La nouvelle unité de monnaie est t£ FRANC. Pour
Tobtenir , on a pesé cinq grammes d*un lingot renfermant 9
dixièmes d'argent pur et 1 dixième d'alliage ; c*est cette par-
tie du lingot que Ion a appelé franc. Par un heureux hasard ,
il a été reconnu avoir à peu près la même valeur que la
lii^re monnaie d'autrefois. Il y a cependant une différence
de ^ en faveur du franc ; <o'est-4-dire qu'un ifraac vant 1^ s-
oo ^ 00
ou ?^de livre ; ou ^ ce qui revîetft au métte^ 80 francs yakent 81 livres»
(^} Leg savans auxquels ou doit le Système décimal des poids et mesures , «Taient d^abord eu Tidée de picadre pour unité de poids , celui d^un décimètre cube d'eau distillée , parce que ce poids , qui correspond au ki/o • fframme actuel, était très propre à remplacer Funité aucîeaue ou la Iwre , dont il est & peu. près le double ; et ils lui avaient donné le nom de gratte , mais ils ne tardèrent 'pas'' à rcconiïïittfe les ineonvéniens suivaitts :'
10. Les multiples du grave étaient le décagratféfVhûûtogrgpef^M»" grape ^% le myritfgpmf»9 ; or, le poida d'à» décagrave étapt- égal à plus de ao livres , les autres multiples se trouvaient de beaucoup supérieurs aux poids employés dans les arts et le commerce.
a^. Laes sotis-multij/Ies étaient le dècigravey le centigrape et le miïHgrawe. Gomme ce dernier poids nVst autre chose que legrmuenke adMel^ il équivaut à 19 grains environ, ^t il est par conséquent de beascoiip- supérieur à ceux qu*on emploie dans les pesées un peu délicates ; en sorte que Ton avait été obligé d'établir de nouvelles subdivisions, telles que le dix-milligrayet le cent-milUgtaife et le mUlionigratfe. A la vérité, les savans avaient affecté un nom pnriicalfefr afn mHUgraue et en avtknt formé nite ttftté secondaire appelée ^V«f«ee , d'o^ ila avaient déduit le aécigravety le etnêigrauet elle milligrauet.
La régularité de la nomenclature se trouvait ainsi détruite. La nouvelle n'offre plus les mêmes inconvénieni', et elle comprend tous 1rs poids dont im se sert ordinalrettiene. *
SUR L*.41ÎCIEN. l3l
Le flixième d'un firanc a été appelé décime ; et le cenfîème d*un franc » centime. Quant à ses multiples , on n'a pas jugé à propos de leur donner des dénomibations.
97. Tel est Texpose de la nomenclature des nouyelles mesurés. On peut juger dès à présent des avantages que ce Système pfésente éia Tancien.
1^. Il eut uniforme et sin^ple, en ce que les unités principales et subdivisions de ces unhés , suivent toutes entre elles la loi du Système décimal , et que Ton s^ déjà combien le calcul des fractions décimales est facile. ^
â°. Il est Sxe , invariable et susceptible d'être adopté dans tous les pays , puisqu'il ^'appartient à aucun climat, à aucune nation en particulier.
Toutes ces mesures découlent d'une mesure primitive qui est le mètre» Les knonnaies elles-mêmes , qui semblent d'abord n'offrir aucun rapprochement avec lui , s'y rattachent indirectement , puisqu'on a vu que le franc est la valeur de cinq grammes d'argent allié ^ et que le gramme est le poids d'un centimètre cube d'eau distillée.
g8. L'application des quatre règles de l'Arithmétique au nouveau Système des poids et mesures, n^e pouvant présenter aucune difficulté, d'après ce qui a été ditsur les fractions décimales, nous ne nous y arrêterons pas. Mais nous ferons connaître les moyens de résoudre deux questions dont l'importance se fera sentir, tant que l'ancien Système ne sera pas entièrement aboli. Ce n'était pas tout, en effet , de substituer un nouveau système à l'ancien ; il fallait encore que la proportion se soutînt entre le prix et la quantité d'objets de commerce , évalués l'un et l'autre dans les deux systèmes.
Le problème suivant édaircira ce que nous venons de dire. Un' marchand de drap avait vendu jusqu'ici l'aune diin certain drap , 36* 17'^ 6** ^ on demandera combien de francs ^ en proportion^ doit revenir le mètre. du même drap 7 •
Ce problème sera évidemment résolu , si Ton parvient à trouver d'un côté, la valeur de 36*" 17*' 6^ en francs, décimes et centimes , ce qui donnera le prix de l'aune en francs ^ et de
l3a CONTERSION. DES ANCIENNES MESURES
Tautre côté , la valeur dor mètre en aunes ; car cette dernière indiquera la partie qu^il faut prendre du prix de l'aune réduif en francs, pour ayoir celui du mètre. }
Nous sommes donc conduit à résoudre ces deux questions : 1®. Exprimer la i>aleur d!un nombre complexe de l'ancien Système, au moyen de l'unité analogue et des subdivisions, décimales de cette unité, cojisidérées dans le nouveau Système} a^. réciproquement , exprimer un certain nombre d'unités prin* cipales. du nouveau Système et de subdivisions de cette unité ; au moyen de l'unité analogue et des subdivisions ordinaires de cette unité , considérées dans l'ancien Système.
Nous traiterons successivement ces deux questions/ par rapport aux monnaies, aux mesures de longueur et aux poids ^ parce que ce. sont les mesures les plus usuelles; il sera facile d'en conclure la marche qu'il faudrait suivre pour d'autres espèces de mesures.
99* Commençons par les monnaies.
1^ On. propose de déterminer la valeur de a45^ 19*^7*^ en francs t, décimes et centimes ?
Nous avons dit (n^ 96 ) (}u*un &anc vaut ^ de plus que la
\ oO
livre ; or , •^ de -livre fait 3- ou ^ de sou, c'est-à-dire , 3 dfr» 00 c5o 4
niers ; ainsi, i franc vaut 1^ o^ 5^^ ou f^ deniers* D'un autre côté, ikJiffl ig*^ 7^ réduit en deniers, donne pour résultat» 59035 deniers, comme on le voit ici. ^45^ 19*^ 7*^ Donc, si l'on cherche combien de fois 69035 , deniers contiennent s43 deniers , ou si l'on divise 59o35 par 2^3 y le quotient évalué en décimales (n*' 88), exprimera le nombre de francs , décimes , centimes demandé. Ce quotient, poufté jusqu'au?^ millièmes , est 94^>94^> ainsi , a45* icf^ y^ équivalent à ^43^94% i «n centime près. 586
D'où l'on voit que, pour évaluer en 94
ao
49^9 la
aago jo3c
EN NOUVELLES Et RÉClt»ROQUEMENt. l33
francs^ décimes et centimes^ un certain nombre de livres , sous et deniers y il faut , après avoir réduit en deniers le nombre proposé, diviser ce nombre de deniers par 243 (qui exprime en deniers la valeur de 1 franc ) ^ puis évaluer le quotient en décimales y en poussant l'opération jusqu'aux centièmes.
'La preuve de cette dernière opération se fait par la question inyerse , comme nous allons le voir. '
s®. On demande ^ en livres , sous et deniers , la valeur de ^3*^^94% ^^ plutôt de a4a^^94^. (Nous considérons ici 1e« millîèmes de franc , a&n que la vérification soit plus complète.)
Puisqu'un franc vaut 1 livre plus ^ de livre , il s'ensuit que ^4^>94^ valent fl4^^;q4a; plus ^- de 24a^>943 ; donc ^ il faut
oO
prendre le 80* de ce dernier nombre , et l'ajouter à ce même nombre , ce qui donnera en livres et fraction décimale de la livre ^ la valeur dcL fl4^'^> 94^- ^^ restera ensuit^ à évaluer en 8OUS et deniers la fraction décimale.
Pour obtenir le 80* de a4^>943 9 ^^ zu^t d'en prendre le 8®^ ce qui donne 30,36776 , et de diviser ce résultat par 1 o , ou bien (n® 83) d'avancer la virgule d*un rang a4^ >94^ ivers la gauche : on trouve 3,036775 qui, \ 3 ,036775 jajouté avec 242,94» , donne 245*^,978776. ^^ 078775 i Pour évaluer la fraction 0^,978775 en ^ >97^/
sous , il faut ( n' 67) la multiplier par 20 , .«.«^.«.
ce qui donne 1 g-'*, 675600 ; enfin , pour éva- ig^'', 676600
fuer 0^,576600 en deniers^ on le muttiplîe la
par 1 2 , et Ton trouve G*»,9o6ooo, ou plutôt — r
7 deniers , d — die denier près / donc enfin, aXS*" lo*^ 7** fl4^>94^ équivalent à 246*"! g*'* 7^.
RÈGLE GÉNÉRALE. PoxiT convertir en livres ^ sous et deniers un certain nombre de francs , décimes et ceniimes t écrivez Sabord le nombre proposé , et aur-dessous le 80* de ce même nombre ( lequel s'obtient en prenant d'abord le 8* et avançant la virgule d'un rang vers la gauche ) ; puis ajoute%ces deux
l34 CONVERSION DES ANCIENNES MESURES
nombres ; vous obtenez ainai le nombre proposé « exprimé exf limrea et fraction décimale de la livre.
Multipliez ensuite par ao la fraction décimale {àbstrsictxon faite de l'entier qui exprime, les livres) ', il en résulte tin produit dont la partie entière exprime les sons.
Enfin , multipliez la fraction décimale de ce résultat par 12, et vous obtenez un produit dont la partie entière exprime les deniers ; vous négligez d'ailleurs la partie décimale » à moins que le chiffre, des dixièmes ne soit égal à 5 » ou pins grand que 5 i auquel cas vous aiigmen|;ez d'un le nombre de deniers* . Appliquons encore les deux règles à l'exemple suivant :
On demande en francs , décimes et centimes , la valeur de 5179'^ 17*^ 8^. Nous nous contenterons de donner le tableau des calculs.
Première question. Seconds question*
3i79* 17* 8*' • 3i4o ,Gû5
ao 39 ,2578135
65597 3i79^,88a8ia5
no
5140,635 la
987 7*i&75oooo
l5aO fi^p, 3iyg# ^y/ 8N
6ao i34o
Rép. 5i4of 63'. .
N^ Bn -Dan» la première question , comme le ôbHiye des millièmes dn quotieat est 5 > et que ce chiffre est sviivi de plu- •iears autnes , on a prie pour réponse 3i4o^ £S% parce qti'alors r<en^ur canmiie é» plus est plus petite q«e celle q<ae Von
commettr^LÎt ^n moin^j ai Von négligeait le cbiifre h et Iq9 suivaDs.
Daos la seconde question , l'entier du dernier résultat est 7 deniers , et cependant on a pris S deniers, parce que^ le chllPre des dixièmes est g y ou p-ltis grand que 5.
On trouvera pareilUment que 56çi75/^7 Qut pom valeur 56979** 8*'' 5^ ; ou réciproquement.
. ' Mesureti Hnéaitffi*
X oo. Avant de passer à la résolution des deu;c questions » il est nécessaire de rechercher d*abord la valeur de la toise en mètre , et du mètre en toise , c'est-à-dire , d'exprimer Vunité linéaire ancienne en mesures nouvelles , et réciproquement , la nouvelle unité linéaire en mesures anciennes^
Or , pn sait que la toisO vaut 8S4 ligi^es^ d'un autre côté , le mètre équivaut (n** 91) à 3^oP u^agS, ou , réduisant m lignes , à 443^^9^- Bonc , si i on divise 864 par 44^,0^6 , ou plutôt , 864000 par 443^96 , le quotient , rédoit en décimées -, exprimera la valeur de la toise en mètres.
On trouve j tout cafeul fait^ que la toise é(fuii^aut en mètres à 1"*^ 949036, c'est-à-dire, à 1 mètre g4g mil&mètres, à un cfùv millimètre prjès*
De même , si l'on divise 44^9^96 P^ 864 ^ d'après la règle du n^ 89 , on obtiendra la valeur du mètre en toise et fraction décimale de toise.
Ce nouveau calcul étant çiFectué , on reconnaît que le mètre équivaut en toise à 0*^,5136740, à 0,0000001 de toîse près.
Conséquence. Le myriamètre étant égal à 10000 mètres vaut donc loooq fois 0^^,5130740 ou 5i39''^,74o; ce qui prouve que le myriamètre est un peu plus fort que H double de la lieue de âSoo toises , comme nous l'avons énoncé n^ gi.
Cela posé; 1°. 9» demande en mètres, déeimàtres , cëuti^ m/èires, elc. , la valent dei^^h^ ^Vl,
CommenceXi par réduire ce itom^a en Ugnes , ce qui dcaiiie 1B464 lignes ; puis diviseat 1 5i464 P^r 443|09^ ( ^otabre àm
l36 CONVERSION DES' ANCIEN NES MESURAS
lignes que renfermele mètre ) , ou bien 15464000 par 44^9% il vient pour quotient 34>884i4 ^ 0^00001 près.
. ,Ponc , 17T 5? 4? 8\ équivalent à 34«,884i4 ; c esty^-diTc., à 34 mètres 884 milUmètres > à 1^ millimètre pr^,
s*'. ' On demande la valeur de 34"*> 884 14> ^ toises , pieds , pouces f lignes ? ...
Puisqu'un mètre vaut en toise 0*^,513074, il s'ensuit que, pour avoir la valeur de 34>884i49 '^ suffit de multiplier 0*^,513074 par 34»884i49 ^^ ^® produit que Ton obtiendra^ exprimera en toises et fraction décimale de toise , la valeur cherchée; i^restep ensuite à convertir cette fraction décimale en pieds, pouces, lignes.
Voici le tableau du calcul : . <
. On prend de préférence 34988414 powr 34,88414
multiplicande, parce que l'opération est q 5 13074
plusc simple. On trouve pour produit -^ :
I7'^,898., en négligeant les 8 derniers . ' i3953G56^
chiffres décimaux. 34418898.
Pour convertir 0*^,898 en pieds , on. ip4^5a4a
multiplie par 6, ce qui donnp 5^,388. 3488414
Multipliant o,388 par 1 2 , pour en faire 1 744^070
des pouces , il vient 4^^,656. 17*., 89814524^36
Mi^Itipli^nt, enSn o,65{S par la, pour 6
avoir des lignes, on trouve 7^872, ou "TF^iog Ain;ipleQient 8 lignes; donc, 34'">884i4
équivalent à ly'^ 5^4^ 8* *, ce qui vérifie 1^ ^
première opération. 4^> 65ff
iV. B. Dans cette dernière opération , la
on a négligé les 8 derniers chiffres décr- 1 g ' maux du produit, lorsqu'on a voulu l'éva* ^ ' luer en pieds, pouces, lignei». En voici .
la raison r^ comme multiplier ce produit successivement par 6, ifl et la, revient (n? a5) k le multiplier par le produit de ces trois nombres ou par 864 > on voit que, si l'on ne tient compte que des 1000** du premier produit obtenu, le dernier résultat sera
. EN NOaTBLLES.£T.RéClPROQV£MENT. l37
ggy
exact à de liiOie . c*est-à- dire . à moins d'une liene près.
lOOO . .
Cette observation abrège de beancoup les calcnLi. Nous reviendrons là-dessus à la fin de ce chapitre.
Soit encore 5^ 6? 7^ à évaluer en mètres et fraction décimale du mètre ( ce nombre complexe peut être regardé comme la taille d'un individu) ?
Réduisons ce nombre en Ugnes ; il vient 799 lignes ; divisant
799 P^^.443>^9^> 0° 799090 P^^ 443^9^9 on trouve pour quotient i?,8oa millimètres , à 1 millimètre près.
Pour les étoffes.
ICI. On sait que l'aune vaut 5^ 8? ou 44 pouces, c'est-à-dire,' 528 lignes ; donc y en divisant 5a8 par 44?>^9^ » ou 5a8ooo par j^J^a^G, on obtiindra la valeur de Vanne en mètre.
Effectuant cette division, on trouve que l'aune a pour valeur 1 ^, 1 9 1 millimètres , ou plus exactement , 1 ""i 1 9 1 077.
Réciproquement 44^9^9^ divisé par BaS donne pour qno-
tient 0,839676 à près ^ donc , 1 mètre équivaut à
0,839576 daune.
On demande la valeur de ag aunes — , en mètres et frac"
tion décimale du mètre?
On pourrait, comme pour la toise et ses subdivizsions ,
convertir A9 aunes -^ en la** de ligne , en multipli a nt 39 — ,
Qfi pçr 5a8, nombre de lignes que renferme Faune, con~
sertir pareillement le mètre , ou 44^^^9^ ^^ ^^** ^ '^T*^ • en muWpliant ce nombre par is , pms diviser les deux résultats ainsi obtenus , lunpar t autre , et évaluer le quotient en déci" maies» Mais il est plus simple d'opérer ainsi qu'il soit :
On commence par évaluer l'aone en mètre , à 0,000001 près , ce qui donne 1 9191077.
Cela posé, on fait d^abord le prodnit de ce nombre par 99 ,
l38 CONYERâlOIf DES ANCIENNES MESURES
ce qui donne 54954^^35 , comme on le voit icf. Après quoi ,
décomposant — en — ou —, et — ou iiiQio??
*^ ifl la ai* ^ " ^
■X de -, on prend d*abord pour — , la -— :
62'^ ^ la' 10719693
moitié de 1)191077, qui est 0,595^38 a38ai54
que Ton écrit au-dessous du produit déjà ^ ' •
obtenu; ensuite, le 6« de o,595538, qui ^ 'c «m
est Q,o^a56, produit que Ton écrit au- »^» o,595538
dessous des deux .précédens ; faisant la "^y ^>^99^^^ somme de ces trois produits, on obtient 35,236oa7
pour résultat 35,a36o27.
Donc a9 aunes — équivalent à 35"',a36 millimètres , à 1 millimètre près.
On pourrait également appliquer ce procédé lux toises, pieds» pouces , etc. , en partant de la valeur dune toise en mètre ; mais on serait entraîné dans des multiplications par parties aliqttotés, beaucoup trop compliquées.
loa. Poids. On sait que la livre poids contient 9a 16 grains ( voyez n^ 65 ). Nous avons dit également (n° gB) que le fti/ogramme vaut 1 8837^*, 1 5 ; donc , en divisant 9a 1 6 par 1 8827,1 5, ou 911600 par 1883715 , on obtiendra la valeur de la li^re poids, en kilogrammes et subdivisions décimales du kilogramme* Réciproquement, si Ton divise 18827,1 5 par 9216, le quotient évalué en décimales , exprimera la valeur du kilogramme en livres poids et subdivisions décimales de la livre poids.
En effectuant ces deux opérations , qui n'offrent aucune difficulté , on trouve , i'^. que la livre poids équivQvf à o*«,4895o585 ;
a°. Que h kilogramme est égc^à a)b,o498765a.
iV, B. Ce dernier résultat indiqiie que le Kilogramme surplMse
le double de la livre, de -4- ou de -^'délivre, environ ; c*est-
