I.QO
I Bi
à-dire qu*un kilogramme vaut a livres -^ ou -g de livre à peu
EN NOUVELLES ET RBCIFROQVEMENT. iS^
près ; OU bien« qae a5 kilogrtnunsè font 5t livres^ ou too kilogranimeâ valent ao4 livres poids , environ.
Maintenant , on demande la valeur de Cgtb o"* 7^" /f 99^ , en kilogrammes et subdivisions décimales dukilogramme ?
Le nombre proposé , réduit en grains » d*après la méthode connue ^ donne 64oâ53 grains ; donc ^ si l'on divise 64oâ53 par i88â7,i5^ou64oa53oopar 1889716, le quotient 34»<^S^99» qae Ton obtient par cette opération , est le nombre demandé , c'est-à-dire , que Sgft o"» 7*" 4' ^9^ équivalent à 54*>oo6899 , ou bien y 34 kilogrammes j 6 gramnieset 899 milligrammes*
Réciproquement ^ o/i propose d^é\faluer 34\oo6899> en liure^ marcs ^ onces , eta ?
Nous avons vu tout à Theore qu'pn kilogramme vaut slb, 04987669 ; donc, 34\ 006899 est égal au produit de ces deux nombres.
Ce produit doit renfermer 14 décimales ; 69lb,47^ ^
mais en ne tenant compte que des cinq * ^
premières à gauche, on trouve 69tt,47i89. ■ ' '■-
Multipliant 0,47189 par 9, pour avoir ^ >94^
des marcs , on obtient ©"',94378. ^
Multipliant de nouveau par 8, on trouve 7^*,55o94
Multipliant o,55o94 par 8, on a 4^,4oiqq. -^g ^40199
ËnEn , multipliant par 79 , on trouve . ys^
Donc, 34**006899 équivalent à ' « ^^
G9tto«7«» 4? 29 r, ce qui vérifie l'opération î^îî-
précédente. 98^% 93894
N. B. On n'a tenu compte , dans le premier produit » qna des 5 premiers chiffres décimaux , parce que la x^ultipUca^on par 9 , 8^ 8 et 79 revenai^t à la multiplication par 9916, l'erreur commise est moindre que -^- — de grain , approîdma-
^ lOOOOO ;
tîon plus que suffisante.
io3. II existe des tableaux de comparaison dot anciens poids
l4^ • TABLEAUX DE COMPARAISON.
et mesureâ aux nouveaux \ et réciproquement, à Taide desquels on peut aisément opérer toutes les réductions dont nous venons de parler j voici le moyen de former ces tableaux :
Supposons qu*il s'agisse de construire le tableau de comparaison des mesures linéaires anciennes aux nouvelles , ou réciproquement.
On a d*abord déterminé la valeur de la toise en mètres , valeur qui, obtenue (n® loo) avec huit chiffres décimaux > est égale à 1 '",94t)o363i .
De là , en multipliant par 22 , 3 , 4* • • -d; ^^ ^^ déduit les valeurs de a , 3 , 4- • • '9 toises.
Avançant successivement , dans tous ces résultats^ la virgule d-un , de deu^p, trois, etc., rangs vers la droite, on a obtenu
les valeurs de 10, fio, 3o -, 100, 200, 3oo. . .; 1000, aooo,
3ooo . . . toises : et ainsi de suite.
D*un autre côte , si Ton prend le 6^ de i,g49o363i , on en déduit la valeur du pied , et par suite celles de a , 3 , 4'> 5 pieds.
Prenant le lâ* de la valeur du pied, on a la valeur du poace , et , par suite, celles de a , 3 1 1 pouces..
Ménie opération pour les lignes.
Quant au tableau inverse, sa formation est absolument semblable , pourvu ^u*on parte de la valeur du mètre en toise ; valeur que Ton a trouvée égale à o"^ ,51307407.
Cela posé , soit à évaluer en mètres , décimètres , centimètres , etc. , a54''^ 3^ 7? 1 1^
On prend successivement dans le tableau , les valeurs de 4^, 5o'', aco*^, puis celles de 5^, 7^,11* ; et Ton ajoute toutes ces valeurs. On obtient ainsi les valeurs demandées , par de simples additions.
Dans la question inverse , on obtient d*abord la valeur d'un certain nombre de mètres et subdivisions décimales du mètre, exprimés en toises et fraction décimale de la toise ; fraction que Ton convertit ensuite en pieds , en la multipliant par 6; puis on multiplie la fraction décimale résultante par la , poi^ en faire des ponces , etc.
APPLICATION PES RÈGLES PRÉCÉDENTES. }/^t
Maïs , outre que ces tableaux peutent être fautifs, leur usage
même ne dopne pas toujours le degré d'approximation que Ton
désirerait obtenir. Joignez à cela , qu on peut ne pas les
atoir à sa disposition^ à l'instant où l'on en aurait besoito. Il
était donc nécessaire de développer les moyens d'opérer ces
transformations , en admettant ces seuls résultats : le franc
vaut — de livre; la valeur du mètre est Z^d^.i 1^296 ; enfin,
celle du kilogramme est i88a7<^'',i5.
104* Reprenons actuellement le problème du n^98^ qui nous avait arrêté , faute de données suiEsantes.
Un marchand de drap avait vendu jusqu*ici Faune dun certain drap , 36* 17^ 6*; on demande à combien de francs ^ en proportion , doit revenir le mètre du même drap ?
Réduisons d'abord 3S^ 17-^ 6** en francs , décimes, etc. , soit par le moyen des tableaux, soit d'après la règle du n° 99 ; il vient 3S-^,4*.97 pour la valeur de l'aune.
D'un autre côté, le mètre exprimé en aune (n** 101) a pour valeur 0^839676; donc, le prix du mètre est égal à une partie de 36/,4i97, marquée par le produit des deux noinbres 36,4197 et 0,839576. Cette multiplication étant effectuée, on trouve 30,5771060472»
D'où il suit que le prix du mètre doit être de 3o/ 58^ (voyez pour k manière abrégée d'effectuer cette multiplication le n<> suivant)^
Soit encore proposée cette question : La livre poids dune certaine marchandise coûtant 25** 1 1*^*9*^, on demande le prix de 375*" 175*^ de la même marchandise ?
D'abord le nombre 26* 1 1*^9^ réduit, en francs , etc., revient à 25^,271606; ce qui donne déjà le prix de la livre poids en francs , etc.... ;
D'ailleurs 575'", 176 réduits en livres poids , Câpres les tableaux, ou d'après la règle du n* 102, donnent pour résultat 766tt,436i98, en ne tenant compte que des six premiers chiffres décimaux, ce qui suffit ; donc, si. Ton multiplie 25-'^,27i6o5 par 766,436198, le produit sera le prix demandé.
l4» MÉTHODE ABRIÊGÉE
On trouve ponf ce produit , kun centième près , 19^5%, 07 ; doDC; 376^^175 grammes coûtent 19369^,07'. «
Méthodes abrégées pour la multiplication et la division
dès fractions décimales,,
.1 o5. Dans les questions précédentes^ nous avons été conduit i effectuer des multiplications de nombres composés d'un assez grand nombre de chiffres décimaux; et cependant, il enifisait pour l'objet que nous nous proposions, d'obtenir k produit avec un nombre de décimales beaucoup moindre que n'en comportaient les deux facteurs ensemble. Il serait donc utile de faire connaître une méthode à l'aide de laquelle on pût , sans être obligé de faire la multiplication en entier, obtenir les seuls chiffres décimaux dont on a besoin»
Pour donner une première idée de cette méthode , prenons
les deux nombres 34,sS54^7 et 5,4637, en supposant qu'on
veuille en obtenir le produit, à près.
L'artifice du procédé doit consister à ne tenir compte , dans les multiplications par les différens chiffres du multiplicateur, que des millièmes j ou des unités d'un ordre plus élevé , telles que des centièmes ^ dixièmes ^ unités simples ^ etc.; cependant, comme il suffit de 10 dix - millièmes pour faire 1 millième y il est encore nécessaire d'avoir égard aux dix-millièmes que peuvent donner les produits partiels.
D'après ces premières observations , voici comment on doit opérer.
On commence par renverser l'ordre des chiffres de l'un des depx facteurs , du multiplicateur , par exemple , ce qui donne 7364*5 ; puis on l'écrit au-dessous du multiplicande , de manière que le chiffre 5 de ses unités soit sous le chiffre des dix^ millièmes du multiplicande ; alors le chiffre de ses dixièmes est nécessairement placé sous le chiffre des millièmes au multiplicande ; le chiffre de ses centièmes sous le chiffre des centièmes, et ainsi de suite. Quant aux chiffres de ses dixaines ,
POUR LA MVLTiPUCATION. l^S.
centaines f etc , 8*11 eu avait, ik seraient nécesiairemént
placés sous les chiiFres des cent - millièmes , millionièmes du multiplicande.
ISxk ttn mot, clia<}iie chiffre du 34,a53 4S7
multiplicateur est , par cette dis*- 7 564,5
position , placé a«i - dessottà du ,. ^ ,. .„ .
*V--. 1 ^t ■> ^ 1 . 1712673 dix-millièmes.
cttHlFâ dont le produit par celtii „ „
du miiltiplieatefir, donne des dix» ' ^^
milkèmès*
Cela posé, on multiplie d'abord J
par le chiffre 5 du multîplfeatetrr ?
tous les chiffres du multiplicande, ^87 , 1 5o^ à fMUtir du cbiffi^ 4 V^ correspond aâ chiffre 5 , et en négligeant le produit de 67 par 5 , à l'exception des 3 unités de retenue que donne le produit de *6 p«r 5 , et qni expriment des dix- millièmes f puisque ce prodnil ^t 3o cent^millièmes. On obtient ainsi I7iâ673 dixmUiièmes, que l'on écrit an-^ieesous des deux facteurs , après les avoir soulignés.
Pasaant ait chiffre 4 des dixièmes du multiplicateur , on multiplie par ce chiffre, loitt le multiplicande , àv partk du clufire 3, et négligeant le produit de 467 par 4 > à l'exception de Y unité de ii«toniie que donne 4 fois 4> parce que cette nnité exprime encore 1 dix-^millième ; on obtient ainsi 1370 1 3 dû?millièmes , que l'on place au-^dessous du premier produit , de manière quç les derniers chiffres se correspondent , puisqu'ils expriment tous deux des dix^millièmes.
On opère de la même manière par rapport aux autres chiffres du muItiplicateiiKr , en ayant soin de ne commencer la multl* plicatiqntiu^au ch^re du multiplicande^ ^ui est placé immédiatement ait-dessus du chiffre rnultiplicateur que l'on considère , et en ajeiutant seuleméné au produit les retenues que donne le produit du ch^re qui suit celui du multiplicande , auquel on commence Ja multiplication.
Dans la mulfeipHcation par le chiffre 6, on ajoute a au produit de 34, a5 par 6, parce que 6 fois 3 doiment 18 centrtnilUèmes ,
■44 Méthode abrégée
qui valent presque a diàc-millièmes » et que Ton à déjà négligé plusieurs 'CerU^millièmes.
On obtient ainsi les trois nouveaux produits soBBa^ 1037 et aSg , que Ton place au-dessous des précjédens , de manière que les derniers chil&es se correspondent. .
On fait ensuite la somme de cous ces produits , et il vient 1871504» nombre dont il faut séparer^ par iine virgule, 4 chiffres décimaux , conune exprimant deâ dix^millièmes.
Enfini on barre le dernier chiffre, et Ion trouve 187,160 pour le produit demandé, à 0,001 près.
On peut facilement vérifier ce résultat , en effectuant la multiplication tout entière.
2V. B, On pourrait croire , d'après ce procédé , que , comme on a tenu compte de tous les dix - millièmes que tenferHient les produits partiels , le chiffre des dix^millièmes est lui-même exact : mais on se tromperait , car il est ordinairement trop faible de plusieurs unités. Cela tient à ce que la somme des unités de la colonne des cent ^millièmes peut donner plusieurs unités de retenue. Toutefois , on est bien certain que Terreur ne peut influer sur le chiffre des millièmes ^ puisque, pour que cela fût , il faudrait que la somm*e donnât 10 dix^millièmes de retenue, ce qui ne peut jamais arriver, à moins que l'on n'ait plus de 10 produits partiels , c'est-à-dire, plus de 10 chiffres au multiplicateur. D'ailleurs, cette crainte disparaît tout-4i-fait, si l'on a l'attention d'augmenter d'une unité la retenue dont on tient compte à chaque multiplication partielle f lorsque le second chiffre à droite du produit qui fournit cette retenue, est plus grand que 5.
Un nouvel exemple achèvera d'éclaircir le procédé.
^ Soit proposé d^ obtenir le produit des deux nombres
763,o54o3678(:)56 et fl54}463o57S , à 0,00001 près}
Puisque l'on veut que les cinq premiers chiffres décimaux soient exacts , il faut tenir compte de tous les millionièmes que peuvent donner les produits partiels.
Ainsi ,• après avoir renversé l'ordre des chiffres du multiplicateur ; on le place au-dessous du multiplicande, de manière
POUR LA MCLTlfUCATION. 1^5
que le chiffre 4 ^^ s^^ unités soit sotts les miUiomèmes da
multiplicande ; les autres cliifires
se placent alord d'eux-mêmes 7^5>o54o3 G78956
dans Tordre prescrit plusliaut , et ^ 5o364>45a
l'on effectue les multipUcationa. i5a6io8o7358 miUionièmei.
A la piremière multiplication , 5g ^ 5 j,^q j gSg
comme le chiffre .9 qui suit le 3o5aai6i47
chiffre 8, auquel doit commen- 3o5aaiGi4
cer l'opération , comme le chiffre ii578Saia
9, dis-je, multiplié par a, donne aa89i6a
18 dix-millionièmes , on retient 38i5q
a millionièmes pour les ajouter SZAi
au produit. 610
Même observation par rapport ■ ■
à la troisième multiplication , et *94»^9>o^4G| à la cinquième ; dans toutes
les antres , on ne retient que les millionièmes fournis immédiatement.
En effectuant l'addition , et séparant six chiffres décimaux vers la droite, puis barrant le dernier chiffre, on obtient 194169*06346 pour le produit, à 0,00001 près.
]>J.B.ll résulte de ces augmentations , faites de temps en lemps , dans les unités de retenue, une espèce de compensation de celles que l'on néglige, et le chiffre iarr^ n'est ordinairemeqt différent du véritable que d'une ou de deux utiités.
106. Il peut arriver que le multiplicande n'ait pas assez de chiffres décimaux ; pour que l'on puisse faire correspondre les chiffres des unités, dixaines, centaines, etc., du multiplicateur, aux chiffres sous lesquels la règle prescrit de les écrire. Dans ce cas , on ajoute à la droite du multiplicande , un nomlwe convenable de zéros.
Soit^ par exemple f à multiplier i8a5,4o37 par .3437, laS, et supposons qu'an demande un produit exact ^ jusqu*aux loooo*' inclusivement.
Comme il faut que le chifffe dcsf. mi4és du. uiultiplioaMn^
i46 «lÉTHjQ^E A«a£ç4«
les dixaines, centaines, etc., i8a5, 4^370000 correspondent aux millionièmes, 631,794^
dix-millionièmes, etc., on ajoute ^cc o '/ , , . 1 j •* j T.- 1- Ob5o8o74oooo cenUmilUèm.
4zerosaladroitedamuItiplican" « / ,«
de, et il vient i8îâ5^4Q37000o ; gg^ « .
du reste, l'opération se fait J^
comme a 1 ordinaire. or. J
