INTRODUCTION

1. V-/N appelle grandeur ou quantité tout ce qui est susceptible d*augmentation ou de diminution. Par exemple ^ les lignes, les surfaces ^ les temps , les poids sont des grandeurs. On ne peut se former une idée bien exacte d'une grandeur , qu'en là comparant à une autre grandeur de même espèce ; et cette ^seconde grandeur s'appelle unité ^ en tant qu elle doit servkde terme de comparaison à toutes les grandeurs de la même espèce. Ainsi , quand nous disons qu'un mur a vingt mètres de longueur , nous sommes censés avoir acquis déjà l'idée de l'unité de longueur appelée mètre , et nous supposons qu'après avoir porté vingt fois le mètre sur la longueur du mur ^ on soit arrivé tout-à-fait au bout.

L'unité , en Mathématiques , est donc une grandeur d'une espèce quelconque , prise arbitrairemenl ou dans la nature (*)', qui sert de terme de comparaison à toutes les grandeurs de même espèce; d'où il suit qu'il y a autant d'espèces d'unités que d'espèces de grandeurs.

On appelle nombre ^ le résultat de la comparaison d'une gran^ deur quelconque à son unité.

(*) Le mètre, noâvelle unité de longueur, est une unile prise dans la natnre. Voyez n** gi.

fi INTRODUCTION.

Un nombre est dit entier , lorsqu'il est l'assemblage 4e plusieurs unités de même espèce. Ain^ï, vingt francs^ trente livres poids , huitf douze , quinze unités d'une espèce quelcosipie, sont des iftombres entiers.

Une fraction est une partie de l'unit^*

Un nombre fractionnaire eetl'^ssemUage de plusieurs unités d'une même espèce et d'une fraction ou partie de cette unité.

a. Lorsqu'en énonçant un nombre , on ajoute à la suite de l'énoncé le nom qui désigne l'espèce de grandeur prise pour unité, le nombre s'appelle concret. Ainsi^ cinq mètres, quinze heures, six lieues sont des nombres concrets. La première fois que 1 on prononce un nombre , on ne peut y attacher de sens qu'en se représentant une unité d'une certaine espèce, à laquelle on compare une autre grandeur de la même espèce. Mais peu à peu l'esprit, qui s'accoutume aux abstractions, parvient a se peindre une collection de plusieurs objets semblables mais quelconques, dont chacun est l'unité. Dans ce cas, la collection s'appelle nombre abstrait, parce qu'en l'énonçant , on fait abstraction de Vespèce d'unité à laquelle on la rapporte. Or, c'est sous ce dernier point de vue qu'on doit envisager les nombres , dans l'exposition des procédés relatifs aux diverses opérations que l'on peut avoir à effectuer sur eux, si l'on vent qtie ces procédés soient établis de manière à pouvoir être appliqués à tontes les questions possibles.

De ta Numération.

3. Les premières recherches sur les nombres ont dû nécessairement avoir pour objet de leur donner des noms faciles à retenir; et comme il existe une infinité de nombres ^ puisqu'un nombre quelconque étant déjà formé, on peut toujours lui ajouter une nouvelle unité , ce qui donne lieu à un nouveau nombre qui peut lui-même être augmenté d'une unité ^ il a fallu trouver \e moyen d'exprimer tous les nombres avec un Tiombre limité de mots combinés entre eux d^une manière convenable. Tel est l'objet de la numération parlée.

Il y a plus, chacun des mots qui entrent dans la nomencla-

ture des sombres , étant exprimé par plusieurs lettres, on a dû inventer une écriture abrégée de ces mots et de leur» eonU>înaisojis y afin que Tesprit pût saisir avec plus de facilitsles raisonnemens qu'on est souvent obligé de faite sur les. nombres. C'est le but de la numératiem écrite, qui coasiste à représentera Paide d'un^nombre limité de carbctètés ou GBIFFRES, les nombres énonoés.ën langage ordinaire.

4* Numération parlée. Quoique la nomeneiatDre des nombres entiers aoit connue de la plupart 'des jeune» gens pour lesquels ces élémens sont écrite, noua croyons devoir ea exposer une- analyse succincte niais r^isoiïpée ^ parce que la numération écrite » telle qu'elle e^ adoptée dans, presque tous les ^ys, est fondée sur. p^tte nomenclature. .

Les premiers i^ombres sont : lin , deux ,traif , quatre , dnq, six, sept, hiiit^ neuf* Ces nombres sont ce qu'on appelle le» unités simples ou les unités du premier ordre. ^ -■

En ajoutant une nouvelle unité au npnibre neuf, on, forme le nombre dix qu'on regarde comme une nquyelle espèce d'u-" nite appelée dixaine ou f unité du second ordre. On compte par dixaines comme on a compté par unités simples ; ai^si Ton dit.: une dixaine^ deux dixainesj trois dixaines^ quatre^ cinq,, ^îx, sept, huit etneuf dixaines \ ou bien^ dix, V^ngt, trente^ quc^ rante , cinquante , soixante , septante , oçtante , npnante. Aux trois derniers mots , quoique conformes à Tan^logjie , on a snb* stitué les mots soixante^dix , quatrevingt, quatrevingt-^dix. Ce sont d^s mots consacrés par l'usage. Entre dix et vipgt, il existe neuf autres nombres qui sont dix-un, dix-deux, dix-trois, dix" quatre, dix-cinq , dix-six, dix-sept, dix-fiuit , dix-neuf i mais au lieu des six premières dénominations ^ l'usage a substitué les mots onze , douze, treize, quatorze , quinze et seizfi.

Entre vingt et trente , il existé aussi neuf nombres qui s'énoncent de cette manière : l^ngi-un, i)ingt^ux, vingt-trois, wngU^uatre ,.... vingt-neuf. On peut énoncer ainsi tous les nombres jusqu'à n^nante nmfon quatreuingt'^ià'meuf.

Ce dernier nombre augmenté ffun , donne dix dixaines ou le nombre ce/if, qu'on regarde comme une nouvelle unité ap-

pelée centaine, on Vunité du troisième ordre ; et l'an compte par centaines comme on a compté par dixaines et par unités simples. Ainsi cent, deux cents , trois cents, quatre cents , . . . . huit cents, neuf cents expriment àea collections dune centaine, de deux, trois ^..hmt, neuf centaines. En plaçant su6cessive«^ ment entre les mots cent et deux cents , deux cents et trois cents ,. • , huit cents et neuf cents, et à la suite de neuf cents , les noms de nombres compris depuis un jusqu'à (/uofrei/mgtdix-neuf, on a formé les noms de tous les nombres depuis cent jusqu'à neuf cent quatrei/ingt^dix-neuf {*)

Nous pouvons remarquer déjà que dans les énoncés de tous ces nombres , on n'emploie que les mots génériques^ un, deux, trois, quatre , cinq, six, sept , huit, neuf; dix , viûgt, trente, quarante, cinquante, soixante et cent. Nous ne parlons pas des six^ autres mots , onze ', douze , . . . seize ; dont on aurait pu se passer à la rigueur.

En ajoutant un au nombre neuf cent quatrevingt-dix^neuf ^ on obtient une collection de dix centaines ou le nombre mille qui forme V unité de mille ou Yunité du quatrième ordre. Parvenu à ce nombre^ on çst convenu, pour ne pas trop multiplier les mots , de regarder mille comme une nouvelle unité principale devant le nom de laquelle on a placé les. noms des neuf cent quatrevîngt-dix-neuf premiers nombres. Ainsi, l'on dit : un mille , deux mille , (**)• • • neuf mille, dixmîUe, onze mille, . . . vingt mille , vingt-^un mille,. . . cent mille, deux cent mille,. . . neuf cent quatres/ingt-dix-meuf mille.

Une dixaine de mille forme d'ailleurs Yunité du cinquième ordre, une centaine de mille i Y unit^ du sixième ordre.

Plaçant ensuite entre deux nombres consécutifs de mille , comxpe vingt mille et vingt-un mille , les noms de tous les nombres inférieurs à mille, il est clair qu'on peut ainsi époncer

(^}TaQtqiielemot«eii<n^(!9t8amd'aocan antre noiA de nr^mbrc, il est déclinable. Dans le cas contraire , il est indéclinable. (**) Le mot mille est toujours indéclinable.

tous les nombres jusqu'à neuf cent quatrevingt-dix-neUf milk

neuf cent quatrevingt^dix^-neuf.

Ce dernier nombre augmenté d'un , donne dix cent mille ou

mille mille y collection à laquelle on a donné le nom de million \

de même une collection de mille millions s'appelle billion ( ou

milliard) ; une collection de jnille billions se nomma trillion ,

et ainsi de suite. On compte d'ailleurs par millions, billions ,

trillions, comme on a compté par mille; et il est aisé de voir

qu'en joignant aux mots génériques indiqués ci^dessiis , les mots

mille ^ million y billion, trillion^ quatrillion, quintillion... , on

formera la nomenclature de tous le^ nombres enticFs imaginables.

Observons , pour terminer, quet le million est Vunité du sep" tième ordre , une dixaine de millions , Vunité du huitième ordre , une centaine de millions , Yunité du neuvième ordre».,,

5. Numération écrite. Quelque simple que soit la nomenclature des nombres , on éprouverait beaucoup de petneàcom* biner entre eux, deux ou plusieurs nombres un peu considérables, si l'on n'avait des moyens abrégés de les écrire* Or, c'est à quoi l'on peut parvenir facilement , pour peu qa*(Hi Fléchisse sur cette nomenclature. En effet, observons que parmi les mots employés pour exprimer les^ nombres , les uns , tels que un, dix, cent, mille, dix mille, cent mille, million, dix raillions, expriment les unités des différées ordres » tandis que les mots, uui deux, trois ,.... . nenf, expriment combien de fois chacune de ces sortes d'unités entr^ d^mt. un nombre.

Gela posé , si l'on convient d'abord de représenter les neuf premiers nombres par les caractères ou chiffres

1, fl, 3, 4> 5, 6, 7, 8, 9,

Un, deux, trois, quatre, cinq y six, sept, huit, neuf,

toute la difiiculté consiste à trouver un moyen de faire exprimer à ces chiffres les différons ordres d'unités, que le nombre proposé renferme. Or, en établissant ce principe (de pure convention) , que tout chiffre placé à la gauche Mpun autre, exprime jdes unités de Tordre immédiatemeni supérieur à celles de cet

autre chiffre , ou en d'autres termes , que , lorsque plusieurs chiffres sont écrits les uns à la suite des autres , Je premier chiffre à droite exprime des unités simples, le chiffre immédiatement à gauche exprime des unités de dixaines ou sim-^ plement des dixaines , le troisième chiffre de droite à gauche ^ exprime des centaines, le quatrième des mille , le cinquième des dixaines de mille,,., il est aisé de voir qu'on pourra en général représenter tous les nombres à l'aide des caractères précédena«

Soit , par exemple , h exprimer en chiffres le-nombre tfois cent soixante dix^neuf. Ce nombre s^ compose évidemment de 9 unités , plus 7 dixaines, plus 3 centaines^ et peut par conséquent , d'après le principe établi ci-dessus , être exprimé par 579.

De même, le nombre vingt-'huit mille deux cent quarante^ sept se composant de 7 unités , 4^^^^^^f ^ centaines , 8 mille et s dixaines de mille , sera représenté par l'ensemble des cinq

chiffres â8a47-

Caractère o. Il y a cependant des nombres qu'on ne peut

écrire en ne faisant usage que des neuf chiffres précédons.

S(nt à écrire en chiffres les nombres dix, vingt, trente ,

quatrevitigt , quatrex^ingt^Kx >• ces nombres ne contenant pas d'unités simples , on a dû adopter un chiffre qui riait aucune valeur par /ui-7n^me, maie qui serve k tenir la place des unités de l'ordre qui manque dans l'énoncé du nombre. Ce chiffre est o que l'on prononce %éfù. A l'aida de ce chifire , les nombres dix, vingt, tteftte , etc., s'expriment par 10, ao, 3o, 4Pi 60, 60, '70, 80, 90. '

Par la même raison, les nombre» dénf, deux cents, troiscents. . . , ne renfermant ni unités simples ni dixaines , s'expriment par ICO, âoo , 3oo , 4oOf • • • 9^0.

En général , le zéro est un chiffre qui n'a aucune valeur par lui-même , mais que Ton emploie pour tenir lieu des différena ordres d'unités qui peuvent manquer dans l'énoncé d'ttn nombre.

Les antres chiffres , appelés chiffres significatifs, ont deux espèces de valeur^ : l'une jqu'on nomme absolue et qui n'est autre chose que celle du chiffre considéré seul *, l'autre , qu'on

j^pelle TûlaUy^ ; c*est celle .que le chiffre acquiert d*aprèa la place qu'il oeoupe à la gauche, d'aiilres chiffres.

Maintenant , si l'on réfléchit que tout nombre énoncé se com<pose d'unités simples ^ de dizaines , de centaines » etc. , que la collection des uuUés de chaque ordre est tout au plus égale à neuf; que ^ dan* Iç cas où le nombre est privé de certains ordres d'unités , on a un caractère pour en tenir la place , on sera convainca qu'il n'y a pas de nombre entier qui ne puisse être exprimé i à l'aide d'une certaine combinaison des dix caractères »; a» 3, 4# 5, 6, 7, 8, 9, o.

Soit^ pour nouvel exemple ^ le nombre deux cent huit mille dix-neuf k écrire en chiffres.

Ce nombre contient 9 unités sintples , 1 dixaine^ 8 unités de nulle et a centaines de niille; mais il n'y a ni centaines simples ni dixaines de milles Q suffira donc d'écrire les chiffres 9» I9 Oy 8> o, s, à la gauche les nos des autres » et la nombre sera représenté par 208019.

Soit encore le nombre irent^-^ix billions cinq cents millions vingt mille quatre cent, sept.

L'énoncé de ce nombre.comprend 7 unités simples, o dixaines^

4 centaines ; o unités de mille , a dixaines de mille , o een* taines de mille; o unités de, millions ^ o dixaines de millions ,

5 centaines de millions ; 6 unités de billions ^etZ dixaines de billions; do^c, le nombre sera représenté par 365oooao497.

Le système de numération qui vient d'être exposé j a reçu I4 dénomination de système décimal y parce qu'on y emploie dix chiffres pour exprimer tous les nombres. Dix ou le nombre des caractères employés , s'appelle la base du système.

6. Faisons maintenant une observation importante : il résulte de la nomenclature , que tout nombre se divise en centaines , dixaines et unités simples > en centaines , dixaines et unités de mille , en centaines , dixaines et unités de millions , etc. ; c*est-^ à-dire en tranches d'unités simples , de mille ^ millions^ billions» dont chacune s'exprime par trois chiffres , excepté la* dernière ; qui est celle des unités les plus fortes , et qui peut n'avoir que deux chiffres ou même qu'un seul. Lors donc que l'on s'est fa-

8 NUMÉRATION iCRITE.

miliarisé avec la mauière d'écrire les nombres de trois chiiTres» il suffit d'écrire successivement les unes à la gauche des antres, la tranche des unités > la tranche des mille ^ celle des millions > celle des bil lions ^ etc.

On peut même commencer par la gauche , c'est4-dire^ écrire JH abord la tranche des unités les plus fortes, et à sa droite les autres tranches par ordre de grandeur des unités; c*est ainsi qu'on doit s*y prendre pour écrire en chiiFres un nombre dicté en langage ordinaire ^ qui nest pas déjà écrit en toutes lettres. Mais il faut avoir bien soin de ne pas omettre les zéros destinés à remplacer les ordres d*unités qui manquent; et il ne peut ja* mais y avoir d'embarras à ce sujets puisqu'on sait que chaque tranche ^ excepté la première à ganche , doit toujours renfermer trois chiffres»

Soît^ pour dernier exemple ^ à écrire le nombre quatre cent six billions vingt-huit millions deux cent cinquante mille quarante-'huit.

Écrivez à la droite les unes des autres la tranche des billions , la tranche des millions , la tranche des mille, enfin celle des unités simples; vous aurez 4o6,oâ8,a50|048.

7. C'est sur l'observation précédente qu'est fondé le moyen suivant de traduire en langage ordinaire un nombre quelconque écrit en chiffres :

jiprès avoir séparé le nombre en tranches de trois chiffres chacune t à commencer par la droite, énoncez successivement chacune des tranches , en partant de la première .tranche à gauche , et ayant soin de donner à chaque tranche le nom qui lui confient.

Soit, pour exemple I le nombre 7o3456oi ;

Ce nombre étant ainsi partagé : 70,345,60 1 , se compose de soixante-dix MILLIONS trois cent quarante -^ cinq MILLE six cent un,

Qn trouvera pareillement que 53û24oop567oa , ou bien 5,3oa,4oo,o56,7oa, exprime le nombre cinq TRILLIONS » trois cent deux BILLIONS , quatre cents MILLIONS; ci nquante^six HLILLE, sept cent deux.