DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR
un quotient exact; alors le dernier diviseur que vous aurez employé , sera le plus grand commun diviseur cherché.
oi le dernier diviseur se trouve être l'unité' , c'est une preuve que les deux nombres propose's sont /^remzer^ entre eux (n® 81), puisqu'ils n'ont pas d'autre diviseur commun que l'unité.
Réciproquement , si deux nombres proposés sont premiers entre euXj et qu'on leur applique le procédé , on trouvera né" cessairement un dernier reste égal à i . Car, d'après la nature du procédé , les restes vont en diminuant ; d'ailleurs , on ne peut pas obtenir un reste nul avant d'avoir obtenu un reste égala I, puisque le diviseur autre que l'unité, qui donnerait ce reste nul , serait commun diviseur des deux nombres. Ainsi ,^ l'on doit nécessairement , après un nombre d'opérations plus ou moins grand, obtenir l'unité pour reste. L ^S. Voici de nouvelles applications de ce procédé :
Réduire à sa plus simple expression la fraction——.
Appliquons le procédé du plus grand commun diviseur, aux
^cux nombres 999 et 692 ; après avoir trouvé le nombre le
Pms grand qui les divise à la fois, nous effectuerons leur
"^vision par ce nombre; et nous obtiendrons la fraction de-
"ïandée.
5q2 iS5
On trouve pour plus grand commun diviseur 37 ; ainsi, en divisant oqq et 5qi par 37, on a — pour la fraction -^ ré- ^Uite à ses moindres termes. «
Soit, jmir nouvel exemple, la fraction ~ — .
^4 I>V PI'VS GRAND COHlIUIf DIVISEUR.
Le plus grand commun diviseur est ici 48 ; et en divisant les
deux termes de la fraction par 48, on trouve ^ pour la fraction réduite à sa plus simple expression.
m. Soit , pour dernier exemple, la fraction g-2.
3in
Le procédé conduit, dans cet exemple, à un reste égal à i ; ce qui prouve que 873 et 317 sont deux nombres premiers entre eux; dans ce cas, la fraction est dite irréductible, comme ne pouvant être ramenée à une expression plus simple au moyen de la division de ses deux termes par un même nombre.
Remarque. — - A la troisième opération , on a obtenu le reste 5, qui est un nombre premier (n® SI) ; or, comme 5 ne divise pas le reste précédent 78 , on est en droit , sans qu'îL soit nécessaire d'aller plus loin, de conclure que les deux termes de la fraction sont premiers entre eorar.-En efiFet , on a reconnu , dans la démonstration du procédé , que le plus granA commun diviseur de deux nombres , divise nécessairement le reste de chaque division. Ainsi, 5 étant un nombre premier, il doit arriver l'une de ces deux choses : ou bien 5 divise le reste précédent , et c'est alors le plus grand commun diviseur ; ou bien il ne le divise pas, et dans ce cas, ni 5, ni aucun nombre autre que l'unité, ne peut être un diviseur commun aux deux nombres. ^
En général , dès qu'on parvient, dans le cours des opérations, à un reste que l'on sait être un nombre premier, si ce reste ne dii^ise pas le reste précédent , on est certain que les deux nombres proposés sont premiers entre euxj et il est inutile d'aller plus loin,
Nous reviendrons (chap, J^*) sur la recherche du plus grand
ADDITION DES FAAGTIOlfS. * jS
commun diviseur, recherche qui est une des opérations les plas importantes de rArithme'tique.
Passons actuellement aux quatre opérations fondamentales sur ks fractions.
Addition des fractions,
^tf. L'addition des fractions a pour but de trouver un seul nombre qui ait la même valeur que plusieurs fractions réunies.
Il peut se présenter deux cas : ou les fractions qu'on doit additionner sont de même espèce, c'est-à-dire ont même dé^ Dominateur; ou bien elles sont d'espèces différentes. Dans le premier cas , on fait la somme des numérateurs , puis on donne à cette somme le dénominateur commun. Dans le second, on commence par réduire les fractions au même déno' nùnateur, d'après la règle du n^ 47 , et l'on opère ensuite sur les nouvelles fi*actions comme il vient d'être dit.
2 3 iX Q
Ainsi , la somme des fractions — , — , — , est égale à ^,
II II II " Il
De même, la soipme des fractions — =, —5, -^, -~ , est
2 3 7 Soient maintenant à ajouter les trois fractions -^j j, -L
Après avoir réduit ces fractions au même dénominateur, d'après la règle du n® 47, on fait la somme des numérateurs , ce qui donne 220; puis on donne à 220 le dénomiDateur g6, et
l'on trouve -^ pour la somme demandée.
