NUMÉRATION DES FRACTIONS

S. Il nous reste encore , pour compléter la théorie de Ja numération , à indiquer le moyen d'écrire en chiffres les fractions. IVlais auparavant , il est nécessaire de donner une idée claire et précise des fractions, telles qu'on, les considère en Arithmétique.

Supposons qu'on ait à déterminer la longueur d'une pièce d étoffe. En prenant l'unité de longueur appelée mètre , et la portant une fois / deux fois , en un mot , autant de fois que possible sur la longueur de la pièce, il pourra arriver deux cas : ou, après que l'unité aura été portée un certain nombre defois , 1 5 fois par exemple , il ne restera rien ; ou bien , Ton obtiendra un reste plus petit que le mètre. Dans le premier cas , la pièce contiendra un nombre entier de mètres , savoir 1 5 mètres. Dans le second cas , à ces i5 mètres^ il faudra ^ pour avoir la pièce totale, joindre la faction ou la partie de mètre qui reste. Mais comment évaluer cette partie ? comment la comparer à l'unité? On pourra d'abord concevoir cette tmité séparée en depx parties égales ou en deux moitiés; et si le reste est justement égal à l'une de ces moitiés^ on dira que la pièce d'étofiPe' a i5 métrés et demi de long.

Si le reste est moindre ou plus grand que la moitié du mètre , on concevra cette moitié divisée en deux nouvelles parties égales appelées quarts ; et st"ce quart peut être porté une fois , ou trois fois juste sur le reste , on dira que ce reste est égal au quart ou aux trois quarts du mètre.

Au lieu de diviser l'unité en deux ou en quatre parties égales, on peut aussi bien la concevoir divisée en trois parties égales appelées tiers ; en cinq parties égales appelées cinquièmes , en six appelées sixièmes , etc. Admettons , pour fixer les idées , que le mètre ait été divisé en douze parties égales appelées JouzièmeSf et que ce douzième soit porté sept fois juste sur le reste , on dira que ce reste est égal à sept fois le douzième ou aux sept douzièmes du mètre. Donc la pièce d'étoffe aura 1 5 mètres et sept douzièmes de mètre en longueur.

D'où l'on voit que, pour se former une idée nette d'une fraction d'unité d'une espèce quelconque, il faut concevoir que cette unité soit divisée en un certain nombre entier de parties égales.

lO NUMÉRATION DES FRACTIONS.

et que Ton prenne une, deux^ trois, quatre ^ etc. , de ces parties; Tensemble des parties que Ton prend , est ce qui constitue la fraction. Ainsi , Ténoncé d'une fraction comprend nécessairement deux nombres entiers , savoir : celui qui désigne en combien de parties t unité a été divisée, on l'appelle dénominateur ; et celui qui marque combien il faut de ces parties pour former la fraction, on l'appelle NUMÉRATEUR. Par exemple , cinq huitièmes de mètre » treize vingtièmes de livre poids , etc. « sont des fractions. Dans la première , on conçoit que le mètre est divisé en huit parties ou huit huitièmes , et que Ton prend cinq de ces huitièmes ; huit est le dénominateur, et cinq le numérateur. Dans la seconde , la livre poids est conçue divisée en vingt parties appelées vingtièmes, et l'on en prend treize. Le dénominateur est vingt, et treize est le numérateur.

II résulte encore de là qu'une fraction est une grandeur rapportée à une partie de l'unité principale , partie qu'on peut elle-^nême considérer comme une espèce particulière d'unité. Ainsi la fraction treize^ingtièmes de mètre , étant composée de treize fois le vingtième d'un mètre , ce vingtième est une unité particulière que la fraction proposée contient treize fois. Cela posé , deux fractions sont dites de même espèce , lorsque leur dénominateur est le même. Par exemple , cinq douzièmes , sept douzièmes \ onze douzièmes , sopt des fractions de même espèce ; mais trois quarts et deux tiers sont des fractions d'esr pèce différente, parce que le dénominateur est différent.

Pour exprimer une fraction en cliiffres , on est convenu de placer le numérateur au«-dessus du dénominateur , en interpo-

sant une barre. Ainsi, la fraction trois quarts se désigne par -;

sept douzièmes par —, vingt-trois trente^ cinquièmes par ^'

Réciproquement, ^i ~^> représentent les fractions sept

huitièmes, treize quinzièmes, quarante^sept soixante^douzièmes; c'est-à-dire, qu'on énonce d'abord le numérateur, puis le dénominateur ; et à la fin de l'énoncé , on ajoute la terminaison ième.