768,443^ î car tés nombres qu*on a ajoutée g,3éoo expriment des unités de dîx-niilliêjnè^ 45q ^ ^3^^

"^ laptatiqaè^ on {ièut èè dispebkèt

tfafoùtèr dès 2«ros à ta droite des nombre» 7^*<^7 qui ont le moins de cbifl'res décimaux, ^^ ^**^ pourvu que l^on ait bien soin de disposer kiMmitéséPuH même ordndms une niimecoknàe.

La knistraérioa i'èfftettte àuisi etitiufto oèllo des iiombrea

tfmxmuck'nw obs i&àctieits DiciuAiiBs. ity

«ttien p 9piè$ 90e A»j< m réduit im fraciioru décimalm «» mêmfi dénaminaÙBUr (n* 84).

Par exemple I soit à scmstraire &3,0784 dé 6s,o9»

J'ajoute dânoc târoa 1 la droite de 6^,69 , ce qui ne âdsoe fo^ogoo; puÎB!J*effeâtu« hi toustrablioâ / comme à rol?Aiiiairei j'ai soin èeuleoieitt ^^^<>9^ dé séparer 4 thlff^et déeitnaûx ifetê b ^^,0784 dfoîtè dti tésuïtât. ' 55,01 lï

Ces procédés Sont fbndéà sur de que g^ ^^ ^^^ les Unités de dîff A-eiiii ordres , ' dârtà leà- » ^ r fractions décimales^ ayant les mêmes f apports de grandeur les tines à t*égard des autres, que dans leâ nombres entiers « il dpit en être de même pour lek rétenues, ba pour les emprunts auxquels on e^ Conduit , que s'il ili^aît d'opérer sur des nombres entiers.

86. Multiplication des fractions décimales. Pour elPéctâét cette opération , multipliez les deux nombres proposés f Un par f autre, sans faire attention à la viYgulè fjut'sy trouve) et lorsque tôuS aurez obtenu lé produH^ total', sépara» Ven là droite, par une virgule, autant de éUiffrei décimants q^'H;^ en a dans les deux facteurs.

Soit, par eocetnpU, à multiplier S5,4oy par ià,54.

Pour nous tendre compte du procédé /observons que les deux nombres proposés peuvent se 36,4^

^ , . ^33407 ^ iaB4 ^ »a*B4

multiplier deu:)t fractions l'une par Tautre , il 177075 feut ( n» S6 ) multiplier numérateur par humé' 70814 ratéur^ et dénominateur par dénominateur) 35407

mais les detix numérateurs ne sont autre chose j-|-j

que les nombres proposés, abstraction faîte de 444»o<>*7® la virgule ; on dbit dond premièi-ement multiplier ces deux nombres l'un par l'autre , ce qui douné 444oo378. Ou a ensuite pour le produit desdénomlnateurs, 106000, c'est-à-diré, l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a de ehiffres décimaux dahs les deux facteurs; et il faut diviser le produit obtenu, par lOOooOp

ISO. MiJLTiPUCATtON. DES ÏÏKACSUXHS VéGmktESÎ

ee qui ..revient éyidemmeat à empares 5 chiffres décimaux* rert ■ la droite ; on trouve ainsi pour résultat 444>^3c378; donc, etc;

Autrement :.fixi ôtant la virgule dans le multiplicande^ on le iattltiplie- évidemment, pat looo, puisquil exprimait d*abord des looo'S et qu*il exprime maintenant des unités simples ( donc, en vertu des principes du.n° 4^, le produit est, part là, rendu looo fois trop grand; de même, comme en ôtant la virgule dans le multiplicateur^ on le rend loo fois plus grande il s'ensuit que le produit est de nouveau rendu loo fois trop grand; il est donc, par la suppression des deux virgules, xendii 100000 fois trop grand; et, pour le ramener à sa juste valeur, il faut le diviser par looooo, ou séparer 6 chiffres décimaux vers aa droite. j

Le. raispnAement serait analogue , si Ton avait un plus ou moins grand nombre de chiffres décimaux dans les deujp lecteurs.

Il peut arriver que, Tun des deux nombres seulement renferme des décimales. .D,an8 ce cas , on sépare vers la droite du produit, autant de, chiffres décimaux quHl y en a dans ce nombre. Cest un cas trop facile pour que nous nous j arrêtions.

On trouvera d'après ceï règles :

1®. Que le produit de 4;o567 par g,5o3 est égal à 38«55o8ac>i ;

î2°. Le produit de 4>ooi5 par ag, est ii6,o435;

3®, Le produit de o»o3o54 par o,o33, est 0,00070349»

iV« B^ .Ce dernier exemple mérite quelque attention. En faisant abstraction de ii virgule dans les deux feoteur»,* et^ffectoant la multiplicatioii , on troqvç pour produit, 7004^,; mais comme il y a cinq chiffres décimayx dans le. multiplicande , et trois dans le multiplicateur, il ^n faut huit au produit qni cepen.dant ne renferme que.ci/i</ chiffres.. Pour lever la diiSculté^ on observe .quf), le produit devant exprimer des unités du 8* ordres décimal, il suffit d'écrire à la gauôhe de 70342 >^ des .zéros /en nqmbre suffisant, pour qu*en plaj^nt ensuite la,«yirr gule, Iç dernier chiffré 9 occupe le 8* rang décimal. Ici, i*oa doit en ajouter quatre , en comptant celui qui doit Xtnit la place des entiers , et Ton trouve 0,00(570243.

. idilYtëlOlf DÉS FkACTIONS DÉCIMÀtËS. iàl

if. Division desfrattions décimales. Cette opération n'ofiîr^ pas plus de difficulté. Commencez par réduire les deux'nombres proposés au mêine dénominateur (n^ 64^; faites ensuite la division, sans faire attention à la virgule ; vous obtenez ainsi le quotient demandé.

ScHt à diviser ^,047 par a^BSGgS.

Je commence par ajouter deux zéros 4304700 à la droite de 4^*^47 > ce qui doune — r — - 43,04700; puis je divise ^^q^joo par / ''

aSSBsS

253698 , et j*obtîen3 , pour le yéritable a4^^3^

quotient, .6 ^gp..

En efiet> après Taddition de deux zéros à la droite du ' dividende^ ce qui nen change pas la valeur^ les deux nombres

proposés peuvent être mis sons la forme - — ^ — et ^î

Or, pour les diviser Tun par l'autre, il faut (n° Sg) multiplier

la fraction dividende par la fraction diviseur renversée. On

aura donc^ en observant que 100000 est facteur commun

des deux termes^ le résultat Jz^ a \ c'est-à-dire qu'i/ faut

faire la division des deux nombres considérés sans la virgule ^ après avoir toutefois rendu le nombre des chiffres décimaux le même de part et d^autre.

On peut dire encore que, les deux fractioiis décmialea' étant réduites au même dénominateur, si l'on ôte la virgule dans les ideux termes > on rend le dividende et ,1e diviseur le même nombre de fois plus grands ; donc , le quotient ne change

pas (n®'4o)* ' '

On trouvera par ce procédé, que le quo- 347o3 270 tient de la division de 3;47o3 par 0,027, ^ ^ •

jj 143

Cdûî de 0,596 par 0,00201 est 296 — -* ^4^

S84 Dans les- exemples précédons^ on a obtenu' facilement

i«t KiDvcnon d'vxs raAGTiov oamMâits

I« fûotwnt entier de la difiaion; nais les firacttoni propres A compléter le quotient, ayant des termes très grands^ sont . dil&Gîles i évaluer. Il est alon naturel de chercher a exprimer cette fractioa en parties plus simples de Tuaité principale v par exemple 9 en dixièmes > centièmes, millièmes, etc..^

Proposons-nous donc cette nouvelle question génétâle :

tJlve fraction quelconque de t unité principale d'une certdinn natuTB étant donnée , évaluer cette fraction en fraction m maUj ou bien, la convertir en fraction décimale*

n.li i

amm mm

Soit proposée d'abord la fraction -7-.. ..«-

Le nombre proposé étant rapporté à rotii-. -.^

fé principale, e]fcprime les— decette unité ; — -

mais» comme une unité simple vaut lô *^

dijHèmes, il s'ensuit que —revient à -j— 37

de dixième; ainsi» lorsqu'on a disposé les deux nombres 1 3 et 47» comme dans la division ordinaire > si Ton met d'abord un au quotient, pour tenir lieu des entiers» que Ton place une virgule» et qu'on divise i3o par 4? 9 le quotient a ainsi obtenu » et écrit à la droite de la virgule »

i5 représente le nombre de dixièmes contenus dans ~ ; c'eit-^-dire

^e «;- est égal à a dixièmes , plus -r- de dixième. ParfeiHement »

^^ ^^ se

comme 1 dixième vaut 10 centièmes » il s'ensuit que -7* de

Sffo dixième est égal à ---* de centième; ou » effectuant cette non-

3i velle division» à 7 centièmes, plus -7- de centième* En ajou-

tant un noaveau o à la droite de 3i , et divisant 3io .par'47f

on trouve pour quotient 6 millièmes, que l'on écrit i la droite

des deux précédent , «t pour reste &8» a c6té^ duquel on ajoute

«B aottreÉu o pour en faire des iiX'ftdUièmes ; êinâi de aiilte. En poussant l'opération jusqu'à ce qu'on ait obtenu B chlSree

décimaux y on trouve, que — équivaut à 0,27569, plus ~ de

cent^millième , fraction qu*on peut négliger; et Ton dit atoxi

que o^aySSg est la valeur de — » 4 "^ cent-minième près ,

puisque la fraction a^Iîgée tét moindre que l'unité de <M

ordre.

En général , pour cdnîrertir une fraction ordinaire en fràctiw décimale, disposez les deux nombres comme dans la division ^ écrives^ un o au quotient, et à la droite de ce zéro une vifguteé Cela posé , ajoutez à la droite du numérateur un 0,, et divisez, i$ nombre résultant par le dénominateur; vous obtenu un quotient qui exprime les DIXIÈMES, et un certain reste. Écrivez uH o à la droite de ce reste , et divisez le nombre résultant , par /f dénominateur ; vous obtenez un quotient qui exprim$ les CENTIÈMES et un nouveau reste; écrivez un o à la droite d^f ce reste, divisez le nombre résultant par le dénominateur; vous ohtehtzùn quotient qiii exprime les MILLIÈMES, et un troisième reste ^ sur lequel vous opérez de la même manière. En&n, vous continuez éette série d'opérations, jusque ce que vous aye? obtenu autant de çhifiVes décimaox que vous désirez en avoir, ou que la^ question l'exige. S'il y a un redte, la fraction décimale que vous obtenez aix^i, ne diffère de la fraction proposée que d'une quantité moindre que l'unité de l'ordre décimal auquel vous avez arrêté le quotient.

Si Ife ntiinérateur de fa fraction eût plus grand que le déno^ ininàteur, vous cdfnmencez pdr extraire les entiers,, en les éërî<WI'i^t: ati qnbtiènt , à k plaôé du o qui devait eh tenir le rang.

Il eët aisé d*apercéVoir l'analogie qui existe entre cette opèi^atibil «t eelie qui a pour objet de cbhvertlr tin Bôihbrë fhiiàtidnhaire d'âne uaité principale (}uèlôi)nqué , en un nombre cettplexe , c^est-Â-di^« , en unités prihâf^leé et éttbdittsicAs Se cette unité (voyez n* 67).

in4 APPUCATIOIf A tA Divisia».

Noua* allobi en faire Tapplicarion aux exemples de division traités dans le n° précédent.

Soit proposé de diviser é^Ml P^^ 2,53698 , et d'évaluer U

ûuotient à moins de .

Après avoir trouvé, cotame précédem- 45o4700 | aSSGgS ment, le quotient iS avec le reste a455oa , lyg^^ao, on considère ce reste comme le numéra-

teur d'une fraction dont le dénommateur Jî

est 353698 ; et alors on ajoute un o à la 17^08 80 droite de ce reste; puis on continue la 1081920

division, ce qui donne 9 dixièmes pour ^ „,

quotient, et pour reste 172038, à la droite duquel on écrit encore un o; puis on divise le résultat par le même diviseur ; on obtient pour quotient 6 centièmes ^ et pour reste 198192 , à côté dnquel on place un o ; on divise de nouveau par le même diviseur, ce qui donne pour quotieàt 7 millièmes ^ avec un reste qu'on néglige.

On obtient ainsi 16,967 pour le quotient,^ moins de ,

puisque la quantité négligée est r^i^ ^e miltiènie.

On trouverj^it de même pour le quotient de la division de 3,47o3 par 0,027, à 0,0001 près^ 128,5396.

De même, 0,696 divisé par o,oo2qi donne pour quotient^ à 0,01 près,.., 296,51.

Nous reviendrons plus tard , Y* CHAPITEE , sur la conyer«on d'une fraction ordinaire en fraction décimal^, parce que cette opération présente plusieqrs propriétés remarquaj^lesj que nous ne pouvons développer d'une manière complète pour le moment.

89. Lorsque, da^s la division, le divisevr est un xiombre entier, ou renferme moins de chiffres décimaux que le divi*dendej au lieu d'ajouter à sa droite des zéros». pour le réduire au même dénominateur que le dividende f il est plus simple d'opérer ainsi qu'on va le voir.

AUTRE MANIÈRE D*£FFECTUER LA DIVISION. ia5

I*. Soit â diviser 43^7,48^5 par 56.

La division pouvant ici être considérée /g /«qK kc comme ayant pour objet de prendre

7>8iâi

la 56* partie di| dividende, on prend 4^ 4 d'abord le 56* de 4^*; , ou l'on divise * gg 437 par 56 , ce qui donne pour quotient — .

7 unités , et pour reste 45 , qui suivi des '^^

4 dixièmes du dividende , forme 4^4 ib5

dixièmes , dont il faut prendre encore

le 56*; c'est-à-dire que l'on divise 4^4 ^^

par 56, et Ton trouve pour quotient 8 dixièmes, qu'on écrit à

la droite du y, après avoir placé une virgule.

Le reste 6, suivi des 8 centièmes du dividende, donne 68 centièmes^ dont le 56* est 1 centième , et il reste îa, qui suivi des a millièmes du dividende, forme 132 millièmes; divisant 1 23 par 56, on obtient pour quotient a millièmes, et pour reste 1 o, à côté duquel abaissant le dernier chiffre 5, on a io5 qui, divisé par 56, donne au quotient 1 dix-millième ; donc enfin, le quotient demandé est 7,8121.

Ce quotient n'est exact qu'à 0,0001 près ; mais si Ton voulait obtenir un plus grand degré d'approximation, il faudrait ajouter à côté du reste 4g un o, et continuer suivant la règle du n" 88.

Il est facile de reconnaître que cette manière d'opérer est plus simple que si Ton eût d'abord ajouté 4 zéros à la droite du diviseur, afin de le réduire au même dénominateur que le dividende.

On trouverait de même, que 14,37586 divisé par 213, donne pour quotient o,o6564> à 0,06001 près.

a^. Soit à diviser 3,4o567 par o^oSg.

Au lieu d'ajouter deux zéros à la droite 340567. ] Sg du diviseur, on commence par supprimer ^^ la virgule dans, les deux termes , ppis on ,. effectue la division, ce qui donne pour ia6 quotient 873a. '

On observe ensuite que , par la suppres- ^

sion de la virgule dans le dividende , on l'a ^g

136 AtfTRE MAfilltaB »'WFECtUBli LA WTifAKMI.

rendu looooo fois plus grand; donc (a^ 4o) i ifl quolmot tronyi est rendu lai-même looooo fois trop gra^d ; maisj p^r la s|ipftrassîon de la virgule dans le divistar, on Ta vendu looofois plus grand; donc, par cette secpode aappreisioa, le quotient est au contraire (p? 4^) rendu tocofois trop petit. Aiaai, en dernier résultat, le quotient tat simplement lOOOoo àbrké par looo, ou loo fois trop fort; et pour le raâiener à sa juste tableur, il faut le diviser par loo, ou siparer a chiffres vers la droite, ce qui donne 87,3q.

Si Ton voulait uq plus grand degré d'approximation, il faudrait ajouter à la droite du reste 19 un o, et continuer l'opération.

RÈGLE GENéEALE. Lorsque le diviseur renferme moins de chiffres dédmaux queledi\idende, faites (T abord abstraction de la virgule dans lesdeucç termes^ et effectuez la division; puis séparez vers la droite du quotient ^ autant de chines décimaux quily a d'unités de différence entre le nombre des chiffres décimaux du dividende et le nombre des chiffres décimaux du diviseur.

Au reste, nous n*avons présenté ces dernières règles que comme des moyens plus simples d'opérer danç la pratique ; car I41 règle établie n® 87 convient à tous les cas.

go. Voici de nouvelles applications.

Déterminer i l^ le quotient de di,â34 P^^ Ss^^^^S 1 à 0,001 près.

Rép. 0,357.

a^ Le quotient de 2^4 P^ 7»356, à 0,0001 près.

Rép. 39,9675.

3". Le quotient de OjOo^tSS par o,oS4) a 0,00001 près.

Aéjp. 0,16999.

II est inutile d'observer que les preuves de ces opéraitieas se font par la multiplication ; «t les preuves des enmpks da multiplication, par la division.

NOMBffÇLATUBB 9B8 BOtfTELLBt MBSOBBB. IWf

5 IL Système des nouxfeaux poids et mesures.

Nous sommes maintenant en état d'apprécier tons les avantages que présente le Calcul des fractions décimales sur celui d^ fractions d'Ane espèce quelconque , et comUen il serait important d'établir un système de poids et mesures quifâf lié ao Systèaie décimal. C'est à quoi les aayaas sont parreons , mon sans beaucoup d'efforts , et malgré les obstacles oocasionés p^ l'ignorance et les préjugés» Commençons par faire oonniâtre la nomenclature de ce Système.

Mesures linéaires ou de longueur*

gi. L'unité de longueur est LE MÈTRE ^ ou la dix-millio-' nième partie de la distance du pôle à l'équateur, comptée sur le méridien qui passe à Paris.

D'après des calculs exécutés et yérifiés avec la plus grande précision , on a reconnu que le mètre évalué en pieds , pouces ,

lignes, etc. , équiwiut « 3^ c? i i^agS, à de ligne près.

Pour composer des mesures plus grandes oi^ plus petites qu9 le mètre, on est convenu desfuots tirés du grec «t du I^tio :

MTRIA, KILO, HECTO, DEÇA» DECI, CENTI, M|LLIt

qui signifient :'

^ûr- milUp mUle , «ent , dix , dipciàme de , etnfiè^f de » miW^nÊ^ de^

et qu'on a placés en tète du mct-mètrê^ Ou A formé ainsi le tableau suivant :

Myria-^mèUe , oB mesure de dix mille mâtret.

Kilo^mètre ^ • • . . . mille mètres.

Hecio^màtfe «... cent mètres. -

Déca^mètre é • . . ^ dix mètres*

MiTRE ; nnifcé principale.

Déci^mètr» dixième de mètce^

^ denii^mètre eentième de fnètre.

Mm^mètré . • miUième de mètre.

N. B. Le myriaBràtre et le kilomètre sont les mespfee ittné»r aires actuellement adoptées; le myriamètre est un peu plue

IdS NOMENCLATURE. DEJ NOUTEI/LES <MESURE&.'

que le double de la lieue de aSoo taiies; le kiloniètre «n est un peu plus que le 5*.

Mesures de superficie.

ga. L* unité de surEqce s'appelle ARE; c'est le décamètre carréf ou un carré qui à un décamètre ou dix mètres de côté.

Les multiples de l'are se forment à l'aide des mêmes ipot» myria, kilo, hecto, etc; ainsi ,

Myria-are ou myriare, signifie dix mille ares.

rCilo-are ou hilare mille ares.

Hecto-are ou hectare cent ares.

Déca-^ire ou décare dix ares.

Are. unité principale.

Déclare dixième d'are.

Centiare centième d'are.

Milliare millième d'are.

A^. B. Le myriare, l'hectare, l'are, le centiare , sont le»

seules mesures usitées ; Vhectare remplace Farpent , dont il

est plus que le double ^ le centiare n'est autre chose que le

mètre carré.

Mesures de solidité,

g3. L'unité de solidité est LE Mètre cube, ou un cub# (forme de dé à jouer) qui a un mètre de côté. Les multiples du mètre cube sont de dix en dix fois plus grands , et les sous* multiples n'ont pas reçu de dénominations particulières; il n'y a que le looo* du mètre cube que Fon a appelé décimètre cube^ parée qu'en effet c'est' un cube qui a un décimètre de côté; le loooooo* du mètre cube» s'appelle aussi centimètre cube, parce que c'est un cube qui a un centimètre de côté.

Lorsque les mesures de solidité s'appliquent au bois dé chauffage ^ Funité principale ou le m^tre cube s'appelle stère. On considère ensuite le. déca^stère, mesure de dix stères.. Le stère est à. peu.près Ia.demMioi« ancienne; le dlécor^Mre- raut cinq ^Qies environ.