PREMIÈRE PARTIE

INTRODUCTION

I. On appelle grandeur ou quantité tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution. Par exemple ^ les lignes , les surfaces , les temps , les poids , sont des grandeurs ; de même, toute collection ou réunion d'objets de même na* ture, par exemple , d'arbres, d'hommes, de maisons, etc., est une grandeur en tant que cette collection est susceptible d'augmentation ou de diminution. On ne peut se former une idée bien exacte d'une grandeur, qu'en la rapportant à une autre grandeur de même espèce ; et cette seconde grandeur, destinée à servir de terme de comparaison à toutes les grandeurs de la même espèce , s'appelle unité. Ainsi , quand nous disons qu'un mur a vingt mètres de longueur, nous sommes censés avoir acquis déjà l'idée de l'unité de longueur appelée mètre , et nous supposons qu'après avoir porté vingt fois le mètre sur la longueur du mur, on soit arrivé tout-à-fait au bout.

Uunité, en Mathématiques , est donc une grandeur d*une espèce quelconque, prise arbitrairement ou dans la nature , pour servir de terme de comparaison à toutes les grandeurs de

2 INTRODUCTION

mente espkce; d'où U suit qt^ily il autant d'espèces d'unités que d'espèces de grandeurs.

L'apité est arbitraire quand l'espèce de grandeur à laqt^çUe ellifippartieat, p<eut varier d'une manière continue, c'est-àdire augmenter ou diminuer d'aussi peu que l'on veut, comme une ligne , un temps, etc. ; au contraire, elle est donnée par la nature même de la grandeur^ toutes les fois que celle-ci augmente ou diminue d'une manière brusque ou discontinue •* tels sont les différens genres de collections. Ainsi, dans un groupe d'arl^res , conside're comme quantité ^ c'est nécessairement l[arbre qui est l'unité.

On appelle nombre, le résultat de la comparaison d'une grandeur quelconque à son unifé.

Un nombre est dit entier, lorsqu'il est l'assemblage de plu-* sieurs unités de même espèce. Aipsi' vingt francs, trente livres poids, huit, douze, quinze unités d'une espèce quelconque^ sont des nombres entiers.

Vnefiaction e^t une pat-tîe de l'unité.

Plus généralement^ on appelle nombre fractionnaire , soit tmé fraction , telle qu'on vient de la définir, soit l'assemblage dé plusiéulrs unités d'une même espèce , avec une fraction ou tertie d'unité.

S. Lorsqu'en énonçant un nombre, on ajoute à la suite de t'énonce, le nom qui désigne l'espèce de grandeur dont il s'agit, çé nombre s'appelle concret. Ainsi, cinq mhtres, quinze heures, iix lieues, sont des nombres concrets. La première fois que l'on pironônce un nonibre, on ne peut y attacher de sens qu'en se représentant une linité d'une certaine espèce, à laquelle on compare une autre grandeur de la même espèce. Mais peu à peu fespHt, qui s'accoutume aux abstractions, parvient à se peindre unecdllèction de plusieurs objets semblables mais quelconques, dont cbàcun est l'unité. Dans ce cas, la collection s'appelle nombre abstrait, parce qu'en l'énonçant on fait abstraction àt rëspèce d'unité à laquelle on la rapporte. Or, c'est sous ce dernier point de vue qu'on doit envisager les nombres , dans réxposidon des procédés relatifs aux diverses opérations qttè

Vfu çû^t ^ywà .iefieaver a$ir c^m^ ^ «i Voh wp^t ifêê fiwpt#C#J[ft qDK^jaos potsybles.

jsa/remeat avoir pour 4^el; 4? le^ir /j^opnqr 4J[9f XNRS«f ^^^ retenir ; et çomm^ ilexff^ utffiîn^90ife mmtff0S, fm^iÊP^ nombre quekonqjiç e^t déj^ /orp»^, Ojq p^ iMPJMIi 7 «ouier une npuyelle uoitë, ce ipii dp9.«^ }^ i jg^ ;^^iNrt|J|i jppmbre, qui peut lui-jp^njie èife ^fà.fgasf^ i'upét mité^ ÛJ^ fallu trouver le luoyen d^exprfmpr ffius fef no^kf^9 gyffç jfn système limité de nfols combinés entre eux ^^fie fftqmère conveMble. Tel e9t ^'ot>î,e t de la ^uméri^fi^ Jffrfi^. ^ .-

11 y ^ pli^s : les mots qui c^mposjput la iioiiiei|<jl/|i|jai^ jl^ nombres , étant ^néraleme^t {u^mjfo^ié^ 4ç {^W^^lf l#9i i ^ varia,b}es avec les différentes langues , pn ^ di^ iu:y(^i$t pour .les remplacer, une écrit^^*e ^ëgée et plus g^éi^ , f# Pè9^9l^ 4e laqujelle l'esprit pût «aûÂr avjec £^cÛij(|é et in4^ppiiid4n9iiNi^t de la parole , les r9JLsanuemeQ/s j(iu'4>J9L ^t ioMigé 4fi fyif^ p$^r découvrir les propriét^^ des nç^I^r^s > ou 1^ lo^ âfi )§fèff 4i' yfst§»^ co^ibioai^ns. Tel /e^jt U bfàH de la wsî^aitjm ^qn^^ ^(uelle co^s(e à représmffir Ifi^mmhr^ 4 /!^lV^ ^'mp i »oiil brç limù^ d^ caractères QVL cfijjv^fs.

#. , Kuméralîfinparlée. -r-^uoique la nojQMesnck^re 4i^ «embues ea.tiers aoil connue de la plupaji^td^ajeuneeif eitfjMHPr klquels .cesélémeus sout écrits , nous icroyons devoir CJ^^aspittir nne analyse succiiictç , mais iraisqnnea.

Les preuiiei^s nombres sont : Un (ça l*umté jconAJb^lrfe idle* même icomno^ un inombre), deux i(au uiie unité phs im^ muté;) , iréfisloU deux «mités plwis uue^mté) , fttaiif,,4i9ç^, six , sept, huit f neuf,

En ajoutant une nouvelle i;inité au nombre i^ei^.çn jfçu*W^ ^^ Aom])re </m> qu'on reg/aird^ comme we 90uvel]lp^eii|!èca^^4 appelée dixaine ou i/'nàé i/k second ordre y par oppcnîliWi*à

^iÇ mntéaATioN pablée.

Vanilë primitive que l'on nomme uniié simple ou unitë du premier ordre. On compte par dixaines comme on a compté par unite's simples ; ainsi l'on dit: une dixaine , deux dixaines, trois dixaines, quatre, cinq, six , sept, huit et neuf dixaines; ou bien, dix, vingt, trente , quarante, cinquante, soixante, septante , octante , nonante. Aux trois derniers mois , quoique conformes à l'analogie , on a substitue les mots soixante'^ dix , quatre-vingts, quatre^vingt^^dix. Ce sont des expresftions consacrées par l'usage. Entre dix et vingt , il existe neuf autres nombres, qui sont dix^'un, dix^eux, dix^trois, dix^ quatre , dix* cinq, dix-six, dix^sept, dix-huit, dix-neujj mais au lieu des six premières dénominations , l'usage a substitué les mots onze, douze, treize ^ quatorze, quinze et seize.

Entre vingt et trente, il existe^aussi neuf nombres qui s'énoncent de cette manière : Vingt^un , vingt- deux , vingt^trois , vingt^quatre >..... vingt-neuf. On peut énoncer ainsi tous les nombres jusqu'à nonante~neuf o\x quatre-vingt-dix-neuf.

Ce dernier nombre augmenté àJun, donne dix dixaines eu le nombre cent, qu'on regarde comme une nouvelle unité ap* pelée centaine ou unité du troisième ordre ^ et Ton compte par centaines comme on a compté par dixaines et par unités BÎmpies. Ainsi cent, deux cents, trois cents, quatre cents, . • . . •huit cents, neuf cents, expriment des collections d'une centaine, de deux, trois. . . huit, neuf centaines. En plaçant successive^ ment entre les mots cent et deux cents , deux cents et trois cents , , , . huit cents et neuf cents, et à la suite de neuf cents, les noms de nombres compris 'depuis un jusqu'à quatre^vingi'- *dix-neuf, on à formé les noms de tous les nombres depuis cent jusqu'à neuf cent quatre-^ingt-dix^neufi*).

Nous pouvons remarquer déjà que dans les énoncés de tous ces nombres, on n'emploie que les mots génériques , un , deux , trois , quatre , cinq, six , sept, huit, neuf, dix, vingt, trente ,

(*) Tan^ que le mot cent iiVst suivi (raucun aatrc nom àe nombre, il est d^rnable; ^ns leca» contraire, il est indéclinable. Il en est de mémedv

NDlUâRÀTION iCftlTC. { ^

Càraciire o. — - Il y a cependant des nombres qu'on n« pcàt écrire «n ne faisant usage que des neuf chiffres précédeûs.

Soient à écrire en chiffres les nombres dix, vingt, trsHtt^... quatre-vingts, quatre-vingt-dix j ces nombres ne contcuiani pas d'unités simples, on a dû adopter i/n chiffre qui n'ait auçuile valeur par lui-même, mais qui serve à tenir la place detf unités d$ chaque ordre qui manque dans l'énoncé du nombre. Ge chiffra est o, que l'on prononce séro, A l'aide de ce chiffre , lés n^ndv bres clix , vingt , trente , etc. , s'écrivent ou se représeotent par ip I ao , 3o I 4^ , 5o y 60 , 70 ^ 8a ) 90.

]Par la même raison, les nombres cent, deux cents , ^rais cents ^,.. ne renfermant ni unités simples ni dixaiaes^ s'écriyent par lOQ, 200 , 3oô, 4oo9"* 9^0.

£n général , le zéro est un chiffre qui n'a aucune valeur par lui-même , mais que l'on emploie pour tenir lieu des différens ordres d'unités qui peuvent manquer dans iVnpncé d'un nonibre.

Les autres chiffres , appelés chiffres significatifs , ont deux espèces de valeurs : l'une nommée absolue, qui n'est autre chose que celle du chiffre considéré seul ; Tautre , appelée retfiiive, quç le chiffre acquiert d'après la place qu'il ocçujpë à la gauche d'autres chiffres.

iifaintenant, si l'on réfléchit que tout nombre énoncé îse compose d'unités simples, de dixaines, de centaines, etc.* que la collection des uni lés de chaque ordre est tout au plus égale à neuf*; que , dans l&cas ou le nombre est privé de certains ordres d'unités , on a un caractère pour en indiquer la place , on sera convaincu qu'il n'y a pas de nombre entier qui ne puisse être ê^iprimé à l'aide d'une certaine combinaison des ^f/r caractères I, 2,3,4> 5,6,7,8,9,0.

Soit , pour nouvel exemple, le nombre deux cent "huit mîlîe dix^neufk écrire en chiffres.

Ce nombre contient 9 unités simples, i dixaine,8 unités de mille, et 2 centaines de mille ; mais il n'y a ni centaines simples ni dixaines de mille. Il suffira donc d'écrire les chiffires 9, ty o , 8 ) o , 2 1^ à la ^uite les uns des autres, en allant

s NUMéfiATION ECRITE*

de droite à gauche, et le nombre sera repre'sente' par loSoig. Soit encore le nombre trente-^ix billions cinq cent millions vingt mille quatre cent sept.

L'énoncé de ce nombre comprend 7 unités simples, o dixaines, /^ centaines j o unités de mille, 2 dixainèsde mille, o centaines de mille ) o unités de millions, o dixaines de millions, 5 cen^ taines de millions ^ 6 unités de billions , et 3 dixaines de bil^ lions; donc le nombre sera représenté par 365ooo2o4o7*

Le système de numération qui vient d'être exposé, a reçu la dénomination de système décimal, parce qu'il faut , dans ce t^stème, dix unités d'un certain ordre pour former Une unité de Tordre supérieur, et par suite, qu'on y empiciîe rfw: chiffres pour exprimer tous les nombres. Le nombre dix s'appelle la base du système.

C. Faisons maintenant une observation importante : il résulte de la nomenclature, que tout nombre écrit en chiffres se divise en centaines, dixaines, et unités simples; en centaines» dixaines et unités de mille ; en centaines , dixaines et unités de millions, etc. ; c'est-à-du*e en tranches d'unités ^simples , de mille, millions , billions, dont chacune s'exprime par trois chiffres , excepté la dernière , qui est celle des unités les plus fortes , et qui peut n'avoir que deux chiffres ou même qu'un seul. Lors donc que l'on s'est familiarisé avec la manière d'écrire les nombres de trois chiffres , il suffit d'écrire successivement les unes à la suite des autres, en allant de droite à gauche , la tranche des unités , la tranche des inille , celle des millions, celle des jnllions, etc.

On peut même commencer par la gauche » c'e&t-à-dire écrire d abord la tranche des unités les plus fortes , et à sa droite les autres tranches par ordre de grandeur des unités. C'est ainsi . qu'on doit s'y prendre pour écrire en chiffres un nombre dicté en langage ordinaire, et qui n'est pas déjà écrit en toutes lettres ; mais il faut avoir bien soin de ne pas omettre les zéros destinés à remplacer les ordres d'unités qui manquent; et il ne peut jamais y avoir d'embarras à ce sujet, puisqu'on sait que cha-

NVlCÉRATlOir DES FRACTIONS, 9

que tranche y excepté la première à gauche , doit toujours renfermer trois chiffres.

Soit, pour derpier exemple , à écrire le nombre tjuaire cent six billions vingtr^huit millions deux cent cinquante mille quarante'huit.

Ecrivez à la droite les uoes des autres la tranche des billions, la tranche des millions , la tranche des mille, enfin celle dos unités simples; vous aurez 406,028,250,048.

7. C'est sur l'observa tion précédente qu'est fondé le moyen de traduire en langage ordinaire un nombre quelconque éciit en chiffres :

Aprks avoir séparé le nombre en tranches de trois chiffres chacune, à commencer par la droite, énoncez successiv^ement chacune des tranches , en partant de la première tranche à gauche, et ajrant soin de donner à chaque tranche le nom qui lui convient.

Soit, pour exemple, le nombre 7034^60 1.

Ce nombre étant ainsi partagé : 70,345,6011 se compose de soixante-dix millions , trois cent quarante^cinq mille , six cent un.

On (trouvera pareillement que 5302400056702, ou bien 5,3o2,4oo,o56,702, exprime le nombre cinq trilliovs , trois cent deux billions, quatre cent millions, cinquante-six mille ^ sept cent deux.

8. Il nous reste encore, pour compléter la théorie de la numération , A indiquer le moyen d'écrire en chiffres les fractions. Mais auparavant, il est nécessaire de donner une idée claire et précise de cette sorte de nombres, tels qu'on les considère en Arithmétique*

Supposons qu'on ait à déterminer la longueur étune pièce d étoffe. En prenant l'unité de longueur appelée mètre, et la portant une fois, deux fois, en un mot, autant de fois que possible sur la longueur de la pièce , il arrivera de deux choses l'une : ou^ après que l'unité aura été portée un certain nombre de fois, i5 fois par exemple, sur la longueur de la pièce, il ne restera rien; o^ bien. l'on obtiendra un reste plus petit

lo wmÈBjLTioti bts nucTions.

i]îie le métré. Dans le premier cas , la pièce contiendra un nombre entier de mètres, savoir, i5 mètres. Dans le second titàj à ces i5 mètres , il faudra, pour avoir la longueur totale, joindre la fraction ou la partie de mètre qui reste* Hais comment évaluer cette partie? comment la comparer à l'tinité ? On pourra d^bord concevoir cette unité divisée en deux parties égales ou en deux moitiés; et si le reste est justement égal à l'une de ces moitiés, on dira que la pièce d'étoflBè }i ïS mètres et demi de long.

81 le reste est plus petit 6u plus grand que la moitié du mètre , on concevra cette moitié divisée en deux nouvelles parties égales appelées quarts; et si ce quart petit être porté vite fois ou trois fois juste sur le reste, on dira que le reste est 2gal au quart ou aux trois quarts du mètre.

Au lieu de diviser Tunité en deux ou en quatre parties égales, on peut aussi bien la concevoir divisée en trois parties égalés appelées tiers, en cinq parties égales appelées cinquièmes , en six appelées sixièmes, etc. Admettons , pour fixer les idées, que le mètre ait été divisé en douze parties égales appelées doU" zihnes, et que ce douzième soit porté sept fois juste sur lé reste , on dira que îde reste est égal à sept fois le douiièrhé ou aiix sept douzièmes du mètre. Donc la pièce d'étoffe aura it métrés et iept douzièmes de mètre en longueur.

D'où l'on voit que, pour se former une idée nette d'une fraction d'unité d'une espèce quelconque , il faut concevoir cette uniié divisée en un certain nombre entier de parties égales , et

supposer que l'on prenne une , deux , trois , qiiàtre , de

ces parties ; i*enseitible des parties que Ton prehd est ce qui constitue la fraction. Ainsi , l'énoncé d'une fraction comprend nécessairement deux nombres entiers , savoir : celui qui dé-signe en combien de parties égales Tunilé a été divisée : on Rappelle Di^oBiiNATEtR ; et celui qui marque combien il faut de ces parties pour former ta fraction : on l'appelle numéra* TEDR. Par exemple, cinq huitièmes de mètre , treite vihgiièmes de livre , etc. , sont des fractions. Dans la première , on conçoit qiie le mètre est divisé en huit parties égales nommées

NOTIONS SUR IS^ OPiltATlONd 0£ 1*AK1THBUItIQU£. > Il

kuUikmes , et que l'on prend cinq de ces Iiuitîèmeé ; huit est

le dénominatenJr, et cinq le numératear. Dans la seconde, la

lit^e êSt êbnçue divisée en vingt parties égales appelées

vifigtihmes, et Von en prend treize; lé dénominateur ea^

vingt, et treize est le numératear.

' 11 résulte encore de là qu'une fraction est une grandeur rap<*

portée à une partie de l'unité principale , partie qu'on peut

elle— même considérer comme une sorte d'unité secondaire.

Ainsi 1^ fraction treize vingtièmes de mètre , étant composée de

treize ^ois le vingtième d'un mètre ^ ce vingtième est une uni^^

Particulière que la fraction proposée contient treize fois. Cel^

posé, deux fractions sont dites de même espèce lorsque leur

dénominateur est le même. Par exemple, cinq douzièmes,

sept douzièmes, onze douzièmes, sont des fractions de même

esl|^èeè ; m^s trois quarts et deux tiers sont dés fractions d'es^

pèces différentes , parce que les dénominateurs sont différens^

Pour exprimer une fraction en chiffres , on est convenu de

placer le numérateur au-dessus du dénominateur, en interpo-

a^t iu»e. b^rre, Ainsi ^ la fraction trois quarts ae désigne par -jf^

¥if(\ dptuzièifites par ~ , vingt-trois trente'^inquièmes par n.

Réciproquement, g, -?, — représentent les f^actiona sept

huitièmes, treize quinzièmes , quarante -sept soixante-^Ur tàèràes. Pour énoncer une fraction, on. énonce d'a.bordle nurmératetii', puis le dénominateur; et à la 6n de l'énonce , on ajoute la tet'minaisc^ ième (*).

9. Les premiers besoin^ de l'homme en société le conduisent joUmellenient à résoudre i.ei questions pour lesquelles il est obligé de combiner deux ou plusieurs nombres , soit de même natuàre^ aoit de nature différente. Ces combinaisons constituent les opérations de V Arithmétique ou le calcul numérique. Afin

(^) Il y a une exception à faire pour les im^tf- dmmi % tiers , quart f qai. remplacent respectivemenc les mots deuxième j Woiêiètkéf quatrième»

M,7. NOTIOm SUR LES ÔPISRATIOITS

d'en faire connaître Torigine et la liaison , nous allons nous proposer quelques questions relatives au comiiiercje.

Première question. — - Un marchand de drap a vendu à une

première personne, 5 aunes - dCune certaine étoffe y à une se^

conde personne, 7 aunes-'^àune troisième, 12 aunes -^ de la

même étoffe; il désire connaître le nombre total des aunes vendues»

Il faut , pour cela , qu'il réunisse en un seul nombre les

trois nombres d'aunes vendues; en d'autres termes, qu'il

lasse I'addition de ces trois nombres composés if entiers et de

fractions,

' a* question. — Ces trois nombres d^ aunes ayant été levés sur

une même pièce dont la longueur était de 3o aunes ^, le [mea^

chand veut savoir ce qui doit lui rester.

Il cherchera la diffe'rence entre le nombre 3o ^ qui expri-'

mait la longueur primitive de la pièce , et le nombre total des aunes vendues , c'est-à-dire qu'il sera conduit à soustraire le second nombre du premier,

3* Q!OK6Tiov,''^U ne personne a acheté 48 aunes d'une certaine marchandise à raison de aS francs Faune; on demande la somme qu*elle doit payer pour les 48 aunes.

Il est clair que pour obtenir le prix cherché y on doit prendre 48 fois 25 francs , ou faire un to|al de 48 nombres égaux & 25 francs. Cette opération s'appelle multiplication, et n'est qu'une espèce à^ addition : elle consiste à ajouter ensemble plusieurs nombres égaux.

Reprenons la même question , en changeant toutefois les valeurs des nombres ou des données de la question.

Une personne a acheté— dtaune éCune certaine marcJian^

dise, à raison de — de franc Faune; on demande ce qu'elle dçi% pqyerpour les i d^aune.

. «.c»JZ....;fci.