PAR QUOTIENT
244. Des progressions par quotient (ou géométriques), ^-^On ■\omvL\e ainsi une suite de termes dont chacun est égal à celui fui le précède, multiplié par un nombre constant qui est en^ 7ore appelé la raison de la progression.
La progression est dite croissante ou décroissante, suivant que la raison, ou le nombre constant qui exprime lé rapport d'un terme à celui qui le pre'cède , est plus grand ou plus petit que runité.
Une progression par quotient s'e'crit en plaçant deux points après chacun des termes, et le signe f? en tête^ parce que, d'après la définition , Ton peut regarder ces nombres comme formant une se'rie de proportions continues.
Par exemple , soient les deux suites de nombres
^ lîx • 6 • 3 •- •- • -• ^ •
Dans la première , chaque terme est égal à celui qui le précède multiplié par 3 ; ainsi , c'est une progression par quotient dont la raison est 3.
Dans la seconde , chaque terme est la moitié de celui qui le précède , ou bien , est égal à celui qui le précède multiplié par
la fraction-; donc, c'est une progression par quotient dont /a raison est - . 41
On énonce d'ailleurs ces progressions de la même manière que les progressions par différence, savoir,
2 est à6y est à i8, est à 54^ est à 162', • • • ;
et 12 est à 6, est à 3 , est à - 1 est à V» • •
Si l'on envisage chaque progression comme une suite de proportions continues , il en résulte que chaque terme de la pro- {pression est à la fois conséquent et antécédent, à l'exception
du premier qui n'^st qu'antécédent , et du dernier qui n'est que conséquent.
Les progressions par quotient jouissent de propriétés analogues à celles des progressions par différence.
5I4II. Première vv^ovKitrk.'-^Évàluation dun terme de ran§ quelconque dans une progression par quotient.
Soit la progression par quotient, générale,
et désignons par ^ la raison , qui peut d'ailleurs ètre^ ou <^i. On aura évidemment les égaillés suivantes
n par quotient, générale, 9 o a e • J m Q • »*• • • • • j L raison , qui peut d'ailleurs être S
bzzzaq,
c=zbq:=:aq ^q^szaq^, d:=cq=z aq"^ X ^ = aq^ y e z=zdq'=ia(f^q'=iaq^.
d'où l'on voit qu'en général, un terme de rang quelconque est égal au premier terme multiplié par une puissance de la rai" son, dont l exposant est marqué par le nombre des termes qui précèdent celui que Von considère.
Ainsi , désignant par n le nombre des termes compris inclusivement depuis le premier jusqu'au terme /, on obtient la
formule
lz=fu X î""S
au moyen de laquelle ilest aisé de trouver la valeur d'un terme, sans qu'on soit obligé de former tous ceux qui le précèdent.
AppUcations. — I®. On demande la valeur du la* terme de la progression ....—aîôliS;
La formule devient /=2 X 3'*.
D'abord , la 4* puissance de 3 est 3x 3 X 3 X 3 , ou 8i ; multipliant 8i par 8i, on obtient 656i pour la 8* puissance. Multipliant 656i par 27, 3*^ puissance de 3, on trouve 17714? pour la 1 1^ puissance.
PAK QUOTIBIÎT. iS^
a^. On demande k lo^ terme de laprQgrkuiôn
On trouve daas ce ca8> Issz lâ X r- J « ;
Or le cube de 2 est 8 ; le cube àe 8'^ qui ii'ëst ëyidëmmént autre chose que la 9* puissance de 2|^-.est e'gal à Si 2; donc
N. B, — Si le rang du terme était un l^^H.^A^ig^ «d^if^JAl deviendrait assez laborieux ; mais on n'en .jijirviendrait pas moins à l'expression de ce terme par des lii^iltiplicatiçns. si^ccessives. Toutefois, on peut juger, par lè^ praraier exemple, avec quelle rapidité' les puissances d'un toditibi^ augmentent de valeur lorsque le degré de la puissÀnce èst^tin 'peu. ^fiiidérable, puisque dans la progression H^ t &î i8:t '. /!. ., <)n obtient 354294 pour le 12* terme âèâlbinènW ''
Ô46, CoNSÉQcrËNCE de la propriété précédralfe. . — » IhM^r entre deux nombres donnés, 9i et\, un nombre giéelèûnque Âi de MOYENS PROPORTicM^NELS. (On appelle ainsi d'aufteè notables fdrmant, avec les deux nombre!; dontiés, tfne ^^^sshj^par quotietit.)
Soktiiùn, — n est évident quîe pdùr foriàeir là ^cr^esiîoir, il suffit d'obtenir la raison.
Or, de la formule / = aq"^^ , on déduit , feh divitoA fes dëfe membres paf d^
D'ailleurs , n exprimant le nombre total des termes, on a nécessairement 71 = m + 2 , et pat pnsél|h^t , n >#- i i^ m '4" ^ •
Donc enÛB; ^3=1/-.
34^ RAPPROCBEMZNT DES DEDX PROGRESSIONS.
termes d'une progression par diffc'rence , savoir,
Nous n'exposerons point ici le moyen d* obtenir Vejtpression de la somme des termes d* une progression par quotient, parce que cette question est tout-à-fait inutile pour le but que nous nous sommes proposé , et que d'ailleurs elle suppose quelques principes d'Algèbre , que nous n'avons point encore démontres.
280. Correspondance entre les propriétés des deux espèces de progressions. — Rapprochons actuellement les résultats obtenus plus haut.
Prog. par diff. P^.S* P^^ quotient.
/=a+(/i— i)r. . . . (n*, 259). . . . /=flX ?•""'. . - .(n»245)
S = ^^"^^^ (ao 245) P = \J{aly (n"249;
Ces formules nous montrent que les ope'rations qui s'exécutent sur les éiémens d'une progression par quotient, correspondent k des opérations plus simples , exécutées sur les clemens analogues d'une pro{;ression par différence.
Ainsi y la multiplication correspond à une addition y la disfision à une soustraction;
\di formation des puissances à une simple multiplication; y extraction des racines à une di\^ision.
Guidé sans doute par ces considérations, le célèbre inventeur des logarithmes est parvenu à simplifier les calculs arithmétiques, à partir de la multiplication, en remplaçant les opérations à effectuer sur les termes d'une progression par quotient, par d'autres opérations faites sur ceux d'une progression par différence. Gomm^ , dans un ouvrage élémentaire^ il est impossible d entrer dans tous les détails de cette importante découverte,
PA& QUOTIENT. 34l
248. Seconde propriété. — Dans toute progression par quo^ tient, le produit de deux termes quelconques également dis^ tans des deux extrêmes, est égal au produit des extrêmes
Soient eu effet xetjr deux termes dont l'un en ait (/?— i) avant lui , et l'autre {p — i) après lui.
Le terme x est égal au premier a multiplié par qf"^ ; et l'on
a a:=aX q^^»
Le dernier |erme / est égal au terme jr multiplié par q^^'i et l'on a Issjr x q^^^ ; d'où l'on voit que les termes a, x,j, et /, forment une proportion .....a \ x II jr : /.
Donc (n" 205) . . .a:X J^=ûX'. •.. C.Q.F.D.
249. Désignons enfin par P le produit de tous les termes de la progression H a * b l c l l i l k l ly multipliés entre eux, en sorte que l'on ait
P zzzabc ikl,
ou F=zlki cba'j
on en déduit P*=a&c iklX, Iki. . . »cba^
ou bien eiKCore , en intervertissant l'ordre des facteurs,
V^=talX,bk':><.ci><:. . . . ioX^kb^^la^
mais on vient de voir que al= bk z=zci, , , . -, et le nombre de ces produits partiels est égal à n, nombre des termes de la progression proposée ;
ainsi, P*=:(a/)-j
et par conséquent,
ce qui démontre que le produit de tous les termes d*une pro^ gressionpar quotient, est égal à la racine carrée de la n*^"' puissance du produit des deux extrême^.
Cette formule correspond à celle qui donne la somme dfs
