DcyeloppoDS cette règle sur des exemples

Soit, en premier lieu, à diviser 3745687 par 5533 , le difiieuéuuit exact, et le dernier chiffre à droite du dividende étant ou ponrutàs en erreur d'une demi-unité.

Gomme le diviseur n'est pas contenu dans les quatre premiers cliiiiP à gauche du dividende , cl que celui-ci renferme sept chiffres , il i^ suit que, dans l'ope'ration , Ton pourra tenir compte des six ptmiw chiffres à gauche du quotient. D'ailleurs, il est évident que ia partie «nlière de ce quotient doit renfermer trois chiffres. Donc le qnoiientpeu être calcule à 0,001 près.

Le quotient cherché est 664,364 à moins de un demi-millième pr^

On voit, en effet, que le dernier chiffre du dividende proposé eU*

fautif d^une demi-unité simple, et le diviseur étant plus grand qne 1000,

■9 • • j o,oor

Terreur commise est momdre que .

Il y a plus, comme le double de 563^ surpaie |0900| on povnvt

SUR LES APPROXWLTIONS NUMÉRIQUES. SqQ

ïncscr ropération jnsqa^anx loooo*»»**; et l'on anrait la valeur da qnoent h moins de un dix-millième près. Mais cette circonstance n'est qa'ac- !dcn telle, et l'on ne doit jamais compter que car les chiffres donnés par . règle précédente.

Soit, pour nouvel exemple^ à diviser 873 par 8765847. Puisque le dividende a trois chiffres, et que le diviseur, qui en asept^ t contenu dans 8780000 , il s^ensnit que le nombre des chiffres du quo- 2tkt dont il est permis de tenir compte, est trois. D'un antre côté, »xnme on doit, pour commencer la division, écrire quatre zéros à la oite du dividende, il faut que le chiffre désunîtes et les trois premiers LÎffres décimaux soient des zéros. Le dernier chiffre h droite exprime »nc des millionièmes.

Lie diviseur étant d^aillenrs composé d'un assez grand nombre de cfaifes , il j a lieu d'appliquer ici la méthode abrégée de la division (note n* 7). On trouve ainsi pour résultat o,ooo333 à un demi^millionième près. I^reiions, pour troisième exemple, 87,5 à diviser par 0,2983. Le didende ayant trois chiffres, et le diviseur, abstraction faite de la virgule, oint contenu dans les quatre premiers chiffres du dividende, il s'ensuit Kc l'on pourra tenir compte de trois chiffres an quotient. D'un autre ^^, comme I9 division des deux nombres proposés revient à celle de r£kKH> par 3988, qui donne trois chiffres pour la partie entière du quo-* 'Ht, il en résulte que le quotient demandé ne pent être obtenu an plus, ^^k moins d'une demi-unité près.

Xln divisant 875000 par 2988, on obtient 136 pour résultat j et il n'est iti permis de pousser plus loin l'opération.

JY. B. Dans cet exemple, comme l'opération a été ramenée h la di- ^ion de 875000 par 2988, et que le diviseur surpasse 1000, on pouri-t croire que l'erreur commise au quotient, doit être moindre que 0,001. ais observons que, pour ramener la division à cet état, il a fallu mnl- >lier 87,5 par 10060 , ou 875 par 10005 <îoïïc l'erreur du dernier chiffre 5 «té elle-même multipliée par 1000; et l'on peut seulement affirmer que ^Yreur commise au quotient, est moindre que la moitié de 0,001 X 1000^ i. moindre qu'une demi-unité de l'ordre des entiers.

30. SEGoifMB HTPOTHiss. Soient A et a deux nombres entiers à divîjier tn par l'autre, m le nombre des chiffres du diviseur a , dont le dernier à ^ite peut être fautif d'une demi-unité (en plus ou en moins). Proposons-» ^us d'abord de déterminer une limite de l'erreur commise quand on caille avbc un certain nombre de chiffres le quotient q.

On a e'videmment y ou — < — , mais > ' 5 d'où , en désignant

.X e l'erreur commise quand on prend «oit • 1 soit ■ pour la va-

lenr de q,

eipressioii que Ton peut mettre sous la forme

- ^ ou e ^

Ce résultat démontre que Terreur n'influera pas d'une miite sur le denier chiffre du quotient, tnn c^ue Ton aura q^a. Or, pour que cela soit, il faut et il vaSài premièrement que le quotient cherché ne renferme pai pha de m chiffres. En second lieu^ ce nombre sera m ou m — i , suivant qoekt m chiffres du quotient formeront un nombre plus petit on plus grand qae les m chiffres du diviseur.

ConcluoQs de là généralement que, toutes les fois que le dÎTiaenrcit a^ prozimatif, le dividende éunt exact, le nombre des chiffres du fselMit sur lesquels on peut compter^ est égal au nombre des chiffres dMàhAsau^ ou à ce nombre moihs uh , suivant que les m chiffres obtenus au qmotitKt forment un nombre plus petit ou plus grand que le diptseut.

Appliquons cette règle h. quelques exemples. Soit, pour premier exemfUf à diviser 547 par 8769.

Comme le premier cbifiEre à gauche du quotient doit être un 6 , il s'ensuit nécessairement que les quatre premiers du quotient formeront un nool» moindre que le diviseur. Ainsi, d'après la règle précédente, on peut calcokr k quotient avec quatre chiffres. D'ailleurs , la réduction de ce quotient en décimales ne donne ni unités simples, ni dixièmes ; donc il peut être évalue Ayec cinq chiffres décimaux, et l'on obtient 0,06^37, ou plutôt o,o6a38 ( parce que le chiffre suivant serait un 8) pour le quotient , à moins d*is demi'cent-millième près. "

Soit , pour second exemple, 547 à diviser par i548. Ici , le premier chifie à gauche du quotient duit être un 3', ce qui prouve que les quatre premids chiffres du quotient formeraient un nombre supérieur au diviseur ; dose, d'après la règle précédente, on ne doit tenir compte que de trois chifict. D'ailleurs, la partie entière de ce quotient réduit en décimales est sa 0. Ainsi Ton peut obtenir sa valeur à moins de 0,001 près; et l'on trouve 0,55) pour le résultat demandé.

Considérons actuellement deux fractions décimales; et soit, pour trotsième exemple , 23,479 à diviser par 534,7896.

Comme le diviseur a sept cbifîres, et que le premier chiffre à gaocbedi quotient sera un 4 1 il s'ensuit que le quotient peut avoir sept cbifiti(i partir du premier chiffre significatif à gauche } sur lesquels on peut coinpier> D'un autre côté, puisqu'il faut évidemment écrire trois léns pour

SUR LES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. /^Oï

ttieiicer la 4ÎT>ston , ce qui proaye qae le chiffre des unités et cdnî des ^Rxièmes sont des zéros, SI en réstilte nécessairement qne le qnotiènt aura "huit chiffres dëcimank* Ainsi, dans cet exemple, on pourra se propose! cT^^Talner le qnodeÀc à jinoîns de o,ooooooot près.

En effet, si, en conservani le même dividende a3,479, on ^rend siiccessi- Vilment ponr diviseurs les nombres

et «pi^on applique la m^odè abrégée du n^ 7 , on trouvera ponr résultats re^ectifs

ee qui prouve que o,o444^i3 ^^^ ^ valeur du quotient h moins d^ un demi-: c^ntrnàllionième pi^ès.

ai. Troisième et dernière hypothèse» Enfin, si le dividende et le divi- Mur sont fautifs dans leur dernier chiffre à droite, le nombre des chiffres du quotient sur lesquels il est permis de compter^ est égal au plus petit des deux nomères que fournissent les règles relatives aux deux premières hfpQihèses.

Pn^poaèns-Aous, pour premier exemple, -de diviser 356,3749 par 3^7936.

La iè^e du n<> 18 donnerait sept chiffres { mais celle du n* ao en donne six ( puisque le premier chiffre h gauche du quotient est i},; donc le nombre des diiffres du quotient sur lesquels il est permis de compter est six» DNm autre côte , la partie entière du quotient 'doit renfermer trois chiffres î ainsi Vaiï ne peut évaluer ce quotient qu'à moins d'un millième près*

La division étant effcctiXée, on obtient pour résultat 143,736.

Soit,pottr«ecaiufexeiRp/e> à diviser le Idgaritbme de i5 par le logarithme de 7. ' ;•.

On trouve dans les tables de logarithmes

log i5 = 1 , 17609 et log 7 = 0,84510.

( Ces deux logarithmes sont exacts à moins d'une demi-unité pcèa de l'onlre du 5* chiffre décimal* ) \ ' :

Or, l'application de chacune des deux règles à cet exemple, donne égale* ledient cinq pour le nombre des chiffres du quotient sur lesquels on peut compter. D'ailleurs , la partie entière doit évidemment avoir un seul chiffre significatif; donc ce quotient peut être obtenu à moins d'un dix-mUliètne près, et l'on trouve

logi5^M76o9^ log 7 84510 '^

JV. B, Cette dernière question sert de base, en Algèbre, à la résolution des équations exponentielles, (ployez d'ailleurs, le n« 277 de V Arithmétique.)

as. U nous reste encore h traiter de l'e.T<ractto/i de la racine carrée ùfiB nombres approximatifs.

Goiiiîd^roiit d'aboid on mouhn entier qûtàeoaqa/e A , dooi le denier cbîfo à âtwU eoit en errear d'iuM demifiudUi et concevont qoe n ncne cariée ait été développée en un nombre indéfini de chiffirea déâmaiii d'après lé procédé connvu Appelons n le nombire des chilfrea de cette radoe sur lei^nels on pent compler, et p le nomlxe total des chiffres du csrrc employés à la détermination des n chiffres de la racine. O pent se préKUer deux cas : •»>On le nombre des chiffes de A est impair ^ on bien il est jHdr,

Dans le premier cas, comme il léMie de la naiore m I mm b dn procédé de b ladne canée d'nn nombre entier , que les n pranic» chiffres à gaochey df la fadne y forment nn nombre moindre qoe 1m n premieia chiffres |i gmcbf^ dn carré, on a nécesmirement (n* i3)

on, endésifpiant par ;/le nombre des dûffres de A , par /r* le nombre dm zéros écrits à la droite de A pour la déienmnadon des n premien cbificsifc la racine,

maint—ft qne, dmia la nmlt ipl it ad — de la raiini fv «Arménie ( le dernier chiffre étant supposé faotif d'une demi'-vnUé)^ bfndaic (^ l4) m dûÉbosinsaKads. D^ antieoèié , leiiQnfcvsdssdfeiftrs ris de ce mime prodnis est esprimé par^-f->i, polsfae ledsMÎrr ehiffn de A est inenei, et 91*1! en est de même des jT séroe éerin k b droite de A ; ainsi iVn a ff»^ 4-1; et P^alité précédoMe devient

i/+p*=i»* + i+n — f i d'oh iis|/.

Dans le second cas, comme les n pnmieis dnfftcs b gandbe, de la isdae, tmmenc an contraire on ncHnfare^ns grand qne les n pie n waa cMAesàgm' cho , dn carré , on a entre p et n la relation

p = aii = R-t-n9

on, remplaçant comme d-dessns p par p' +p*» et obsenrant qne le nombre des dbifiea iaesacu dn carré de la «dne est é f aUm e t oapâiM é psr a ci parp'+i,

p'4-F*—P*+i -*•!•; d'oh »8/^i.

Donc rigle générale : Le nombre des chères sur Uequels on peift eomp-

Ur dame U déveioppemetkt de \/A en decimédest est égal au nomin èt> chiffres de A, ou h ce nombre moihs uh, suivant que A ret^arm^ un a»»bre IMPÂIK ou un nombre paik de chères.

a3. iV. j&. — La règle précédente ne souffre ancmne restriction tant qne k nombre des chiffres de A est impair. Mais si ce nombre est pair, elle est tv ceptîble d'ane modification iort importante.

tV>or le reconnaître, augmentons et diminuons sncceasivement Ad^' demi-unité de Tordre dn dernier chiffre II droite; et proposons-nons dVn-