SUR LES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES
B la difféitiiM A 4pA «Btte cntiw y A -f» - el y A -— -. On a , d'àprit les riglet de Palgëbre ^
1^ AiM miff tfèf ptciltfractioi» qoe l'ait pa«t ncgUger vif -à-vU de
AiMt la dBffâreace A é»g rëtUtiiwiil ripfé«snltfe p«r VexprcMioil
Geci d<$montre que , si Ton dtfyeloppaic 4/a+- et ^A-»- ea déci-
ipalét d'àprit li prooédé eaïAa , les deux développemens âoraieat «ae ptcde
eocnauDM icBa qae l'onicié dtt derwer châSBtt k dkDÎce y de cette pinte, seni<
moindre qae f/jr'
Cela pose, soit d^abord A COmpoÊé d'un: tiombre impair de efriffin» esrprimë par 9p-|« I j ce qai suppose p + 1 tranches de deoz chiffres (dont la première V gauche n'en renferme qa'im). On pourra, api^s avoir calcnlé les p-f-i pf eaaisg s cfaiffies de la racine , d'après le procëdé ordinaire, détermineras p chiffiessnivans, soit par ce même procédé, soit par la méthode ahrégéedn
a® 8^ et l'erreur commise étant moindre que *t-Li n'influera pas d'une
«off^sot le thlStt du rang ^ p -f> r. Ainsi, dons ee cas , on poatra compter ^if ^p i'\ cliinres.
MliiitCeiiaAC , SI A rcniértee un aonbre paîf de ehiftnes ypf okt iètii sftr de l'exactitude des p chiffres suirans que donne la méthode abré*-
gée ai l'on a 'j±. moindre que --^ ^ et cela a lien quand , le premier.
—*: moinare que ■—-
chiffipaà gaaelie de y/lk est ^1 6a supérieur à 5. Or cettedecntère cixcon** ftMiee se rencontre, ainsi qnll est aisé de le reconnaître, toutes les fois que la première trancha à'ganche,^ du nombre proposé, est a5 ou supérieure à a5.
CoBolnoBS. da là que, dans le cas oh le nombre des chiffres de A est VAia>^ ie nombre des chiffres sur lesquels on peut complet est égal au nombre de» chiffres de Af ou h ce nombre Monrs w^ suivant que la première
Wànehe h gauche est égale ou supérieure a a5, ou bien, est moindre que aS.
^, P/tndér exemple. Soit k extraire la racine carrée du nombre 57806,
Cbnnne ee nombre â cm^chilFres, il s'ensuit que sa racme carrée pentétve
cafcdléè aved cinq chiffres f et puisque la partie entière doit en renfermer trot»,^
cette racine peut être obtenue à moins d'un centième près. Où tronf« ainsi
poikr résultat 3|o,4^ où pfnt^t ^io fi% parce que le chiiRe sotyant serarît an 8.
4o4 HOTE
Sccomd exempte. — On ànoamile la ndne cwiée àm. auMluc 738S(g|Kb O noiBbceajaBt AalcdHlEref', dont les de«K {Hcadea Ik gMM^ impani s5» il s*auait (n* a3) qn'oo peoteaJcaler &«£< duffines àla lacîiie; et eom la partie entière doit en rcnCirroier quatre^ la radiie pent écre obcenne à wxu ^Kit d!ur millième près.
On obtient aiMÎ (SQ^yS^sf p9or la ndne demandée.
Considérons actneDement des firactions décimales.
Trwsième et qwuttrièmÊC exempte. — Soie à éraiocr ^b^SS^ei 1/3}, 567846.
n laot d'afaoïd, en vertn de la rèjjk étabfie n* 186, Êihe abstnctioB deh ▼irçole, pois, après aroir obtenu la radne, diTtscr cfaacnn des deux rénliatt par 1000.
Or, dans la rvchercbe des racines canoës de 8^56479 et de 23567S46, \^ plicatpon de la règle n* aSdonne sept pour le noabce des chiffres dont il at permis de tenir comptfc. D^ullenrs, la partie entière de la racine canée de chacun des nombres iM-oposés ne doit aroir qu'ua seul chiffre. JUmi les radoes peuTcnt être obtenues chacune arec nx ekifres déâmanz.
On obtient ainn y 8,a56479 = ^'^^ogi
et V^a3^846 = 4,854673.
Cuupdhme et sixième exemple. — Soit à éraloer V^T^pet
On doit d'abord , conformément ^ la règle do n* i95, rendre le nombcf des çh^&es décimaux pair en plaçant un séro k. la droite de diacon de ces ooB' bresy pnisy après avoir lait abstraction de la Tirgule, et extrait les ntciiMS. cances des deux nombres résolians, 6735430 et 47375g|6o , dÎTÎser ces racioef par 1000.
Or, dans la recherche de la racine de 673543o, comme la première tnmdie k gauche de ce dernier nombre n'a qu'iiii seul chiffie, il faut appliquer h première partie de la rè^le n* o^, en ne tenant pas compte toutefois dndemitf chiffre à droite, qui est tout-à-faît iuexsct ; et le nombre de chiffre^ dost il est permis de tenir compte ^ la racine est six. D'ailleurs, la partie entière de b racine carrée du nombre proposé nedoit avoir qn'uit semt chîfiFre» Donc enfia» la radnc demandée pcnt être calculée avec cinq chiffres déômaiixi ^' ^^^^ *
De même , coipme dans la recherche de la radne de 47^7^0^ * bi premi^ tranche i gauche de ce dernier nombre, est composée de deux chiffres , il (ast appliquer la r^le du n* a3, en u^ayant ancun égard an dernier chiAre i droite, qui csttont-à*fait inexact j et le nombre des chiffres dont il est penD» 4ic tenir compte à b racine est srpt ( pnisqne la première tranche à gaocbe va-
SDK US APPaOXJVATlOHS IfUiiÉâlQUet. 4^7
Voici d^aiilean le uMeao des opéraiîoiu powiiéai JQaqa'aiix rayons R
XXH
Côté du carré égal à i.
r ^ — SB o.Sooooooo
*^ = » - e o.6o35533go | ^^.
H' = VR.r' = 0,653981482 R^ == I/IF^^ ;=: O.«407l88Q> I
9 «'-^^ w j^ i,a7Mi67îi6,
ft«^^
r = = o.636id8363
R'^ = VK'.r'" = 0,636875507
▼Il
•,6386fi78a I 0,636623766 J
4^8 NOTK gOK LES APPROXIMATIONS IfUkÉRIQCES;
R"' =: 1/r" . jr*" = o,6366i9774
li rëftulte de llnipcctioii des mdenn de r'"* etdeR™* ^e, «î ''^ oblige le dernier chiffre à droite dans chacone d'elles, 00 a O963G61977 poorli ' Valeur de chaque rayon, à moins d'une demi-unité de Tordre dadermei chiffre à droite.
DÎTÎsant maintenant le përiinètre constant 4 par le nombre approzÎBiatil 0,63661977, et appliquant la règle du n* ao, on trovre 6,983 1853 ponrk rapport de la drconféirence an rayon, à moins de o,oooooor pris, 01 bien
pour le rapport de la circonférence an diamètrtEl.
iV. B. Il est à remarquer que, pour obtenir ce rapport , & moins d^ooe nnitë d'un ordre décimal déterminé , il est nécessaire, en snivant la marebe précédente , dccalcnlcr d'abord les rayons avec denx chiffres décimaux df pins qu'on ne vent eu avoir au résultat. On pousse les opérations jnsqn'à ce que les deux rayons ne différent l'an de l'autre que d'une quantité moindit que la moitié de l'unité de l'ordre de l'avant-dernier diiffre h droite. On néglige aIors\le dernier chiffre ; puis on divise le périmètre constant par li valeur de l'un de^ rayons , abstraction faite de ce dernier chiffre ^ et ea rtit forçant , s'il y a lieu , Pavant-dernier.
