Ce dernier exemple conduit à un résultat -—^ qui a

besq^I d'être interprété.

76 AODITIOir DES FRACTIOlfS.

De même qu'il faut deux moitiés, trois tien, quatre quarts, cinq cinquièmes, pour former Tunite' , de même il faut quatiey'in^tfmztquatre'^ingt'Seizihntesi^va la former ; donc, autant

de fois 220 contiendra g6, autant d'uni te's il y aura dans — ^.

Ainsi , comme en divisant 220 par g6 , on a pour quotient 2 et

pour reste 289 il s'ensuit que j-^ est un nombre fraction-

naire (n® i) composé de 2 unités plus une fraction -7OU -^

go 24

(en ôtant le facteur 4 commun aux deux termes).

En général , toutes les fob qu'on parvient à un résultat de forme fractionnaire , et tel , que le numérateur est plus grand que le dénominateur, alors, j90ur extraire V entier contenu dans cette expression, on divise le numérateur par le dénamina^ teur : le quotient représente Ventier, et le reste est le numérateur de \di fraction qui doit être ajoutée à l'entier.

On trouvera par ce moyen , — égal à i — ; — ^ égal à 10 -s

Réciproquement , lorsqu'on a un entier joint à une fraction,

pour en former un seul nombre fractionnaire, ce qui est souvent

utile, il hvit multiplier rentier par le dénominateur, ajouter

au produit le numérateur, et donner à la somme le dénomi"

nateur de la fraction proposée.

^ 1 o 2 . ,3 fois 5 y 2 ,17 7

Par exemple, 3 -s revient à — ■= — plus g, ou a -^'- ; 11 —

^, , , i32 - 7 , iSq qI7 ., 11 209

est égal à plus -^, ou a —2. 8 -J est égal à —f.

i Soustraction des fractions,

IS7. La soustraction des fractions a pour but de trouver Vex* cbs d^uneplus grande fraction sur une plus petite. Si les deux fractions ont même dénominateur, on retra^he

SOUSTftJLCTiON DES F&ACnOII8. 77

k plus petit numérateur du plus grand, et Ton donne à la diffiSrence le dénominateur commun. Si elles n'ont pas même dénominateur, on les jr réduit, et Fon opère ensuite comme il vient dilre dit.

Ainsi , de — soit à soustraire — , il reste — ou -• De même.

j ^l\ 7 .1 ïo 5

flc -yôtez-^j II reste— 7 ou— ; 241 a4' 24 la

Soit maintenant à soustraire ^de-^.

Ces deux fractions reviennent respectivement à -r et — ;

ce tpd donne -7 pour Uur différence. On trouve pareille-

ment que si de la fraction -^ on ôte — , il reste =-?-. ^ ao 17 340

On peut avoir unentierjointà unefraction, à retrancher d'un I entier joint à une fraction.

! ^sa exemfleydu nombre fractionnaire i3 -7...^...^, on propose de retrancher le nombre 3 -^ —

Pour efTectuer cette opération, l'on commence par réduire les deux fractions au même dénominateur, ce qui donne ~ pour

la première, et ^ pour la seconde. Ensuite , comme on ne

peut soustraire â^ de 7^, on emprunte sur l'entier i3 du

itombre supérieur, une unité qu'on réduit^ avec ^^ en un

seul nombre fractionnairei et l'on obtient ^, dont on soustrait

^8 SODSTRACTION DES FRACTIONS.

^y ce qui donne pT>ur reste ^. Passant à la soustraction d^

entiers , on regarde i3 comme diminue d'une unité, à cause de Femprunt qui a été' fait, et l'on dit :1$ de 12 , il reste #; donc.

An

le résultat demandé estO?^ » comme on. le voit ci-dessus.

58. Voici une question où se trouvent réunies une addition, et une soustraction de nombres entiers joints à des factions :

Un marchand de drap a vendu à dijférentes fois , sur une pièce d^ étoffe renfermant 3o aunes ^ , savoir * 7** 7 > 9*5» 11*—;

il désire connaître ce qui doit lui rester de son étoffe. Il fera d'abord la somme des trois nombres d'aunes yendues;

puis il soustraira cette somme de So'^ \ : le résultat de la sous-

traction doit représenter la longueur du reste de l'étoffe.

Pour plus de simplicité, il convient de disposer ainsi l'opération :

'2 1 al 21

* I ~ • a • I • . aO

Après avoir placé les uns au-dessous des autres les tr«ii nombres à ajouter, on observe que les fractions qui en font partie peuvent être réduites au même dénominateur isu Oe place ce nombre à la droite , un peu au-dessus des fractions, et on le souligne. Ensuite^ on écrit au-dessous de \%^\x^Y^ tivement sur la même ligne horizontale que les trois fractionê)

StCLTIPLICATION DES ' FBACTIOirS. ^9

les qaotiens 3 , 4> ^^ > t résultant de la division de i a par dbacun 6ès dëQominateurs ; après quoi Ton multiplie les numérateurs de ces fractions par 3 , 4? ^^ < > ^^ 4^ donne 9 , 8 , et 5 ; on fait la somme 2â de ces trois nouveaux numérateurs , ce qui donne

pour la somme des trois fractions, — ,ou i — . On écrit— au-

dessous des trois fractions , et Von retient i pour le reporter

à la colonne des parties entières qu'on ajoute à la manière

ordinaire, il vient alors 28 — pour la somme des trois nombres d'aanes vendues.

On place celte somme au-dessous de 3o \^ et Ton effectue

la soustraction comme il a été indiqué précédemment , et en

remarquant que les deux fractions peuvent être réduites au

même dénominateur, 2 fois 12 , ou 24.

On trouve enfin 2 aunes -y pour le reste de la pièce d'étoffe ;

ce que le marchand peut aisément vérifier en mesurant le cfmpon restant des trois ventes.

Multiplication des fractions,

1S9. La multiplication a en général pour but (n^ 9) , deux nombres étant donnés , de former un troisième nombre qui se compose avec le premier de la même manière que le second se compose as^ec Vunité,

Cela posé, on distingue plusieurs cas principaux dans la multiplication des fractions. On peut avoir :

1^. Une fraction a sriltipusa pae un entier.

Soit 9 par exemple f — à multiplier par 5.

D'après la définition ci-dessus, paisqnele multiplicateurs contient 5 fois l'unité , il s'ensuit que le produit doit être égal

à 5 fois -2- , ou doit être 5 fois plus grand que — . Or, on a vu

(n<* 4IS) qu'on rend une fraction 5 fois pins grande en multi-

8o MULTIPLICATION DES FRACTIONS.

pliant son numérateur par 5 ; il viendra ainsi ■ ou —

pour le produit demandé.

"Donc, pour multiplier une fraction par un entier, il faut

multiplier le numérateur par V entier, et donner au produit

le dénominateur de la fraction.

Le produit — revient d'ailleurs à 2 — , comme on peut

le voir en extrayant l'entier contenu dans la fraction (n*^).

,3 On trouvera de même que le produit de -^ par 29 est égal

Soit encore à multiplier ^ par g. Il vient d'abord, d'après

la règle, ^ pour le produit , ou , si l'on extrait l'entier, 5 -^ >

c'est-à-dire 5 -.

Ce résultat pouvait être obtenu plus simplement : car, pour

multiplier -g par 9 , on peut (n? 48), au lieu de multiplier le

numérateur par 9, diviser le dénominateur par 9, ce qui donne

— ou 5 -.

Cette manière d'opérer n'est applicable à l'exemple propose', que parce que le dénominateur est divisible par le multiplicateur, ce qui n'arrive pas toujours ; tandis que la règle établie d'abord est toujours applicable : l'usage seul peut rendre familières ces sortes de simplifications.

2°. Un ENTIER A. MULTIPLIER PAR UNE FRACTION.

Soit à multiplier 1 2 par -.

Puisque , dans ce cas , le multiplicateur - est égal à 4 fois le 7* de l'unité , le produit doit être égal lui-même à 4 ^^^

MULTIPLICATION DES FRACTIONS. 8f

le 7« de la. Or, le 7* de 12 revient (n» 44) à — ; et pour

prendre ce nombre 4 fois, ou pour obtenir un nombre 4 fois plus

grand que — , ilsuflSt {n? 45) de multiplier le numérateur 7 •

par 4; on obtient alors — ou 6 - pour le produit demandé.

JkiuCfjpour multiplier un entier par une fraction^ il faut

multiplier F entier par le numérateur, et donner au produit le dénominateur de la fraction; on peut ensuite extraire l'entier s*il y a lieu.

Ainsi , le produit de 29 par | est égal à ^ ou 25 5. De

même , le produit de 24 par ^ est égal à -^ ou 20 ; résultat

] qu'on trouverait encore en divisant d'abord 24 par 6 , ce qui donnerait 4> et multipliant ce résultat par 5. Mais , nous le ré« petons, ces simplifications ne sont pas toujours possibles.

3® Une fraction a multiplier par une fraction.

3 5 Soit à multiplier y par rr.

Le raisonnement est analogue à celui du cas précédent:

puisque le multiplicateur ^est égal à 5 fois le 8^ de l'unité, le

produit doit être lui-même égal à 5 fois le 8* du multipli-

cande 7; or, pour prendre le 8* de 7, il faut (n® 415) multi*

plier le dénominateur par 8, ce qui donne — ; et pour obtenir

une fraction 5 fois plus grande que ^ , il faut multiplier le

i5 numérateur par 5 ; ce qui donne enfin — pour le produit

demandé.

Donc , pour multiplier une fraction par une fraction , mul^ tipliet numérateur par numérateur et dénominateur par déno»

minateur;j)ms donnez le second produit pour dénominateur^

au premier.

^ixisi y le produit de — par ^ est égal à — . De même , 1^3

produit de -s par y est égal à ^, ou, réduction faite, à x,

60. N. B. — Dans les deux cas précédens , le produit es- toujours plus petit que le multiplicande; et cela doit être

puisque l'opération revient réellement à prendre du multipli

ctnde une partie indiquée par la fraction multiplicateur.

Oi. Enfin, les deux facteurs de la multiplication , ou I'u^be des deux , peuvent être des entiers joints à des fractions; mi op, ratiiène facilement ces nouveaux cas aux précédens.

Soit y par exemple, à multiplier 7 :^par 5 ^.

Ces nombres reviennent respectivement (n° 56) à — et -^

eflectuant la multiplication d'après la règle ci-dessus , on 0'

,-io8i - . ,-i

tient pour produit, — ^, ou, extrayant les entiers, 40 --^.

On pourrait encore effectuer la multiplication par partie:^» ^

c'est-à-dire multiplier d'abord 7 par 5, 5 par 5, 7 par ^^ ^1

X par ^, puis ajouter ces quatre produits ; mais cette opération]

serait beaucoup plus longue.

/ Dii^ision des fractions.

J 63. La division a pour but (n° 29) : étant donnés un produit dfi deux facteurs et Vun de ces facteurs , déterminer rauire» Il résulte évidemment de cette définition et de celle de 1^ multiplication (n® 59), que le premier nombre^ appelé divir dende, se compose avec le troisième, appelé quotient, de h même manière que le second, nommé diviseur, se compose avec runité.

Gela posé, dans la division comme dans la multiplication (b* fractions^ il se présente trois cas principaux. On peut avoir $