PAR DIFFÉRENCE
Il résulte de la dëfinition d'une progression par différence , ^ue, dans une progression croissante ,
Le second terme est égal au premier plus la raison ;
Le troisième est égal am second plus la raison, ou bien, est égal au premier plus deux fois la raison ;
Le quatrième est égal au troisième plus la raison ; ou au premier plus trois fois la raison.
En général , un terme de rang quelconque est égal au pre^ mier, plus autant de fois la raison qu'il jr a de termes as^ant celui que Von considère,
'Pour fixer les idées sur cette propriété , et en présenter un énoncé plus concis , considérons la suite des nombres
T a,b,c.d»e,f,g i,k,ly
que nous supposons former une progression croissante ; et désignons par r la raison de la progression.
On a évidemment, d'après la nature de la progression,
c = 6 + r = a-|- r '{' r=z a -^ ar,
rf=c + r=:fl+2r-}-r=a-f" ^r, e = d'\'rz=za + 3r-i--r=za-i- fyr.
Donc, si n désigne le rang d'un terme quelconque /, auquel cas [n-^ i) exprime le nombre des termes qui précèdent, on a
évidemment / s=: a + C'* "-" *)'' (i) »
expression qui , traduite en langage ordinaire , revient à l'énoncé ci-dessus.
Si la progression était décroissante , on aurait au contraire ,
c ^=1 b '^ r = a — r '^ r =z a — ar,
et par conséquent , Issà-^ (n — i)r. . . (2).
Les deux formules (1) et (a) servent à déterminer Un terme
qaelcon({ae de la série , sans qu'on soit oblige de caicideitous ceux qui précèdent , puisqu'il suffit de connatire b premkr terme , la raison, et le nombre des termes compris depuis le premier jusqu'à celui que l'on veut former.
Soit , par exemple^ la progression 7 2.5.8. 11..., dont on demande le 20*"' terme.
On a ici, fl==2,r=3,et 71=20; donc la formule (i)deYient
On trouverait de même pour le 60^' terme ,
Soit encore la progression l 80.74.68.62» •• .^ dont on demande le 12'"*' terme.
On a dans ce cas , a=8o y r=6, n=i2; donc la formule (2) donne /= 80 — 1 1 X 6=: i4-
240. Conséquence de la propriété précédente, »— Ces mêmes formules conduisent à la résolution d'une question très importante qui a pour objet d^ insérer entre deux nombres donnés, autant que l'on veut de moyens DiFFÉRENTiEts , c'est-à-dire d'autres nombres formant avec les deux nombres donne's^ une progression par différence.
Proposons-nous , pour premier exemple , A^ insérer entre 3
et 67 , HUIT MOYENS DIFFÉRENTIELS.
Puisque la progression que l'on veut former, doit , y compris les deux nombres donne's , être composée de 8 -f- 2 ou de j o termes , il s'ensuit (n^'SSO ) que le dernier terme 67 est égal au premier 3, plus 9 fois la raison ; donc , si de 67 on retranche 3, la diftërence 54 sera égale à 9 fois la raison ; et par conséquent, le 9^"*' de 54, ou 6, sera l'expression de la raison qui doit régner dans la progression.
Connaissant la raison , il est facile d'en déduire la progression , qui est alors
[^Soient, en général, a et /les deux nombres entre lesquels 00
PAR DIFFÉREffCE. 333
veut insérer un nombre m de moyens différentiels; si Ton désigne d'ailleurs par n le nombre total des termes , on aura 71 = m -f- a; d'où n — i = m + 1 ; et les deux formules du numéro 259 deviennent
Z = tf-f. (m-f i)r, / = a— (m+i)r.
De la première on tire , en retranchant a des deux membres ^
/ — a = (m + i) r, d'où r = — -.
Pour la seconde , il fiaut ajouter aux deux membres, (m-f- i)r> puis en retrancher /, ce qui donne
(m + i)r=a— /• d'où r= .
Donc,/?oiir insérer entre deux nombres donnés , autant de moyens différentiels que Ton veut y il faut retrancher le plus petit nombre du plus grand, et diviser la différence par le nombre total des termes à insérer, plus uw.
Le résultat ainsi obtenu exprime la raison de la progression, qui peut, d'ailleurs, être croissante ou décroissante.
Soit proposé , pour second exemple, d! insérer entre' 7^ et 2g, 35 moyens différentiels.
l€i, ronaa=2, /=:29, m=35j donc r=-^x^ — =^ ;
et la progression demandée est
J;^ Le 20"*' terme de cette progression, ouïe 19^"»' moyen diffé-
rentiel , a pour valeur (n® 259) /=2 +19X y= 16 j.
Le 37"*' terme , ou le dernier terme de la progression , est 7 = 2 + 36X7 = 29; ce qui doit être,
241. Remarque. — 5/ , entre les termes consécutifs d'une progression par différence , considérés deux à deux ^ on inr
il est d'abord évident que la somme de tous les termes de ces deux progressions, est égale à 2S.
D'un autre côté , comparant deux à deux les termes compns dans une même colonne verticale , on a , diaprés la propriété précédente, û +/=^-f-^ =^+'« • • • > donc a8 est égal à la somme partielle , « + / , prise autant de fois qu'il y a de termes dans la première progression ; et par conséquent,
d'où, en divisant par 2, S =^^ ;
c'est-à-dire que la somme des termes d'une progression pff différence est égale au produit de la somme des extrêmes, multipliée par la moitié du nombre des termes.
Applications. — i**. O/i demande la somme des nS premiers termes de la progression , . . . 1-3.7. 12.1 «7. . .
Il faut d'abord rechercher l'expression du aS"*' terme. Or la raison étant ici 5, on a (n° 259)
Donc S=^i±^^^^ = !ii><^ = ,55o
2°. On demande la somme des 100 premiers termes de h progression . . . .7 1.8.5.7.9. . . .
On trouve d'abord pour le loo"" terme ,
Donc i>=: -^ = loooo, ou le carré de 100.
Généralement, le n''""' terme de cette progression étant
on trouve pour la somme des n premiers termes,
•3 = = 71*, ou le carré de n,
Ainsi, la somme des i5 premiers termes est égale à... i5x i5 ou 225.
